Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper"

Dan Eklund
för 8 år sedan
Visningar:

1 CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det inte finns någon nvändbr primitiv funktion. Det kn också vr så tt integrnden br är känd i viss punkter, t.ex. vi hr en serie med mätdt. Beräkningsmetoder Den geometrisk tolkningen v integrlen f(x) dx är ren v ytn melln grfen v integrnden och x-xeln, dvs. y =, melln x = och x = b. x = x = b Vi gör en likformig indelning v intervllet x b = x < x < x < < x n < så tt vi får n lik lång delintervll x i x x i med bredden h = b n. Sedn delr vi upp integrlen i en summ v delintegrler över vrje delintervll f(x) dx = i= xi x i f(x) dx x = x i- x i

2 Om vi pproximerr f(x) med f(x i ) i intervllen x i x x i får vi vänster rektngelregel f(x) dx h f(x i ) i= x = x i- x i Om vi pproximerr f(x) med f(x i ) i intervllen x i x x i får vi höger rektngelregel f(x) dx h f(x i ) i= x = x i- x i Om vi pproximerr f(x) med f(m i ) i intervllen x i x x i, där m i är mittpuktern i intervllen, får vi mittpunktsmetoden ( ) xi + x i f(x) dx M n = h f i= x = x i- x i I Adms kpitel 5 definiers (konstruers) integrlen f(x) dx med hjälp v Riemnnsummn f(c i )h i i= Metodern ovn är olik vrinter v Riemnnsummor, med c i = x i, c i = x i respektive c i = m i, och h i = h.

3 Vi kn också pproximer integrlen med medelvärdet v vänster och höger rektngelregel och får då trpetsmetoden f(x) dx T n = i= h (f(x i ) + f(x i )) x = x i- x i Antg tt vi vill beräkn x sin(x) dx med vänster rektngelregel med n =. Vi skulle kunn gör så här >> n=; >> =; b=; >> f=@(x)x.*sin(x); >> h=(b-)/n >> q=; >> for i=:n- x=+i*h; q=q+h*f(x); end >> q Att nvänd en for-sts är oftst inte effektivt i Mtlb. Vi genererr hellre en vektor v ll funktionsvärden f(x i ) och sedn summerr dess enligt >> n=; >> =; b=; >> f=@(x)x.*sin(x); >> x=linspce(,b,n+); >> h=(b-)/n; >> q=sum(h*f(x(:n))) Dett sätt tt orgniser en beräkning klls tt vektoriser den, dvs. mn genererr först en eller fler vektorer och utför sedn den önskde beräkningen på dem. De komponentvis opertionern.*./.^ är exempel på vektoriserde opertioner. Vi nvände funktionen sum som snbbt summerr en vektor. Uppgift. Beräkn en pproximtion v integrlen x sin(x) dx med vänster och höger rektngelregel smt mittpunkts- och trpetsmetodern. Använd sum. Uppgift. Skriv en funktion med nmnet min_integrl och nropet q=min_integrl(f,i,n,k) som beräknr integrlen pproximtivt. Du skll nvänd progrmsklet min_integrl.m på Mtlb-hemsidn.

4 Uppgift. Test ditt progrm på följnde integrler. Vrier metodvl och ntl delintervll n. (). e x dx (b). dx (c). +x tn( x) dx Konvergens För metodern ovn gäller tt smtlig är konvergent, dvs. låter vi ntl delintervll n gå mot oädligheten så går pproximtionern mot integrlens värde. Vi ser på någr bilder för vänster rektngelregel där n blir llt större n = x = n =6 x = n =5 x = Vi ser tt vi llt bättre täcker upp ytn under grfen med llt fler och smlre stplr. Nu räcker det i prktiken inte med konvergens. Vi måste få en br pproximtion på en kort tid, dvs. inte behöv t n lltför stort. För vänster och höger rektngelregel gäller tt om vi fördubblr ntl delintervll så hlvers felet i pproximtionen v integrlen. För mittpunkts- och trpetsmetodern gäller vid smm fördubbling tt felet dels med fyr, dvs. mycket bättre utdelning. Uppgift 4. Vi ser på integrlen x sin(x) dx igen. Beräkn integrlen exkt (för hnd). Jämför exkt värde med de pproximtioner vi får med metodern ovn för olik ntl delintervll n. Hur stort blir felet? Tg t.ex först n = 5 och sedn n =, beräkn felen i pproximtionern och se efter hur felen förändrs. 4

5 4 Färdig progrm i Mtlb Det finns färdig funktioner i Mtlb för tt integrer. En sådn funktion är qudl. Nmnet qudl kräver en förklring. Att beräkn integrlen numeriskt klls numerisk kvdrtur (numericl qudrture) och en metod för numerisk kvdrtur brukr klls kvdrturregel (qudrture rule). Nmnet kvdrtur syftr på reberäkning, dvs. tt finn en kvdrt som hr smm re som en given yt i plnet. Vidre står l för Lobtto, en holländsk 8-tls mtemtiker som bl.. rbetde med kvdrtur. Vill vi beräkn integrlen v f(x) = x sin(x) över intervllet x med qudl skulle det kunn görs så här >> f=@(x)x.*sin(x); >> =; b=; >> q=qudl(f,,b) För tt slipp problem, t för vn tt beskriv integrnden som om du skulle rit dess funktionsgrf, dvs. tänk på x som en vektor och nvänd komponentvis opertioner. Uppgift 5. Gör uppgift 7 i Adms kpitel 5.7. Rit en bild v området. Använd qudl. Ledning: Se först på exempel i Adms sid 6. Uppgift 6. Beräkn ren v det slutn området melln grfern till funktionern g(x) = e x och h(x) = x x +. Rit en bild v området. Använd fzero, fill och qudl. 5

6 6

7 CTH/GU MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Uppföljning v lbortion Målsättning Avsikten med denn lbortion är se lite på metoder för tt pproximer integrler f(x) dx. Mång integrnder, speciellt i smbnd med teknisk beräkningr, sknr nvändbr formler för primitiv funktion. Då återstår endst tt pproximer integrlen. Vi skriver ett litet eget progrm för integrlberäkning min_integrl, där vi prövr någr olik metoder. Avslutningsvis bekntr vi oss med qudl, ett färdigt progrm för integrlberäkning i Mtlb. Kommentrer och förklringr Vänster och höger rektngelregel klls för först ordningens metoder. Fördubblr vi ntlet delintervll så hlvers felet, dvs. pproximtionen blir dubbelt så noggrnn. Mittpunkts- och trpetsmetodern klls för ndr ordningens metoder. Fördubblr vi ntlet delintervll så dels felet med fyr, dvs. pproximtionen blir fyr gånger så noggrnn. De senre metodern är mycket mer effektiv. Dett är viktigt i teknisk beräkningr eftersom mn sälln beräknr en end integrl utn i llmännhet en stor mängd integrler (och då som en del i en större beräkning). Det färdig progrmmet qudl bygger på metoder som är mer vncerde är de vi tittt på och som vi inte hr möjlighet tt presenter här. Progrmmet är dessutom dptivt, det innebär tt integrtionspunktern inte plcers likformigt över intervllet utn där det lönr sig bäst med tnke på noggrnnhet och effektivitet. I uppgift 5 kn vi lätt se exkt vr grfern skär vrndr. Däremot i uppgift 6 måste vi bestämm skärningspunktern med en beräkningsmetod för ekvtionslösning, t.ex. fzero. Det går helt enkelt inte tt skriv upp en nvändbr formel för skärningspunktern. Lärndemål Efter denn lbortion skll du kunn redogör för den grundläggnde idéen bkom de olik metodern för integrlberäkning beräkn integrler f(x) dx, genom tt beskriv f som en function i Mtlb och beräkn en pproximtion med min_integrl eller qudl 7

Relevanta dokument

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e