XIV. Elektriska strömmar
|
|
- Christer Vikström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets Anlogi med sluten krets: vttenkrets Vätsk Pump Anteckningr uppdterde 8 jnuri Anteckningrn serr sig till stor del på Tommy Algrens nteckningr som finns tillgänglig på kursens emsid. Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 Elektromgnetism, Ki Nordlund XV. Elektrisk strömmr XV.. Eneten för elektrisk ström Vd är egentligen elektricitet? Melln två ledre finns en krft/längdenet:. El oc strömkällor, tterier Mgnet fält Värme df dl = k 2 r S-eneten för ström mpere A definiers som följnde: Den konstnt strömmen mpere är strömmen som producerr en krft newton per meter melln två prllell oändligt lång ledre som är i vkuum oc vrs vstånd till vrndr är meter. Konstnten k ges v: 2 F l Vd änder kring en metlltråd som leder elektricitet?. Ledningen lir vrm 2. Det lir en krft melln ledningrn 3. Ett mgnetfält ilds runt ledningen Krft + - Btteri df dl = r () r Elektromgnetism, Ki Nordlund Elektromgnetism, Ki Nordlund
2 XV.2. Elektriskt motstånd XV.3. Elkretsr Elström leder till uppvärming enligt Hel vårt modern smälle grundr sig på elkretsr P = denergi dt = konstnt 2 (2) Denn konstnt r mn gett nmnet resistns : [] = W/A 2 = Ω (Om). Mteril för vilk ovnstående ekvtion gäller klls för omisk mteril. Metller är i llmänet omisk Metllers elektrisk motstånd eller resistns oeroende v strömmen: metll = (T ) cke omisk mterils motstånd eror dessutom v strömmen som går genom dess: = (, T ) esistnsen är i llmänet oeroende v mgnetfält: (M) = konstnt. Undntg: speciell GM-mteril ( gint mgnetoresistns ): årdskivors läsuvud, Noelpris 2007 Elektromgnetism, Ki Nordlund nte r mkroskopisk: också dtorcips är i grunden (extremt komplicerde) elkretsr Modern dtorcip: > komponenter som exkt ll fungerr! Symoler för elektrisk komponenter + - Btteri eller spänningskäll Motstånd Kondenstor A Ampermätre Ström i en ledning orsks v en spänningsskillnd melln ledningens ändor [Wikipedi:ntegrted circuit] V Spänningsmätre Elektromgnetism, Ki Nordlund Tempertureroendet v resistns: Ju större spänningsskillnden melln en omisk ledres ändor är, desto större ström går genom ledren Dett klls Oms lg oc skrivs mtemtiskt: Metll Hlvledre Suprledre V = = P (3) T T 0 Tc Dett definierr lvledre oc suprledre! Hlvledres eroende tom. ännu strkre: exponentiellt Orsk i metller: smnd med tomvirtioner T V är spänningen över motståndet: [V] = ΩA = W/A = V (volt). Viktig formler mn får från ekv. (2) oc (3): Orsk i lvledre: lddningsärres ntl Suprledre: resistiviteten är exkt noll vid temperturer som är mindre än den kritisk temperturen T c. Lågtempertursuprledre: T c < 20K; ögtempertursuprledre: T c > 20K Orsk ytterst komplicerd, oc inte ens känd i ögtempertursuprledre! Elektromgnetism, Ki Nordlund P = 2 = V = V 2 (4) Att uppett något med jälp v resistns klls omisk uppettning. : vnlig kokpltt. Elektromgnetism, Ki Nordlund
3 Grundläggnde ekvtioner om kretsrs eteende kn ärleds väsentligen utgående från energins evrelselg. Motstånd kopplde i serie Krets med tre motstånd kopplde i serie Effekten som förruks i dess motstånd då strömmen går genom kretsen: P totlt = = ( ) Ekvivlent krets Denn krets kn nu ersätts med endst ett motstånd som ger smm motstånd som de tre tillsmmns P totlt = 2 Vi ser lltså tt motstånd kopplde i serie kn dders för tt ge det totl motståndet = N (5) Spänningskällor En idel spänningskäll r ingen resistns melln polern, men i verkligeten så finns det lltid en inre resistns som måste ekts. del upp en verklig käll så tt den r en idel spänningskäll oc en inre resistns i. Yttre motståndet kn också gör något nyttigt, ex. lmp, motor, dtor. På smm sätt som för spänningsfördelren, får vi E = ( + i ) = + i = V + i V = E i - + i Verksmm spänningen som källn ger, V, är mindre ju större strömmen är! Kortslutning för tt en spänningskäll skll funger r, måste strömmen i kretsen E/ i i Om minskr, ökr strömmen genom kretsen till ett mximivärde mx = E/ i. Dett klls för kortslutning: förstör tteriet oc kn t.om. orsk rnd. Säkringr V mx V Elektromgnetism, Ki Nordlund Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 Spänningsfördelre En spänningsfördelre: spänningskäll oc två motstånd Spänningen för spänningskälln eteckns är med E som r smm enet som spänning V, volt. Strömmen i kretsen får vi från: E = = ( + ) E = + Spänningsskillnden meln oc lir då - + V Spänningskällor i serie För fler spänningskällor kopplde i serie kn mn räkn iop den totl spänningen på liknnde sätt som för motstånd: E = E + E 2 + E 3 + = X j Också de intern resistnsern kn summers på liknnde sätt: = i, + i,2 + i,3 + = X j E j (6) j (7) V = = E + Noter lltså tt mn är uttryckligen mäter spänning: mätningen påverkr inte kretsens funktion lls Vi ser tt med en spänningsfördelre, kn vi få olik värden på spänningen V (0< V E), genom tt ändr på de två motståndrns värden. Dett kn nvänds i kretsr för tt sänk spänningen. Elektromgnetism, Ki Nordlund Elektromgnetism, Ki Nordlund
4 XV.4. esistivitet Betrkt nu en omisk ledre som ett ojekt med ändlig storlek Dett möjliggör tt definier resistns per mterilmängd mterilkonstnt. figurens geometri är strömmen proportionell till re A oc inverst proportionellt till längd L: A/L. Dett ger från V = tt resistnsen L/A. Proportionlitetskonstnten klls för mterilets resistivitet: ρ [ρ] = Ωm. Dett är en konstnt för ett mteril då den efinner sig i smm tempertur oc fs. Den totl resistnsen ges v formeln: = ρ L A Oft nvänds också det invers värdet på resistiviteten, sos klls för konduktiviteten: L (8) modern dtorcips r ledrn dimensioner v storleksordningen 00 nm oc spänningr kring någr volt. Ant tt en delkomponent i en dtorcip är en rätlocksformd kopprledre med längden L = 000 nm oc redden oc öjden B = H = 50 nm. Om en konstnt spänning på 5 V sätts över ledningen, ur länge skulle det t tt den etts upp till kopprs smältpunkt om ingen värmeledning skulle ske till omgivningen? Lösning: Omisk uppettningseffekten är nu (från ekvtion 4 oc 8) Effekt är energi över tid, så: P = V 2 = V 2 ρ L A = V 2 BH ρl E t = P = V 2 BH E t = ρl V 2 = EρL BH V 2 BH ρl För tt eräkn ur länge det tr tt nå smältpunkten, kn vi nvänd den specifik värmekpciteten: (jfr. lärooken kpitel.4): (0) () σ = ρ (9) c = E M T = E ρ m Volym T = E ρ m LBH T (2) där vi etecknt densitet med ρ m för tt skilj från resistiviteten ρ. Elektromgnetism, Ki Nordlund Elektromgnetism, Ki Nordlund värden: Ämne esistivitet ρ (Ωm) Ledre Silver (Ag) (metller) Koppr (Ag) Järn (Fe) Kolnnorör (C)* 0 6 Semimetll Vismut (Bi) Hlvledre Kisel (Si) 30 Grfit (C) soltor Gls Dimnt (C) 0 8 Beror på typen v nnoröret, dett för metllisk Semimetll definiers elt enkelt som en metll med sämre ledningsförmåg än de vnlig. Härifrån kn vi lös ut E som funktion v c: oc sätt in dett i ekvtionen för tiden: E = cρ m LBH T (3) t = cρ mlbh T ρl V 2 BH = cρ ml 2 T ρ V 2 (4) För koppr är värmekpciteten c = 385 J/kgK (vi ntr nu tt den är oeroende v tempertur, vilket nog iofs. inte stämmer), densiteten ρ m = 8960 kg/m 3 oc smältpunkten 358 K så T = = 058 K. nsättning v dess oc de övrig värden (L = m, ρ = Ωm oc V = 5 V) ger t = s = 0.5ms (5) Alltså skulle kopprtråden rinn sönder s.g.s. omedelrt utn värmeledning! Uppettning är ett llvrligt prolem i modern dtorer! Noter tt uppettningstiden eror på L2 : desto mindre L, desto snre uppettning! Jfr. mkroskopisk tråd: L = 0.0 m t = 4600 s = 4 timmr! Elektromgnetism, Ki Nordlund Elektromgnetism, Ki Nordlund
5 Strömdensitet Strömdensitet: ström dividert med den vinkelrät ren som strömmen går igenom J = Are för vilken gäller följnde; r(0) = konstnten P =, oc r() = + Q = Q =, vilket också är riktningskoefficienten (dr/dx) för linjen. Vi r då tt ekvtionen för ren som en funktion v positionen x är A(x) = πr(x) 2 = π + 2 ( ) x«(8) fll strömdensiteten inte är konstnt i en ledre, definiers den som J = lim A 0 A n där riktningen för strömdensiteten är vinkelrät mot reeneten A, där n är enetsvektorn för ytnormlen. Den totl strömmen som går genom en ledre fås genom tt integrer strömdensiteten över el tvärsnittsren Z = J da (6) Are J n Totl resistnsen för locket får vi genom integrtion = Z 0 d = ρ π Z 0 dx ( + Q x) 2 (9) där Q (= ) konstnten nvänds för tt gör formeln kortre. För tt integrer dett, nvänder vi liketen «d Q = (20) dx + Qx ( + Qx) 2 Vi skriver lltså integrlen i ekvivlent form = ρ Z Q dx (2) πq ( + Qx) 2 0 vilket ger = ρ πq 0 ( + Qx) = ρ» πq + Q (22) Elektromgnetism, Ki Nordlund Elektromgnetism, Ki Nordlund En kpd kon r öjden oc dess snittytor r rdiern oc, se ild. Mterilets resistivitet är ρ oc nt tt strömtäteten genom vrje tvärsnittsyt är oeroende v vståndet till symmetrixeln. Härled en formel för kroppens resistns melln snittytorn. = ρ π( ) = ρ π» = ρ + π( )» Är resulttet rätt? fll vi r en cylinder (kon med = ) får vi tt = ρ Are = ρ π (23) (24) 2 vilket är OK! Lösning Vi nvänder ekvtionen: d = ρ dx A för tt eräkn den totl resistnsen. För tt få ren som en funktion v positionen, eräknr vi först rdien för konen som en funktion v x, dien r är en linjär funktion v x Konens die x r(x) = P + Q x (7) Elektromgnetism, Ki Nordlund Elektromgnetism, Ki Nordlund
6 esistnsens tempertureroende esistiviteten för en metll ökr vnligtvis när temperturen ökr. En linjär funktion kn eskriv dett r: ρ(t ) = ρ [ + α(t T )] (25) ρ är resistiviteten given vid temperturen T oc α är resistivitetskoefficienten värden: Mteril α [K ] Aluminium Grfit Koppr Konstntn Tolv likdn motstånd är kopplde i en ku till en krets som viss i figuren. Vd är resistnsen melln två örn som är digonlt motstående till vrndr, (melln punktern oc )? Lösning En ekvivlent krets är kretsen redvid, där vi ser tt det ekvivlent motståndet för de tre motstånden när är /3, vilket också är det ekvivlent motståndet för de tre motstånden när. De 6 motstånden i mitten kn ges ekvivlent som /6. Nu får mn det totl motståndet melln oc som en seriekoppling = = 5 6 Exmpel En luminiumtråds resistns vid 0 C är 00 Ω. Vd är dess resistns vid 50 C? 50 = 0 [ + α(50 0)] 00 Ω[ ] 20 Ω Elektromgnetism, Ki Nordlund Elektromgnetism, Ki Nordlund Motstånd kopplde prllellt För prllellt kopplde motstånd är spänningsskillnden smm för ll mot- stånd, vilket ger tt strömmen genom motståndet i är: i = V / i. Totl strömmen är då lik med den ström som skulle gå i ekvivlentmotståndet: X i i = = V = V + V + V (26) Dett ger storleken på det ekvivlent motståndet som = X i i = (27) XV.5. Kircoffs lgr Kircoffs lgr tillåter tt eräkn spänningsskillndern oc strömmrn i enkl elektrisk kretsr. Enkl etyder är tt komponentern är v någr grundläggnde typer: motstånd, kondenstorer, mm. som klls pssiv komponenter. Den först lgen säger tt: Totl ntlet lddningr evrs vid vrje knutpunkt X i = 0 (28) i 2 3 = 2+ 3 Mest ström går genom det motstånd som r den minst resistnsen Totl motståndet är mindre än för det minst motståndet i kretsen. Ekvivlent krets = Den ndr lgen eskriver ur lddningsärrns (elektroner) potentilskillnd i en krets ändrr. En lddningsärre som går runt kretsen ett elt vrv, måste vr i smm potentil som innn. Summn v potentilskillndern runt en krets är noll X V i = 0 (29) i Elektromgnetism, Ki Nordlund Elektromgnetism, Ki Nordlund
7 För tt ättre förstå dess lgr, tittr vi på ett pr exempel: ilden nedn, r vi två spänningskällor oc tre motstånd: E = 2.0 V, E 2 = 8.0 V, = 4.0 Ω, = 4.0 Ω, 3 = 2.0 Ω. Beräkn strömmen genom vrje motstånd. vilket är exkt smm ekvtioner som erölls med Kircoffs ndr lg. Vilken metod mn nvänder, kn envr själv estämm. Ekvtionern lir färre men lite mer komplicerde med enrt Kircoffs ndr lg. 2 2 Vi tittr på spänningsskillndern över vrje komponent runt kretsen. Kirscoffs ndr lg ger följnde ekvtioner, där den övre ekvtionen får vi då vi följer med örjn vid E 3 E ( 2 ) = 0 E ( 2 ) = 0 där potentilskillnden är positiv då strömriktningen är från till + genom en spännings-käll. Potentilskillnden för ett motstånd är lltid negtiv då mn följer strömmen. nsätt-ning v värden ger tt strömmrn lir =.25 A 2 = 0.50 A Elektromgnetism, Ki Nordlund Elektromgnetism, Ki Nordlund Negtiv strömmen för 2 etyder tt riktningen vr fel vld. Den går lltså i motstt riktning än vd som är ritt i figuren. Slutlig strömmrn genom vrje motstånd lir ( ) =.25 A ( ) = 2 =.75 A ( 3 ) = 2 = 0.5 A Vi kn också gör eräkningrn i föregående exempel med jälp Kircoffs först lg Energin som går förlord då elektrisk energi lir till värme i en ledre klls joulevärme. dett exempel, skll vi plner ur elektricitetsförsörjningen till en std orde sköts. ilden redvid ser vi en scemtisk ild v situtionen. Stden eöver en effekt på 00 MW. Beräkn strömmen i ledningrn melln stden oc krftverket oc ur mycket effekt som går förlord i ledningrn, ifll spänningen över ledningrn är ) V oc ) V Lösning Strömmen i ledningrn är = P V Krftverk oc effekten i ledningrn som går till värme är P = 2 Totl resistnsen för ledningrn är = (5+5) Ω = 0 Ω vilket ger ) 5 5 Std E 3 = 0 E = 0 = vilket ger, då 3 = - 2, tt de två överst ekvtionern lir E ( 2 ) = 0 E ( 2 ) = 0 ) = W V = 400 A P = (400 A) 2 0 Ω = W = W V = 04 A Elektromgnetism, Ki Nordlund Elektromgnetism, Ki Nordlund
8 P = (0 4 A) 2 0 Ω = 0 9 W fllet ) ser vi tt värmeeffekten som går förlord är W / W 00% =.6 % v nyttoeffekten som går till stden, fllet ) är effekten förlord i ledningrn som värme tio gånger större än effekten som stden får, ( 0 9 W / W 00% = 000 % ). Det lönr sig lltså tt överför elektrisk energi vid så ög potentil som möjligt för tt minimer strömmen oc därmed effektförlustern i ledningrn. Å ndr sidn inneär ögre spänning tt det eövs större oc därmed dyrre trnsformterer i stden för tt sänk spänningen till 220 V, så det el lir en kostndslns Elektromgnetism, Ki Nordlund
XIV. Elektriska strömmar
Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets
Läs merXIV. Elektriska strömmar
Elektromgnetismens grunder I Anteckningr uppdterde 18 jnuri 2009. Anteckningrn serr sig till stor del på Tommy Ahlgrens nteckningr som finns tillgänglig på kursens hemsid. Elektromgnetism I, Ki Nordlund
Läs merElektromagnetismens grunder I
Elektromagnetismens grunder I Anteckningar uppdaterade 18 januari 2009. Anteckningarna baserar sig till stor del på Tommy Ahlgrens anteckningar som finns tillgängliga på kursens hemsida. Elektromagnetism
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015
Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 5/8 05 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten
Läs merTentamen ellära 92FY21 och 27
Tentmen ellär 92FY21 och 27 201-08-22 kl. 8 13 Svren nges på seprt ppper. Fullständig lösningr med ll steg motiverde och eteckningr utstt sk redoviss för tt få full poäng. Poängen för en helt korrekt löst
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs mer1 Bestäm Théveninekvivalenten med avseende på nodparet a-b i nedanstående krets.
(7) 9 jnuri 009 Institutionen för elektro och informtionsteknik Dniel Sjöerg ETE5 Ellär och elektronik, tentmen jnuri 009 Tillåtn hjälpmedel: formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 3/6 2017
Tentmen i ETE115 Ellär och elektronik, 3/6 17 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. 1 8 V
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merExponentiella förändringar
Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt
Läs merGeometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?
Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde
Läs mer1 Föreläsning IX, tillämpning av integral
Föreläsning IX, tillämpning v integrl. Volym v någr kroppr.. Skiv- oc sklmetodern, m.m. Vi kn tänk oss en limp (röd) som längsledes är genomorrd v eln,. Limpn skivs i n lik tjock skivor, lltså med tjocklek
Läs merKompletterande formelsamling i hållfasthetslära
Kompletternde formelsmling i hållfsthetslär Görn Wihlorg LTH 004 Spänningstillståndet i ett pln, vinkelätt mot en huvudspänningsriktning ϕ cos ϕ+ sin ϕ + sinϕcosϕ ϕ sinϕ+ cos ϕ Huvudspänningr och huvudspänningsriktningr
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 (ETEF1) och F3 (ETE55) Tid och plts: 7 jnuri, 215, kl. 8. 13., lokl: MA9, E F. Kursnsvrig lärre: Anders Krlsson, tel. 222 4 89. Tillåtn hjälpmedel:
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 4/1 2017
Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 4/ 07 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. v 0 i 0 Beräkn
Läs mer14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs merSkriv tydligt! Uppgift 1 (5p)
1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merMagnetfälten beskrivs av följande Maxwells ekvationer
1 Mgnetosttik Vi ämnr nu eektrosttiken och åter sttionär strömmr fyt. Det inneär tt fäten fortfrnde är sttisk och vi kn eräkn de eektrisk och mgnetisk fäten seprt. De koppr inte ti vrndr. Mgnetfäten eskrivs
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merMateriens Struktur. Lösningar
Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste
Läs mer93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar
15825 93FY51 1 93FY51/ STN1 Elektromgnetism Tent 15825: svr och nvisningr Uppgift 1 Från Couloms lg och E F/q hr vi uttrycket: E 1 4πε ρl dl r Vi väljer cylindrisk koordinter och sätter r zẑ ˆR och dl
Läs merTentamen för FYSIK (TFYA68), samt ELEKTROMAGNETISM (TFYA48, 9FY321)
Tentmen för FYK (TFYA68), smt LKTROMAGNTM (TFYA48, 9FY321) 2013-01-09 kl. 14.00-19.00 Tillåtn hjälpmedel: Physics Hndbook (Nordling, Östermn), miniräknre, smt formelsmling som bifogs denn tentmen men består
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merLöpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab
Löpsedel: Integrler Block : Integrler Grundidé, numerisk kvdrtur Noggrnnet, teoretiskt Prktisk feluppskttning med ricrdsonextrpoltion Adptiv kvdrtur Noggrnnet, inverkn v mätfel/vrundningsfel Lärook Kp
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 10/1 2015
Tentmen i ETE Ellär och elektronik, 0/ 20 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Observer tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. g 2 v in
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merTentamen ETE115 Ellära och elektronik för F och N,
Tentmen ETE5 Ellär och elektronik för F och N, 009 087 Tillåtn hjälpmedel: formelsmling i kretsteori och elektronik. Oserver tt uppgiftern inte är ordnde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig
Läs merByt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.
LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merLösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel
Lösningsförslg till deltentmen i IM601 Fst tillståndets fysik Gitter och bs i dimensioner Fredgen den 18 mrs, 011 Teoridel 1. ) Den primitiv enhetscellen är den minst enhetscell som ger trnsltionssymmetri
Läs merAnvändande av formler för balk på elastiskt underlag
Användnde v formler för blk på elstiskt underlg Bilg 2 Sidn 1 v 1 Formler från [ ] hr nvänts i exelberäkningr för någr geometrier och någr lstfll. Dess exempel hr också beräknts med FEM för tt kontroller
Läs merRätt svar (1p): u A. α β A B. u B. b) (max 3p) I början har endast puck A rörelseenergi: E AB,i = 1 2 m Av 2 A = 1 2 m Au 2 A
1 I ett experiment hängdes vikter med olik stor mss i en lätt fjäder. Vikten drogs neråt och perioden för den hrmonisk oscilltionen som då uppstod mättes. Frekvensen för oscilltorn f = 2π 1 k mv. Nednstående
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merAtt mäta, hur mäter vi och vilka referenser använder vi?
tt mät, hur mäter vi oh vilk referenser nvänder vi? SI sstemet (Sstème Interntionl d'unités) som är ett metriskt sstem. Dett sstem är interntionellt vedertget inom forskrvärlden oh är det som lärs ut i
Läs merElektroteknik MF1016 föreläsning 11 Permanetmagnet Synkronmotor
Elektroteknik MF1016 föreläsning 11 Permnetmgnet Synkronmotor (I oken 7. 8 PM-synkronmotorn) Likheter oh skillnder med likströmsmskinen Enfsig modell (klls även per fs modell ) Ström oh moment Vrvtl oh
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merLösningar till uppgifter i magnetostatik
Lösningr till uppgifter i mgnetosttik 16-1-14 Uppgift 1 Metodvl: Biot-Svrts lg ing symmetrier som kn nvänds. Biot-Svrts lg evluerd i origo r = är B = µ 4π dr r r = µ dr r 4π r Linjeelementet dr bestäms
Läs merLösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp
Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs mer13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser
FÖRESRIFT 13.9.2006 Dnr 6/002/2006 Till pensionsstiftelser som edriver tilläggspensionsskydd och är underställd lgen om pensionsstiftelser FÖRSÄRINGSTENIS BERÄNINGR OCH DERS BERÄNINGSGRUNDER FÖR PENSIONSSTIFTELSER
Läs merTentamen i EITF90 Ellära och elektronik, 28/8 2018
Tentmen i EITF9 Ellär och elektronik, 8/8 8 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merN atom m tot. r = Z m atom
Räkneövning fri elektroner och reciprok gittret 1. Silver, Ag, hr fcc-struktur, tomnummer 47, tomvikten 17,87 u, yttre elektronkonfigurtionen 4d 1 5s 1 och densiteten 149 kg/m 3. ) Beräkn tätheten n v
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för
Läs merLösningar till repetitionstentamen i EF för π3 och F3
Lösningr till repetitionstentmen i EF för π3 oh F3 Lösning problem Från Poyntingvektorn (r, t = E(r, t H(r, t = A ẑ η 0 konstterr vi tt vågens utbredningsriktning ê är vilket leder till tt dess vågvektor
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merListor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.
1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merLösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Torsdagen den 15 mars, Teoridel
Millerindex Lösningsförslg till deltentmen i IM61 Fst tillståndets fysik Torsdgen den 15 mrs, 1 Teoridel 1. ) Millerindex för ett tompln bestäms med följnde principiell metod. i) Bestäm plnets skärningspunkter
Läs merTentamen för FYSIK (TFYA68), samt ELEKTROMAGNETISM (TFYA48, 9FY321)
Tentmen för FYK (TFYA68), smt LKTROMAGNTM (TFYA48, 9FY321) 2012-08-16 kl. 8.00-13.00 Tillåtn hjälpmedel: Physics Hndbook (Nordling, Östermn), miniräknre, smt formelsmling som bifogs denn tentmen men består
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00
Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,
Läs merGauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson
Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när
Läs merEtt förspel till Z -transformen Fibonaccitalen
Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs mervara n-dimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b betecknas a b ) vara tvådimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b är
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion SKALÄRPRODUKT. EGENSKAPER. GEOMETRISK TOLKNING. PROJEKTION AV EN VEKTOR PÅ EN RÄT LINJE Sklärprodkt i R n, R och R : Definition. Låt,,...,
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given
Läs mer1.1 Sfäriska koordinater
Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..
Läs merNya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5
Bernt Johnsson 008-0-5 Ny regler för plåtlkr-eurokod --5 Bkgrund Med plåtlk mens en lk som är uppyggd v smmnsvetsde plåtr på engelsk plted structure. Plåtlkr nvänds när vlsde lkr inte räcker till eller
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merAppendix. De plana triangelsatserna. D c
ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merGör slag i saken! Frank Bach
Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn
Läs merÏ x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1
Tentmensskrivning i Mtemtik IV, 5B2 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 4-9 Hjälmedel: BETA, Mthemtics Hndook Redovis lösningrn å ett sådnt sätt tt eräkningr och resonemng är lätt tt följ Svren skll ges å reell
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs mer6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill
6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt
Läs merGOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna
GOLV Norgips Golvskivor nvänds som underlg för golv v trä, vinyl, mttor och ndr beläggningr. Här de tre viktigste konstruktionern 1. Ett lg golvskivor på träunderlg 2. Flytnde golv med två lg golvskiv
Läs merInföra begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar
Kapitel: 25 Ström, motstånd och emf (Nu lämnar vi elektrostatiken) Visa under vilka villkor det kan finnas E-fält i ledare Införa begreppet emf (electromotoric force) Beskriva laddningars rörelse i ledare
Läs mery > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1
Lösningsförslg till tentmensskrivning i Diff & Trns I, 5B12 och Diff & Trns I för LV, 5B122 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 14-19 DEL1: 1 Betrkt differentilekvtionen y y (y -1)(y - 3), där y y(t) och t nger
Läs merUttryck höjden mot c påtvåolikasätt:
Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:
Läs mer1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b.
UPPSAA UNIVERSITET Mtemtisk institutionen Slling (070-6527523) PROV I MATEMATIK AUTOMATATEORI 18 okt 2012 SKRIVTID: 8-13. HJÄPMEDE: Ing. MOTIVERA AA ÖSNINGAR NOGGRANT. BETYGSGRÄNSER: För etygen 3, 4 respektive
Läs merLösningar till tentamen i EF för π3 och F3
Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr
Läs mer