KTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1.

Transkript

1 KTH, Mtemtisk institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envribel, för F1. Kursens mål för godkänt: Studenten förvänts/skll efter genomgången godkänd kurs: H inhämtt funktionsbegreppet, inklusive definitions- och värdemängd, smmnstt och invers funktioner. Kunn egenskpern hos och definitionen v de elementär funktionern: polynom, rtionell funktioner, potensfunktioner, exponentil- och logritmfunktioner, trigonometrisk funktioner smt ders inverser, rcusfunktionern. Kunn ders derivtor inkl härledning. Kunn gränsvärdeslgrn. Kunn stndrdgränsvärden inkl härledning, smt kunn beräkn llmänn gränsvärden med hjälp v dess smt med Tylors formel och L Hospitls regel. Kunn härled llmänn deriveringsregler och tillämp dem, främst på elementär funktioner. Kunn derivtns och ndrderivtns tolkningr. Kunn formuler medelvärdesstsen (differentilklkylens), dess konsekvenser för tt bestämm vr funktioner växer resp. vtr. Kunn nvänd dett i problem. Kunn vgör om givn enklre funktioner är kontinuerlig respektive deriverbr. Kunn formuler och nvänd stsern om mellnliggnde värden och existens v störst och minst värden för kontinuerlig funktioner på slutn och begränsde intervll. Kunn med derivtns hjälp krkteriser lokl och globl extrempunkter, utför kurvundersökning, smt härled olikheter. Kunn bestämm primitiv funktioner till enklre elementär funktioner, inkl. llmänn metoder för dett, bl substitution och prtilintegrering. Kunn hndsks med integrler som gränsvärden v Riemnnsummor. Kunn formuler integrlklkylens huvudsts och hur den nvänds för tt beräkn integrler med hjälp v primitiv funktioner. Kunn vgör huruvid givn enklre generliserde integrler och serier konvergerr eller divergerr. Kunn nvänd integrler för tt härled formler för kurvlängd, reor och volymer, smt kunn nvänd formlern. Kunn lös ndr ordningens linjär differentilekvtioner med konstnt koefficienter, inklusive begynnelse- och liknnde problem, smt bestämning v prtikulärlösning i enklre fll. 1

2 Kunn formuler Tylors formel och bestämm Tylorpolynom smt restterm i enklre fll. Kunn viss stndrdutvecklingr (Tylorserier) smt ders konvergensområde: geometrisk serie, exponentilfunktion, sinus och cosinus. Högre betyg: Studenten förvänts/skll efter genomgången kurs: Allmänt sett kunn lös svårre, mer smmnstt problem och vis större insikt i teorin och begreppen, främst teorin om kontinuerlig funktioner. Kunn definier gränsvärde och kontinuitet och bevis tt givn funktioner är kontinuerlig. Kunn formuler xiomet om övre gräns och kunn nvänd det för tt vis existens v gränsvärden. Kunn skisser bevis för medelvärdesstsern och fundmentlstsen smt ders konsekvenser. Kunn nvänd dem i problem, t ex rörnde funktioners och ders derivtors nollställen/värdemängder. Kunn lös linjär differentilekvtioner med konstnt koefficienter v högre ordning. Kunn mnipuler integrler och serier. Kunn uppsktt integrler och serier för tt vgör konvergens. Kunn definier och hndsks med potensserier och kunn vgör vr de konvergerr. Kunn härled potensserier från llmänn egenskper om serier. Läsnvisningr till A. Persson, L.-C. Böiers, Anlys i en vribel, ndr upplgn Kp. 0. Dett är väsentligen ett repetitionskpitel i vilket behndls grundläggnde mteril som förutsätts under kursen. Komplex tl nvänds i kursen. En smmnfttning ges i ppendix A. Kp De reell tlen och ders egenskper beskrivs kort i kp 0 och här. En fylligre frmställning finns i ppendix C. 1.2 Mn bör h funktionsbegreppet, helt klrt för sig. detsmm gäller begreppen grf (vsnitt 1.2.2) och tlföljd (Ex. 7). 1.3 Absolutbeloppet dyker upp lite vrstns. Mn måste kunn hndsks med det och med funktionen f(x) = x. Läs ex

3 1.4 Polynom är en grundläggnde typ v funktioner. Mn behöver kunn fktoriser polynom, divider dem och kunn lös enklre polynomekvtioner. Läs ex I vsnitt dyker den geometrisk summn upp. Mn skll kunn formeln 1 + x + x x n = 1 xn+1 1 x. Mn sk också kunn binomilstsen (sid. 62) och Pscls tringel (sid. 64). Läs ex. 14, Kvoter v polynom klls rtionell funktioner. De kn skrivs som i ekv (17), s. 66. Den bygger på, sid. 81, polynomdivision från vsnitt 1.4. Rtionell funktioner förekommer oft i exempel Potens-, exponentil- och logritmfunktioner förutsätts känd sedn gymnsiet. Jämförelsestsern Sts 8, sid. 75, och sts 10 skll mn kunn. 1.8 Någr viktig begrepp i smbnd med funktioner är: definitionsmängd och värdemängd, smmnstt funktioner (observer tt ordningen för smmnsättningen spelr roll), invers funktioner. Läs ex Mn skll också kunn begreppen, uppåt resp. nedåt begränsd, smt begränsd funktion, sid 93, smt växnde, vtgnde, jämn och udd funktioner, s Läs ex Innehållet i förutsätts känt från gymnsiet. Mn skll kunn gränsvärdet sin x/x 1 då x 0 i Sts 14, s Det behövs senre för tt kunn deriver sinus och ndr trigonometrisk funktioner. Läs Ex Sinus och ndr trigonometrisk funktioner är periodisk och därmed inte inverterbr: ll värden nts ju oändligt mång gånger. Genom tt betrkt dem på lämplig delintervll, kn mn inverter. På så sätt får mn rcusfunktionern rcsin x och rccos x, s , smt rctn x, sid Läs exempel Mn kn inför hyperbolisk funktioner som en direkt motsvrighet till sinus och cosinus. De senres roll som koordinter på enhetscirkeln motsvrs v tt de hyperbolisk sinus och cosinus kn nvänds som koordinter på hyperbeln x 2 y 2 = 1. Mn får frm dem på följnde sätt: e x kn dels upp i en jämn funktion cosh x = 1 2 (ex + e x ) och en udd funktion sinh x = 1 2 (ex e x ). De är besläktde med cos x och sin x och uppfyller liknnde identiteter. T ex gäller (hyperbolisk ettn) cosh 2 x sinh 2 x = 1 i stället för cos 2 x + sin 2 x = 1. 3

4 1.12 Mn skll kunn nvänd induktion för tt vis formler. Se ex Gränsvärden. 2.1 Gränsvärdesbegreppet är fundmentlt i kursen. Du bör förstå den formell definitionen ekv. (4-5). Den idé som ligger bkom är inte svår. Vänster- och högergränsvärden definiers och förklrs på liknnde sätt, men mn betrktr br punkter till höger resp vänster om den givn punkten (längst ned sid. 134). En funktion hr gränsvärde i en punkt precis då dess vänster- och högergränsvärden i punkten existerr och är lik. Vid beräkning v gränsvärden nvänds gränsvärdeslgrn, Sts 2, s Läs exempel Då mn infört gränsvärden är kontinuitet näst steg. Att en funktion är kontinuerlig betyder tt den hr gränsvärden överllt och tt dess smmnfller med funktionsvärden (definition 2, s. 144; i ppendix C finns en ε δ-definition v kontinuitet: Def. 1, sid. 478). Definition 5, 6, 7, 8, och Sts 5, sid De vnlig, elementär, funktionern är kontinuerlig. Se s. 145, övre delen. Läs exempel 11, 12, 14. Stsen om mellnliggnde värden, längst ned på s. 148, nvänds i tillämpningr för tt finn nollställen, eller, llmännre, rötter till ekvtioner. Den förklrs i figuren på s Stsen som formulerts mitt på s. 149 är mycket viktig. Den är grunden i optimeringsproblem (mx och min). Mn bör förstå tt stsen inte är snn, och vrför, om mn ändrr någon v förutsättningrn. (Dess två stser beviss i ppendix C.) 2.3 I (16) formulers en vrint v Axiomet om övre gräns. Vd mn i verkligheten, t ex i Sts 6, nvänder är vrje växnde och uppåt begränsd följd v reell tl hr ett gränsvärde. Konsekvensen är existensen v gränsvärdet lim n (1 + 1 n )n, som mn döper till e. I Sts 7 härleds (bl..) mer llmänt lim (1 + x n n )n = e x, och i Sts 8 ytterligre någr relterde stndrdgränsvärden. Läs exempel I dett vsnitt smmnställs en list v stndrdgränsvärden som mn skll kunn. 4

5 2.5 Asymptot, enl. def 4, s Ex Serier införs i vsnitt 2.5.4, väldigt kortfttt. En (oändlig) serie är en tlföljd v delsummor, med fler och fler termer. Mn vill vet om en given serie hr ett värde, dvs om följden v delsummor hr ett gränsvärde. Begreppen konvergens och divergens =ej konvergens) införs i Def. 5. Den geometrisk serien i Ex. 24 och Sts 9 är utomordentligt viktig. Läs också Ex I Sts 10 ges villkoret för tt en serie med positiv termer skll konverger. Det är också ett mycket viktigt resultt. Kp 3. Derivtn. 3.1 I dett vsnitt förbereds derivtns införnde genom en diskussion v lutning och tngentlinjer till kurvor y = f(x). 3.2 Definition v derivtn och begreppet deriverbr(het) s Mn skll kunn (i enklre fll) beräkn derivtor utgående från definitionen. Definition v tngentlinjen: ekv. (3), s Observer tt en linje ges v en ekvtion. Tngentlinjen i ekv. (3) är grfen till funktionen P 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) (Tylorpolynomet v grd 1 till f, vid punkten x 0 ). Om f (x 0 ) 0 är it normllinjens ekvtion y f(x 0 ) = 1 f (x 0 ) (x x 0). Medn förstderivtn hr tolkningen hstighet hr ndrderivtn tolkningen ccelertion. Läs ex I ex. viss hur mn beräknr derivtn v potenser i det fll då potensen är ett heltl n 0. Det är fler steg kvr för tt vis formeln för llmänn potenser. Att den gäller för ll, dvs även negtiv, heltl följer v deriveringsregeln (1/g) = g /g 2 i näst vsnitt. 3.2 Sts 1 visr tt deriverbr funktioner lltid är kontinuerlig. Exemplet i figuren på sid 185, f(x) = x visr tt det finns funktioner som är kontinuerlig men inte derverbr i en punkt. Uppenbrligen hr bsolutbeloppet derivtn +1 för x > 0, medn den är 1 för x < 0. Det innebär tt högeroch vänsterderivtorn existerr men inte är lik i x = 0. Funktionen är då inte deriverbr i x = 0. I Sts 2 formulers de llmänn deriveringsreglern (för summ, produkt och kvot), ett måste. Sts 3, kedjeregeln är också ett måste. Knske är den lättre tt komm ihåg med Leibniz beteckningr: dy dx = dy du du dx. 5

6 Det gäller också formeln för derivering v en invers funktion, Sts 4. Den kn skrivs dx dy = 1. dy dx Deriveringsreglern ovn måste mn behärsk; det finns inget utrymme för tt gör fel här. De skll sitt i ryggmärgen. Läs Ex I Ex. 14 deriverr mn en ekvtion implicit. Det är en viktig llmän metod. T ex vill mn hitt tngenten till kurvn x 2 + y 2 = 1 (enhetscirkeln). Mn tänker sig då tt y = y(x) och deriverr hel ekvtionen med vseende på x. Det ger 2x + 2yy = 0 (enl. kedjeregeln), vrv y = x/y. Formeln är giltig om y 0. Vi observerr tt just för y = 0 smmnfller de två olik uttrycken för y på enhetscirkeln: y = ± 1 x 2. I exempel 15 tr mn ett steg till mote den llmänn formeln för potenser. I kombintion med kedjeregeln ger exemplet tt d dx xα = αx α 1, om α = m n, dvs formeln gäller för rtionell tl. Det llmänn fllet kräver tt mn med exponentilfunktionens hjälp definierr x α = e α ln x, för x > 0, och sedn deriverr. (Sts 8 i 3.4.) 3.4 I dett vsnitt härleds formler för de elementär funktionerns derivtor. Först rtionell funktioner, därefter exponentilfunktioner (Sts 5 och Följdsts) ), logritmer (Sts 6-7) och, slutligen llmänn potenser (Sts 8). Läs exempel Observer logritmisk derivering i Ex. 17, smt specilfllet f(x) = x x i Ex. 18. Mn fortsätter nu med de trigonometrisk funktionerns derivtor, Sts 9, som väl är beknt från gymnsiet. All dess resultt kommer från sin x stndrdgränsvärdet lim x 0 = 1. x I Sts kommer något nytt: derivtorn till rcusfunktionern. Mn måste kunn derivtorn v rcsin x och rctn x, ekv. (23) och (25). Av dem följer derivtorn för de ndr rcusfunktionern. Det är prktiskt men inte nödvändigt tt memorer någr v de hyperbolisk funktionerns derivtor (Sts 12). 3.5 Lokl extremvärden, dvs lokl mxim och minim, definiers på s I Sts 13, s. 201, viss tt i en lokl extrempunkt måste en deriverbr funktion h derivt noll (kritisk eller sttionär punkt). Omvändningen är inte snn som exemplet med f(x) = x 3 visr i den kritisk punkten x = 0. 6

7 Med hjälp v denn observtion kn mn formuler följnde resultt för bestämning v störst och minst värde. Sts. Ant tt < b och tt f(x) är kontinuerlig för x b. Då ntr f störst och minst värde i något v följnde lterntiv: (i) en punkt x med < x < b och f (x) = 0 (inre kritisk punkt), eller (ii) en punkt x med < x < b där f ej är deriverbr (inre singulär punkt), eller (iii) en v ändpunktern resp. b. Medelvärdesstsen (Sts 14, s. 202) är mycket viktig. Enkl exempel visr tt mn inte kn ändr på någon v stsens förutsättningr. Stsens geometrisk betydelse frmgår v figuren på sid 202, och i ett specilfll, sid 203. Med hjälp v medelvärdesstsen kn mn dr slutstser om en funktions vtgnde/växnde om mn vet derivtns tecken i ett intervll. Det viktigste ur tillämpningssynpunkt är just dett, formulert i Sts 15 och 16, med följdstser; s Begreppen vtgnde/växnde etc. införs på sid 94. Åter till medelvärdesstsen. Det är lätt tt övertyg sig själv om tt stsen gäller i det fll då funktionen är noll i intervllets ändpunkter (Rolles sts, figuren på sid 203). Mn bör ändå noter, tt resulttet bygger på stsen om existens v störst och minst värde, dvs (15), s. 149). Från dett specilfll får mn medelvärdesstsen genom ett vribelbyte. Läs exempel 19, 21, Högre ordningens derivtor införs på nturligt sätt. Den llmänn Leibniz formel för högre ordningens derivtor, Sts 17, s. 209, kn ses som ett slgs vrint v binomilstsen och är iblnd nvändbr, t ex i Ex Komplexvärd funktioner derivers komponentvis (högst upp på s 211). Ex visr hur det går till. Resulttet i Ex. 26 (ekv. (36)) är viktigt. Det behövs då vi längre frm skll lös differentilekvtioner. 3.8 En funktion som uppfyller (37), där ρ(h) 0 då h 0, klls för differentierbr. Mn kn gör en liknnde definition i fler vribler (näst kurs, 5B1107) och differentierbrhet är då det rätt begreppet. I en dimension är deriverbrhet och differentierbrhet smm sk, men inte i fler vribler. 4. Användning v derivtor. 7

8 4.1 I Ex. 1 studers hur mång gånger en given funktion, här f(x) = x x, ntr sin värden. Nyckeln är tt kunn skisser funktionen. Dett sker genom studium v derivtns tecken. Br problem! 4.2 En kritisk punkt kn krkterisers genom derivtns teckenväxling: Sts 1, sid 220. Om f är två gånger deriverbr kn mn i stället nvänd ndrderivtetestet: Sts 2, sid Här ges ett ntl exempel på optimeringsproblem, oft ostrukturerde, dvs mn måste själv inför en funktion som skll minimers eller mximers i något intervll. Läs ex. 4, Olikheter beviss lite som de ostrukturerde optimeringsproblemen. Mn inför en hjälpfunktion. Problemet övergår då till tt vis tt denn funktion hr konstnt tecken i ett visst intervll, vilket mn får frm genom tt studer derivtn. Ex. 11 är rätt typiskt. 4.5 Här skll mn känn till definitionen v konvexitet, smt Sts 5 med följdsts. Läs Ex. 16, Primitiv funktioner. 5.1 F är en primitiv funktion till f om F = f, se Def. 1, s Primitiv funktioner skiljer sig högst på en konstnt ty F = G = f ger (F G) = 0 och då måste F G vr konstnt, enligt Sts 15, s (Konsekvens v medelvärdesstsen!) Mn bör kunn listn på elementär primitiv funktioner, möjligen utom (12). Formeln för prtiell integrtion, Sts 1, är helt enkelt en vrint v formeln för derivering v en produkt. Läs Ex Noter speciellt den integrerde ettn i Ex 4. Sts 2, vribelsubstitution, är en vrint v kedjeregeln. Läs ex Integrtion v rtionell funktioner bygger på polynomdivision och fktorisering v nämnren i reell polynom. Mn kn sedn del upp i prtilbråk. En smmnfttning ges i tbellen på sid 260. Läs Ex , Det är svårt tt säg något llmänt om dett vsnitt. Mn bör dock noter tt i en integrl som innehåller 1 x 2 kn det vr värt tt prov den invers substitutionen x = sin u. Anlogt kn mn prov x = sinh u, i en integrl som innehåller 1 + x Mn bör vr medveten om tt substitutionen t = tn(x/2) oft fungerr vid integrtion v trigonometrisk funktioner. Av Ex. 24 frmgår hur mn 8

9 kn nvänd identitetern cos x = 1 2 (1 + cos 2x) resp. sin x = 1 (1 cos 2x), 2 eventuellt fler gånger för tt integrer jämn potenser v sin x och/eller cos x. Udd potenser integrers med hjälp v substitution och trigonometrisk ettn, som i Ex. 25. En lterntiv metod är tt nvänd Eulers formler för den komplex exponentilfunktionen. Se Ex Integrler. I dett vsnitt är höjdpunkten Integrlklkylens fundmentlsts (Sts 9, s. 296) som kopplr ihop begreppen integrtion och derivtion. 6.1 Integrler införs oftst med motivering tt kunn beräkn ren under en kurv. Mn kn då strt med tt integrer trppfunktioner, dvs funktioner som är styckvis konstnt på öppn intervll. Integrlen v en trppfunktion, Def. 1, s. 285, införs på nturligt sätt, och i Sts 1, s. 286, beskrivs ett ntl räkneregler. Integrlen v mer llmänn, t ex kontinuerlig funktioner införs genom limesövergång och pproximtion, ovn- och underifrån, med trppfunktioner. 6.2 Sts 3, s. 288, visr tt just för kontinuerlig funktioner, på slutn och begränsde intervll, fungerr denn pproximtionsmetod. Beviset bygger på begreppet likformig kontinuitet som behndls mer i Appendix C. Den viktig egenskpen är tt kontinuerlig funktioner vrierr lite på små intervll. En konsekvens v denn sts är (Sts 4) tt mer llmänn Riemnnsummor konvergerr mot integrlen: om f är kontinuerlig på [, b] så gäller lim n n f(ξ k ) x k = k=1 under förutsättning tt ξ k [x k 1, x k ], där f(x) dx = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b, x k = x k x k 1 och mx 1 k n x k 0, n. Av Ex. 1 frmgår hur besvärligt det är tt beräkn integrler direkt. 9

10 6.3 I Sts 5 formulers räknelgrn för mer llmänn, integrerbr funktioner. Det viktig resulttet i dett vsnitt är dock Integrlklkylens medelvärdessts, Sts 7. Den bygger på stsen om mellnliggnde värden, och dess innebörd frmgår v figuren på sid Integrlklkylens fundmentlsts (Sts 9) och dess konsekvens, insättningsformeln, Sts 10, är hörnstenrn i integrlklkylen. Huvudstsen visr tt en funktion som är kontinuerlig på ett intervll hr en primitiv funktion, och insättningsstsen visr hur den nvänds för tt beräkn integrlen. Med dess resultt i hnden kn mn nvänd substitution och prtiell integrtion ungefär som förut. Läs Ex I dett vsnitt behndls generliserde integrler. De är två olik sker mn måste tänk på. Dels kn integrtionsintervllet vr oändligt, dels kn integrnden vr obegränsd i någon v ändpunktern. Mn måste då beräkn integrlen som ett gränsvärde. Integrlen är konvergent om ett ändligt gränsvärde existerr. I nnt fll är integrlen divergent. Läs Ex Ex. 12 och 15 visr tt x dx α konvergerr om och endst om α < 1 och 1 dx xα konvergerr om och endst om α > 1. Dett resultt skll senre nvänds i smbnd med konvergens v serier. Oft blir det enklre om mn gör en uppskttning och jämför den givn funktionen med en enklre funktion. Dett formulers i Sts 11. Läs Ex Användningr v integrler. 7.1 På sid 311 behndls ren v området g(x) y f(x), x b. Rent llmänt gäller tt re fås genom tt integrer längd eller höjd. Här är höjden differensen f(x) g(x) och ren blir A = (f(x) g(x)) dx. Mer llmänt gäller formeln f(x) g(x) dx för ren melln grfern y = f(x) och y = g(x) då x b. Läs Ex Rent llmänt beräkns volymen v en solid tredimensionell kropp genom tt integrer ren: formel (1), s

11 För rottionskroppr uppstår två olik fll: Rottion kring x-xeln: Vid rottion v området melln kurvn y = f(x) och x-xeln, för x b, blir ren v en skiv A(x) = πf(x) 2 = πy 2, så volymen blir V = πf(x) 2 dx = πy 2 dx. Rottion kring y-xeln: Ant f(x) 0 för x b. Linjestycket melln y = 0 och y = f(x) ger vid rottion kring y-xeln en cylinder med höjd f(x) och med omkrets 2πx (vi ntr tt x 0). Cylinderns re blir då A(x) = 2πxf(x) och volymen blir V = 2πxf(x) dx = 2πxy dx. Läs Ex En prmetriserd kurv i plnet kn skrivs r(t) = (x(t), y(t)) där prmetern t ( tiden ) genomlöper ett intervll, säg α t β. (Vi kn lik gärn h en kurv i tre dimensioner: r(t) = (x(t), y(t), z(t)), α t β.) Här är r(t) positionsvektorn. Dess derivt v(t) = r (t) = (x (t), y (t)) är hstighetsvektorn och ndrderivtn (t) = v (t) = r (t) = (x (t), y (t)) är ccelertionsvektorn. Hstighetsvektorn är kurvns tngentvektor, vid r(t). Längden v hstighetsvektorn är frten Hel kurvns längd är v(t) = v(t) = x (t) 2 + y (t) 2. L = β α v(t) dt = β För en funktionskurv (grf) y = f(x), x b gäller formeln L = α ds. 1 + f (x) 2 dx = ds. Läs Ex. 8-10, Vid rottion v en kurv y = f(x), x b, kring x-xeln bilds en rottionsyt. Dess re (vi ntr tt f(x) 0) ges v A = 2πf(x) ds = 11 2πf(x) 1 + f (x) 2 dx.

12 Läs Ex Sts 1, s. 341, säger tt mn för viss positiv serier kn jämför med motsvrnde integrl för tt vgör konvergens. Figuren på s. 340 förklrr smbndet. Läs Ex Ex. 22 är speciellt viktigt. Det gäller tt serien 1 k=1 k α konvergerr för α > 1 och divergerr för α 1. Gränsfllet är den divergent hrmonisk serien k=1 8. Differentilekvtioner. 1. k 8.5 Den llmänn lösningen till en inhomogen ekvtion ((23), s. 375) är y h + y p, där y p är en godtycklig (vilken som helst) prtikulärlösning, och där y h är den llmänn lösningen till motsvrnde homogen ekvtion. 8.6 Krkteristisk polynomet (27), s Beroende v hur de krkteristisk röttern ser ut, uppstår tre olik fll (sid 381). De kn beskrivs som () skild reell rötter, (b) smmnfllnde rell rötter, smt (c) rötter med imginärdel 0. Denn uppdelning gäller om mn vill h lösningrn på reell form. Om mn inte bryr sig om det så är de olik fllen r 1 r 2 resp. r 1 = r 2. Se Sts 2, s Läs Ex Lämplig nsts för prtikulärlösningr får mn giss. Vid resonns måste mn modifier den nturlig nstsen för prtikulärlösning. T.ex. fungerr inte nstsen y p = Ae x i ekvtionen y y = e x eftersom e x redn löser den homogen ekvtionen. Mn gör i stället nstsen y p = Axe x, eller mer generellt, y p = ze x, där funktionen z = z(x) skll bestämms. 9. McLurins och Tylors formler Vid pproximtion v en funktion med motsvrnde värde på tngentlinjen gäller formeln för linjär pproximtion f(x) = f()+f ()(x )+R 2 (x) = P 1 (x)+r 2 (x), R 2 (x) = f (ξ) (x ) 2, 2 där R 2 betecknr resttermen (felet) vid pproximtionen (v ordning 1). Det är en generlisering v medelvärdesstsen. 9.2 McLurins och Tylors formler, Sts 1, sid 411, och ekv. (3), s. 413, är generliseringr v linjär pproximtion. (McLurins formel fås genom tt sätt = 0 i Tylors formel.) Denn gång pproximerr mn f med ett polynom P n v grd n. Dett polynom är vlt så, tt dess och dess derivtors värden upp till ordning n 12

13 smmnfller med f:s, i den givn punkten. Vi kn skriv dett f(x) = P n (x) + R n+1 (x), där pproximtionen P n (x) och felet R n+1 (x) är givn v P n (x) = n k=0 f (k) () k! (x ) k, R n+1 (x) = f (n+1) (ξ) (x ) n+1, k! för någon punkt ξ melln och x. 9.3 Mn skll kunn utvecklingrn v e x, cos x och sin x. (Sts 2, s. 413.) 9.5 Läs exempel 1, 2, 4-6. På sid behndls det fll när resttermen går mot 0 då n. För sådn funktioner gäller f(x) = lim n P n (x) = f (k) () k=0 (x ) k. k! Vi hr tidigre sett tt dett gäller för den geometrisk serien, om = 0 och x < 1. Mn skll känn till motsvrnde resultt för e x, cos x och sin x, då konvergens gäller för ll reell x. 9.6 Mn skll känn till och kunn nvänd l Hospitls regel, s Tillägg om serier och potensserier. Följnde jämförelsests är mycket nvändbr: Sts 1. Om n 0, b n 0 och så gäller n=1 n n b n L, där 0 < L <, konvergent n=1 b n konvergent. Genom det kn mn jämför en given serie n=1 n med en känd, enklre, serie n=1 b n. Absolutkonvergens: Definition: En serie k=0 k är bsolutkonvergent om k=0 k konvergerr, dvs om k=0 k <. Sts 2. Om k=0 k är bsolutkonvergent så är serien också konvergent. Potensserier: En funktion på formen k=0 k(x x 0 ) klls för en potensserie. Vi hr sett ovn, tt e x, cos x och sin x kn skrivs som potensserier med konvergens i hel plnet. Följnde gäller: 13

14 Sts 3. För potensserien k=0 k(x x 0 ) gäller ett v följnde lterntiv: (i) serien konvergerr br för x = x 0 ; (ii) det finns ett tl R sådnt tt serien konvergerr för x x 0 < R och divergerr för x x 0 > R; (iii) serien konvergerr för ll x. Tlet R klls för seriens konvergensrdie. Fll (i) kn ses som tt R = 0 och fll (ii) som R = +. I llmänhet kn mn inte utn vidre undersökning, uttl sig om huruvid för x x 0 = R serien konvergerr i en, båd eller ingen v punktern. Sts 4. Innnför konvergensrdien är det tillåtet tt deriver eller integrer termvis. Från dett resultt följer t ex tt, för x < 1 gäller 1 (1 x) = d 2 dx 1 1 x = d dx Anlogt gäller, om x < 1, x k = k=0 kx k 1 = 1 + 2x + 3x k=0 ln(1 + x) = x t dt = x 0 (1 t + t 2 t ) dt = x x2 2 + x3 3 x