Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Transkript

1 Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x) och vrje term i summn k k n= f(n/k k som en rektngel med bs [(n )/k, n/k] och höjd f(n/k) om k är hyfst stort, säg k =, så blir det intuitivt klrt tt summn pproximerr ytn under grfen.) ii) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] och = x < x 2 < x 3 <... < x n < x n+... < är punkter så tt lim n x n = kommer då n= x n+ x n f(x n ) = f(x)dx? Svr: Nej. (Den här är lite knepig förstod jg när vi diskuterde den på föreläsningen. Men för tt en uppdelning = x < x < x 2 <... < x n = b b sk ge en br pproximtion till f(x)dx så måste vståndet melln x j och x j+ vr litet för ll j. Men om sekvensen i uppgiften är tex x j = /j för j N och x = så kommer vi br tt h ett intervll i området [, ]. Rit gärn grfen v f(x) och ytn n= x n+ x n f(x n ). Då kommer du tt se tt Ψ är en dålig pproximtion v f(x) om f(x) inte f(x) är nästn konstnt i [, ]) iii) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kommer då f(x)dx tt exister? Kommer, för vrje tl, b R, b > b, f(x)dx tt exister? Svr: f(x)dx existerr inte som en generliserd integrl i llmänhet (t tex f(x) = vilken är kontinuerlig men lim X X f(x)dx divergerr). Att b f(x)dx existerr följer direkt v tt f(x) är kontinuerlig (Sts i boken). iv) Låt f, f 2, f 3,... vr en oändlig mängd kontinuerlig funktioner denierde på [, ], kommer då n= f n(x)dx = n= f n(x)dx? Svr: Nej. (Det här är en lite elk uppgift då den går lite utnför kursen men jg ville h med den för tt vis tt det nns mer tt gör i nlysen. Vi hr vist tt det nns en reltion melln derivtn och integrlen - men det nns mång ndr reltioner tt undersök: tex. när mn hr rätt tt byt ordning på oändlig serier och integrltecknet. Här så skulle vi kunn tänk oss tt f n (x) = cos(x/π) för ll n. Då är f n(x)dx = för ll n men summn till höger blir n= cos(x/π) vilken nturligtvis divergerr för ll x /2 så summn (och således integrlen) till höger är inte meningsfull.) v) Om f(x) är integrerbr och begränsd på [ 5, 5] nns det då ett tl c så tt c = 5 5 f(x)dx? Finns det ett x c [ 5, 5] så tt f(x c ) = c? Svr: Absolut, c = 5 5 f(x)dx. Det nns dock inte nödvändigtvis något x c så tt f(x c ) = c. För det behövs kontinuitet. Ett motexempel skulle vr f(x) = för x < och f(x) = för x > då är c = men f(x) för ll x. Observer tt dett innebär tt ntgndet tt f(x) är kontinuerlig i integrlklkylens medelvärdessts är nödvändigt. Och eftersom vi nvänder integrlklkylens medelvärdessts i beviset v nlysens huvudsts så är kontinuitetsntgndet nödvändigt även där. vi) För vilk integrerbr funktioner f(x) gäller 4 f(x)dx 4 3 = 3 f(x) dx? Svr: Den här frågn är lite knepig. Om f(x) är kontinuerlig så är svret om ntingen f(x) eller om f(x). Men om f(x) är styckvis kontinuerlig så räcker det med tt f(x) eller f(x) för ll utom ett ändligt ntl punkter. vii) Antg tt f(x) och g(x) är deriverbr på [, ], vd är D g(x) f(t)dt? Kn vi försvg något ntgnde och dr smm slutsts?

2 Svr: g (x)f(g(x)). Observer tt vi kn denier F (x) = x f(t)dt, då är uttrycket i uppgiften F (g(x)) och vårt svr följer v nlysens huvudsts och kedjeregeln. För det rgumentet så behöver f(x) inte vr deriverbr. Vi kn försvg det ntgndet till f(x) kontinuerlig. viii) Om f() = och 5 f (x)dx = 2 vd är f(5)? Svr: f(5) =. Dett eftersom 2 = 5 f (x)dx = f(5) f() = f(5) +. ix) Gäller den generliserde medelvärdesstsen utn ntgndet g? motexempel. Om inte hitt på ett Svr: Nej den gäller inte. Tex om g(x) = sin(x) och f(x) = x, = och b =. Då är f(ξ) g(x) = för ll ξ men f(x)g(x)dx > då integrnden är strikt positiv i ll punkter förutom x =. x) Om f(x) är kontinuerlig på [, b] så D x f(t)dt = f(x) enligt nlysens huvudsts. Låt f(x) = om x < om x = om x > och F (x) = x f(t)dt. För vilk x är F (x) denierd, vd är värdet v F (x) i dess punkter? Är höger respektive vänsterderivtn denierd, vd är värdet v höger och vänsterderivtn i så fll? Svr: F (x) är denierd för x (dvs där f(x) är kontinuerlig). Höger och vänsterderivtn är dock denierd överllt, dett följer direkt från höger och vänsterderivtns denition. 7: Bevisuppgift (Hölders olikhet): Bevis Hölders olikhet. Dvs om f(x) och g(x) är kontinuerlig på [, ] så ( ) /2 ( /2 f(x)g(x)dx f(x) 2 dx g(x) dx) 2. Använd gärn följnde steg:. Vis tt f(x)g(x)dx 2 ( f(x)2 dx + ) g(x)2 dx. Ledtråd: Kn du vis olikheten utn integrltecknen? 2. Bevis tt om f(x)2 dx = och g(x)2 dx = så kommer f(x)g(x)dx. Ledtråd: Föregående steg. 3. Beteckn f L 2 (,) = ( ) /2 f(x)2 dx och låt f(x) = f(x) smt g(x) = g(x). f L 2 (,) g L 2 (,) Kn mn nvänd föregående steg på f och g? Vd betyder det för f och g? Bevis:. För ll x så gäller (f(x) g(x)) 2 = f 2 (x) 2f(x)g(x) + g 2 (x) så, för ll x, f(x)g(x) f 2 (x) g2 (x). Så ( f(x)g(x)dx 2 enligt Sts 5 p. 32 i Persson-Böiers. 2. Dett är en direkt konsekvens v föregående steg. f(x) 2 dx + ) g(x) 2 dx

3 3. Vi beräknr f 2 (x)dx = ( ) 2 f(x) dx = f L 2 (,) f 2 L 2 (,) f 2 (x)dx =, där vi nvände tt f 2 L 2 (,) = f(x)2 dx. På smm sätt så är g2 (x)dx =. Så enligt föregående steg så är f(x) g(x)dx men dett är smm sk, eftersom f(x) = f L 2 (,) f(x) smt g(x) = g L 2 (,) g(x), som eller f L 2 (,) g L 2 (,) f(x)g(x)dx ( ) /2 ( /2 f(x)g(x)dx f L 2 (,) g L 2 (,) = f(x) 2 dx g(x) dx) 2. vilket vr det vi skulle bevis. Kommentr: Mycket v det vi gör i Di-Inten är möjligt tt generliser. Här så luktr vi lite på en generlisering till v nlysen till funktioner. Dett ingår inte riktigt i kursen men det kn vr br tt se vd som kommer senre. Nottionen f(x) L 2 (,) klls L 2 normen (Ell två normen) v f(x). Det är ett sätt tt mät vstånd melln funktioner. Intuitivt så är funktionen f(x) är ( ) /2 när g(x) om f(x) g(x) L 2 (,) = (f(x) g(x))2 är liten. Med den intuitionen så kn vi denier gränsvärden v sekvenser v funktioner. Tex så skulle vi kunn säg tt sekvensen v funktioner f (x), f 2 (x), f 3 (x),..., f k (x),... konvergerr mot funktionen f(x) om det för vrje ɛ > existerr ett N > så tt f k (x) f(x) L 2 (,) < ɛ för ll k > N. Dett är smm denition som vi är vn vid men nu prtr vi om funktioner som konvergerr och inte tl. Mång v de stser som vi bevisr går tt bevis även för sekvenser v funktioner men vi sk inte diskuter dess problem nu. Vi lämnr det till en senre kurs. 8: Bevisuppgift 2 (Osäkerhetsprincipen): Bevis tt om f(x) är kontinuerligt deriverbr på [, ], f() = f() = och f(x)2 dx = så gäller följnde olikhet: x 2 f(x) 2 dx f (x) 2 dx 4. Ledtråd: Kn du nvänd prtiell integrtion på f(x)2 dx = tillsmmns med Hölders olikhet? Bevis: Observer tt { } = f 2 dx (x)dx = dx f 2 (x)dx prtiell = = integrtion { } = f 2 () + f 2 () 2xf(x)f (x)dx eftersom = = f() = f() = 2 xf(x)f (x)dx { Hölders olikhet } ( ) /2 ( ) /2 2 (f (x)) 2 dx x 2 f 2 (x)dx

4 stsen följer genom tt t kvdrten v båd sidor och divider med 4. Kommentr: I kvntfysiken så kn den här mtemtisk olikheten tolks som tt det är omöjligt tt exkt vgör både rörelsemängden och positionen v en prtikel. Tyvärr så involverr förklringen till dett llt för mycket teoretiskt mtrel för tt vi sk kunn gå in på vrför här. 8: Tentmensfråg: [Del, Modul 2]. Ange en funktion f(x) så tt f() = och f() =. [Svr med ett exempel eller omöjligt.] (poäng) 2. Låt f(x) vr en injektiv funktion denierd på [, ]. Ange värdemängden till f. [Svr med en mängd eller omöjligt tt vgör.] (poäng) 3. Låt f(x) = vr en funktion denierd på R. Beräkn f (x). [Fullständig motivering krävs.] (4poäng) { ln(x 2 + ) om x < cos(sin(x) + tn(x)) om x Svr:. Omöjligt. (Enl. denitionen så tilldelr en funktion endst ett unikt värde till vrje punkt. Dvs f(x) kn inte tilldel mer än ett värde till x =.) 2. [, ] ( ) 3. Om x < så är f (x) = 2x och om x > så är f (x) = cos(x) + sin (cos(x) + tn(x)) +x 2 cos 2 (x) då x π/2 + nπ och odenierd då x = π/2 + nπ, där vi fritt hr nvänt kedjeregeln och stndrdderivtor. Vi behöver därför br beräkn derivtn i x =. För det så nvänder vi tt om f är deriverbr i x = så är f kontinuerlig i x =. Nu är lim f(x) = lim ln(x2 + ) = x x enligt smmnsättningsregeln eftersom ln(x) är kontinuerlig i x = och lim x + x 2 =. och lim x x f(x) = lim cos(sin(x) + tn(x)) = + + enligt smmnsättningsregeln och stndrdgränsvärden sin(x), tn(x) och cos(x) när x. Eftersom så följer det tt f inte är kontinuerlig i x = och därför inte deriverbr. Derivtn v f(x) är således: 2x om x < +x 2 f (x) = odenierd ( ) om x = eller x = π/2 + nπ, n cos(x) + sin (cos(x) + tn(x)) om x > och x π/2 + nπ. cos 2 (x) 9: Tentmensfråg: [Del 2] Följnde påstående är felktigt: Om f (x) för ll x R så kommer f(x) f() + x. Identier felet och bevis tt påståendet är felktigt. Lägg till ett nytt, och rimligt, ntgnde som gör påståendet riktigt och bevis det riktig påståendet. [Fullständig motivering krävs.] (6poäng)

5 Resononomng: Medelvärdesstsen säger tt om f(x) är kontinuerlig på [, b] och deriverbr på ], b[ så nns det en punkt ξ ], b[ så tt f(b) f() = f (ξ)(b ). Dvs, med = och b = x, f(x) = f() + f (ξ)x. Om x, dvs x = x, så kn vi härled f(x) = f() + f (ξ)x f() + x eftersom f (ξ)x x = x om x och f (ξ). Dett visr påståendet om x. Men vi ser lätt tt rgumentet inte fungerr för x < eftersom om x < så är x = x och således { } f(x) = f() + f (ξ)x = f() f eftersom (ξ) x f f() x (ξ) och olikheten blir felvänd. Vi ser tt vi skulle behöv olikheten f (x) för tt genomför rgumentet med den olikhet vi vill h. Vi gissr tt det ny ntgndet vi behöver är f (x) (dett är br en gissning tills vi kn strikt bevis tt påståendet är snt med det ny ntgndet men i sken v ovnstående beräkningr så tycks det vr det ntgndet som behövs). Om det ntgndet vi behöver för tt gör påståendet snt är f (x) så borde vi kunn nvänd den informtionen för tt konstruer ett motexempel till ursprungspåståendet. Motexempel till påståendet: Låt f(x) = 2x då är f (x) = 2 för ll x R så f(x) uppfyller ntgndet i påståendet i uppgift 2. Men, med x = så får vi f(x) = f() = 2 > f() + x = så f(x) uppfyller därför inte slutstsen. Så f(x) = 2x är ett motexempel till påståendet i uppgiften. Vi hr därmed bevist tt påståendet är flskt. Korregert påstående:om f (x) och f (x) för ll x R så kommer f(x) f()+ x. Bevis: Enligt medelvärdesstsen så kommer det tt nns ett tl ξ melln och x så tt { f() + x = f() + x f(x) = f() + f om x eftersom f (ξ)x (ξ) f() x = f() + x om x < eftersom f (ξ). Det följer tt om x eller x <, dvs för ll x R, tt f(x) f() + x. Dett bevisr påståendet. Kommentrer: Ett fullgott svr på frågn skulle bestå i Motexempel till påståendet, Korregert påstående och Bevis. Jg tyckte tt det vr lite torftigt tt br skriv de delrn för det som är viktigt och det som jg vill tt ni sk kunn (frågn är br ett tftt försök tt test den verklig kunskpen) är tt resoner kring mtemtiken. I det här fllet så vlde jg, i princip, tt försök bevis det felktig påståendet och observerde nog när beviset bröt smmn. Dvs tt vi inte kunde dr slutstsen tt f(x) f() + x för negtiv x under de ntgnden som gjordes i påståendet. Då jg ville dr slutstsen f(x) = f()+f (ξ)x f()+ x för negtiv x så blev det gnsk lätt tt dr slutstsen tt f (x) vr ett rimligt nytt ntgnde. Det vr denitivt tillräckligt för tt kunn bevis påståendet. Denn observtion, som kom från ett försök tt bevis ett felktigt påstående, gv också en strk ntydn om tt ett motexempel borde kunn konstruers genom tt betrkt en funktion f(x) där f (x) < (dvs. bröt mot ntgndet jg trodde vr nödvändigt). All br mtemtik sker i kommuniktion med den mtemtisk formlismen. Vi försöker bevis något och är nog uppmärksmm på när mtemtiken säger Stopp - den här härledningen är inte stringent. Men stoppet i resonemnget ger en ledtråd till de rgument mtemtiken tillåter. Den värst uppfttningen ni kn t med er från den här kursen är tt mtemtiken är ett dött läroämne där llt som är värt tt vet står i mtteböcker smlde på dmmig hyllor på olik bibliotek. Mtemtiken är en dynmisk och ständigt pågående process där vi intergerr med den mtemtisk formlismen och för vrje sts i boken så nns det ndr lik viktig stser som vi kn bevis om vi vrsmt bektr de ledtrådr mtemtiken ger oss. Det nns ett uppenbrt problem med den här typen v tentmensfrågor. Nämligen tt jg ber er lägg till ett rimligt ntgnde. Vd som är rimligt är nturligtvis en tolkningsfråg och det är inte helt tydligt vd som är rimligt. I dett fll så tycker jg tt det extr ntgndet f (x) är rimligt. Men tt ntg tt f(x) är växnde (dvs f (x) ) är nog också rimligt. Påståendet skulle också bli snt om vi lde till ntgndet tt f(x) =konstnt eller f(x) = sin(x) jg tycker själv inte tt dess ntgnden är lik rimlig. Om f är konstnt så blir resulttet en trivilitet och om f(x) = sin(x) så skulle ursprungsntgndet f (x) vr onödigt så tt ntg tt f(x) = sin(x) är llt för specikt.

6 Men rimligheten i ett ntgnde är en tolkningsfråg som vi måste ccepter om vi vill h en mtemtikexmintion som tillåter oss tt exminer hur vi skpr mtemtik.