Exponentiella förändringar

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Exponentiella förändringar"

Ingrid Lundqvist
för 7 år sedan
Visningar:

1 Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt i mtten, återkommer vi till senre. Funktioner v tyen y = 2 eller y = 000,08, där är eonent, klls eonentilfunktioner. Denn funktionsty är vnlig när mn vill eskriv förändringsförlo där en förändring el tiden estår v en konstnt rocentsts. Ett eemel å dett är kitltillvät å ett srkonto. Allmänt kn en eonentilfunktion skrivs å formen y = C där C oc är reell tl oc > 0. (Ilnd för mn in ytterligre en konstnt, oc skriver k y = C Beroende å :s värde, får grfen olik utseende, vilket frmgår v ilden. Smtlig vildde funktioner r C-värdet, vilket inneär tt de skär y-eln i unkten (0;) Lägg märke till tt > resulterr i en vände (y-värdet ökr ständigt) funktion, medn 0<< resulterr i en vtgnde funktion. Eonentilfunktioner kommer l.. till nvändning vid rolem liknnde dett: Du sätter in 5000 kr å ett nkkonto. Räntn är 4 %. Hur mycket r du å kontot efter 0 år. Svret fås med jäl v följnde eräkning. 5000,04 0 = 740 kr. Vill mn sedn t red å när kitlet vuit till 0000 kronor måste mn kunn lös ekvtionen 5000,04 = 0000, där vänstr ledet är en eonentilfunktion. Mn kn lös ekvtionen grfiskt, men för tt lös ekvtionen lgeriskt, krävs ytterligre kunsk om logritmer. (Bendls längre frm).

2 Eonentilfunktionens derivt Det är knske lite komlicert tt komm frm till deriveringsregler för eonentilfunktionen. Det är då r tt komm iåg, tt det mång gånger är mycket svårre tt komm frm till en regel, än tt sen tilläm dem. Derivtn v f( ) = 2 Om mn ärleder derivtn för eonentilfunktionen f( ) = 2 genom tt teckn ändringskvoten f( + ) f( ) kommer mn efter någr steg frm till tt ändringskvoten är lik med 2 2 Uttrycket 2 kn inte förenkls. Om mn undersöker vd som änder med dett uttryck då 0, visr det sig, tt uttrycket närmr sig ett estämt värde 0, Det etyder lltså tt funktionen f( ) = 2 r derivtn f ( ) 0, Lägg märke till tt också derivtn inneåller fktorn 2, vilket inneär tt även derivtn är en eonentilfunktion. Det end som skiljer f( ) oc f ( ) är konstnten 0,693. Om du ritr funktionen f( ) = 2 å grfräknren, oc därefter ritr även funktionen f ( ) 0,693 2 i smm koordintsystem, ser du tt kurvorn r smm form, men derivtns grf ligger lite under själv funktionens grf. Derivtn v f( ) = I eemlet ovn estämdes derivtn för en viss eonentilfunktion f( ) = 2, men sk vi komm frm till en deriveringsregel för eonentilfunktioner, måste regeln nturligtvis vr generell, dvs den måste gäll för ll eonentilfunktioner. Vi utgår därför från eonentilfunktionen f( ) =, oc tecknr ändringskvoten för den. I nlogi med eemlet ovn lir ändringskvoten. Om mn undersöker vd som änder med dett uttryck, för någr olik värden å, när 0 utäcker mn tt för vrje värde å närmr sig uttrycket ett estämt värde då 0. Om vi kllr det värde, som uttrycket närmr sig då 0, för k r vi kommit frm till följnde. Eonentilfunktionen f( ) = r derivtn f ( ) = k. Derivtn v f( ) = C åt Vi generliserr uttrycket för eonentilfunktionen ytterligre, genom tt inför ännu en kostnt C, oc skriver eonentilfunktionen så är: f( ) = C. Denn konstnt kommer inte tt våll oss något ekymmer. Allmänt gäller tt funktionen C f( ) r derivtn C f ( ) säg konstnten med. Det etyder tt funktionen f( ) = C r derivtn f ( ). Vid derivering följer så tt Derivtn v f( ) = e Betrkt återigen eonentilfunktionen f( ) =, som r derivtn f ( ) = k. (Vi lämnr konstnten C därän så länge). Enligt ovn är k lik med det värde som 2

3 uttrycket närmr sig då 0 oc därför skulle det vr r om k fick ett enkelt värde då 0 vi vill därför tt uttrycket då 0 villkor sätter vi uttrycket lik med dvs =. Om mn löser ut ur dett uttryck får mn = ( + ) Om vi nu låter 0 går uttrycket mtemtiken tt det r fått ett eget nmn. Tlet klls för e.. Mn vill ju tt en deriveringsregel sk vr så enkel som möjligt,. Ett mycket enkelt värde är, oc. För tt t red å vilket värde å som ufyller dett ( + ) 2, Dett tl 2,782...är så viktigt i Alltså: Om vi i eonentilfunktionen f( ) =, låter få värdet 2,782...dvs e får vi funktionen f( ) = e. Denn funktion r derivtn f ( ) = e eller enklre f ( ) = e Genom tt inför tlet e som förändringsfktor i eonentilfunktionen r vi lltså ittt en eonentilfunktion vrs derivt är identisk med funktionen!!! Logritmer Vårt tlsystem är sert å tlet 0, oc därför är det viktigt tt kunn skriv tl som otenser med sen 0. Definitionen v tio-logritm lyder: Med tio-logritmen (lg) för ett ositivt tl, mens eonenten, när tlet skrivs som en otens med sen 0. Med mtemtisk symoler skrivs dett lg = 0 Eftersom tlet e är mycket viktigt i mtemtiken, eöver vi även kunn skriv tl som otenser med sen e. Vi inför därför ytterligre en ty v logritm, som klls den nturlig logritmen, oc som r eteckningen ln. Definitionen v den nturlig logritmen är elt nlog med definitionen v tiologritm: Med den nturlig logritmen (ln) för ett ositivt tl, mens eonenten, när tlet ln skrivs som en otens med sen e. Med mtemtisk symoler skrivs dett = e. Mn kn komletter definitionen v tiologritm med en mer mtemtisk definition enligt följnde: Vrje tl > 0 kn skrivs som en tiootens, 0, dvs = 0. Tlet klls logritmen för, vilket skrivs lg. Smndet kn då skrivs lg =. Dess två smnd = 0 () lg = (2) kn också formulers å ett nnt sätt. Om vi i först smndet ersätter med lg kn vi skriv I det ndr smndet ersätter vi med 0 oc skriver lg0 lg = 0 (3) (Smm som def. ovn) = (4) De två först smnden är själv definitionen v logritm, oc de två ndr är en direkt följd v definitionen. 3

4 Om vi gör å smm sätt med den nturlig logritmen får vi: Vrje tl > 0 kn skrivs som en otens med tlet e som s, e, dvs e nturlig logritmen för, vilket skrivs ln. Smndet kn då skrivs ln =. = () Dess två smnd e ln = (2) kn också formulers å ett nnt sätt. ln Om vi i först smndet ersätter med ln kn vi skriv = e (3) I det ndr smndet ersätter vi med e oc skriver ln e = (4) =. Tlet klls den Funktionen f( ) = ln Eftersom den nturlig logritmen kn estämms för ll tl > 0, är ln en funktion med definitionsmängden > 0. = (igen) Derivtn v f( ) Vi r tidigre slgit fst tt eonentilfunktionen f( ) = r derivtn f ( ) = k. Vilket är smndet melln förändringsfktorn oc konstnten k? Det går tt vis, vilket jg or över, tt k = ln I uttrycket för funktionens derivt f ( ) = k kn vi lltså ersätt k med ln oc får då f ( ) = ln. Funktionen f( ) = r lltså derivtn f ( ) = ln. Derivtn v f( ) = C (igen) Om vi även är lägger till konstnten C får vi funktionen f( ) = C. Eftersom enligt tidigre funktionen C f( ) r derivtn C f ( ), r funktionen f( ) = C derivtn f ( ) = C ln k Derivtn v f( ) = e (ln ) Funktionen f( ) = kn enligt definitionen v den nturlig logritmen skrivs f( ) e ln sin tur kn skrivs f( ) = med jäl v en v otenslgrn. Eftersom funktionen f( ) ln derivtn f ( ) = ln måste även funktionen f( ) f ( ) = ln. Om vi i smnden (ln ) ln =, som i = r = (som är smm funktion) derivtn f( ) = = e = () (ln ) ln f ( ) = ln = ln = ln (2) ersätter ln med k får vi k f( ) = () k f ( ) = k (2) Därmed r vi utvidgt deriveringsregeln för eonentilfunktion med sen e till tt omftt även det fll då eonenten inneåller en konstnt k. 4

5 Derivtn v f( ) = C e Som tidigre lägger vi till konstnten C oc får då k k Funktionen f( ) = C r derivtn f ( ) k Smmnfttning Funktionen f( ) = C r derivtn f ( ) = C ln k Funktionen f( ) = C r derivtn f ( ) k Logritmlgrn För åde tio-logritmer oc nturlig logritmer kn mn ärled s.k. logritmlgr. Jg går är inte närmre in å ärledningen, men logritmlgrn ser ut så är. Tio-logritmen Nturlig logritmen lg( y) = lg + lg y () ln( y) = ln + ln y () lg = lg lg y (2) ln ln ln y y y = (2) lg = lg (3) ln = ln (3) = lt ln ln Anm: Vid rolemlösning kommer oft den tredje lgen, lg lg =, till nvändning i smnd med rolem som leder till s.k. eonentilekvtioner. En eonentilekvtion är en ekvtion där den oeknt är eonent. Vilken v de två logritmern mn nvänder när mn löser en eonentilekvtion selr ingen roll. 5

Relevanta dokument

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................