Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH"

Transkript

1 Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH

2 Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn smm symbol som den primitiv funktionen f(x) dx, men mn måste nog håll isär dem. I den endimensionell nlysen gäller den s.k. insättningsformeln F (x) = f(x) dx f(x) dx = F (b) F (), så släktskpet är uppenbrt. Men den bestämd integrlen definiers egentligen på ett helt nnt sätt: mn kn se den som ren under grfen till f, om vi räknr ren med tecken så tt den är negtiv då ren ligger under x-xeln. På ett motsvrnde sätt definiers integrlen v funktioner v två vribler som en volym med tecken, o.s.v. Vi sk här introducer den bestämd integrlen genom insättningsformeln, eftersom det är så vi rbetr med den när vi sk bestämm den. Därefter sk vi se hur den så definierde bestämd integrlen kn tolks som en re med tecken. På vägen ser vi då tt vi till en godtycklig kontinuerlig funktion kn konstruer en primitiv funktion genom tt mät just ren under grfen och får därför tt ll kontinuerlig funktioner hr en primitiv funktion. Slutligen sk vi se lite på hur vi numeriskt kn bestämm en bestämd integrl när vi inte kn bestämm en formel för den primitiv funktionen. En ordentlig genomgång v den bestämd integrlen kräver egentligen tt mn börjr i ndr änden och definierr den som en re eller volym. Dett görs i integrtionsteorin, men det lämnr vi till en egen kurs. Efter tt vi på dett sätt hr bestämt vd en bestämd integrl är, tittr vi närmre på dess tolkning i form v ett gränsvärde v summor, s.k. Riemnnsummor. När vi gör det tittr vi också närmre på vd integrnden egentligen är för typ v objekt och vi ntyder hur tolkningen vi Riemnnsummor hjälper oss tt förstå de prktisk tillämpningrn v integrler. Slutligen generliserr vi den bestämd integrlen lite. Vi kn se den bestämd integrlen som tt vi integrerr en funktion längs ett intervll med vseende på x. Betydelsen v x är tt den mäter båglängd på dett kurvstycke. Mer precist, dx är längden v ett (infinitesimlt) liten bit v intervllet. Dett kn generlisers till tt vi integrerr funktioner (v två vribler) längs pln kurvor med vseende på båglängden, lltså längden v kurvn. Krvet är br tt kurvn är en styckvis C -kurv, så tt vi kn definier båglängden på den. Vi sk se hur dett definiers och tt den prktisk beräkningen v en sådn integrl innebär tt vi beräknr en vnlig bestämd integrl. Den bestämd integrlen Låt f vr en funktion som är kontinuerlig i en omgivning till intervllet [, b]. Om F är en primitiv funktion till f i denn omgivning, kllr vi skillnden F (b) F () för den bestämd integrlen v f över intervllet [, b]. Denn beror uppenbrligen inte på vilken primitiv funktion vi väljer, ty om G är en nnn primitiv funktion till f så vet vi tt G(x) = F (x) + C för någon konstnt C. Det följer tt G(b) G() = F (b) F (). Den bestämd integrlen beror därför endst v f och intervllet [, b] och vi inför därför

3 Integrlklkyl 2 (3) beteckningen f(x) dx för denn. En nnn beteckning som är oft nvänd är [F (x)] b. Vi hr därför tre olik beteckningr för smm sk: f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). Av dess sk vi ge den först en lterntiv tolkning i näst vsnitt medn den mellerst är en bekväm kortform v den till höger, som är vår ursprunglig definition. Exempel Vi hr tt 6 3 [ x x 2 3 dx = 3 ] 6 3 = = 63. När mn nvänder den först v beteckningr ovn kn det vr värt tt noter tt det inte spelr någon roll vd mn kllr integrtionsvribeln. Vi hr t.ex. f(x) dx = f(u) du = f(t) dt och så vidre, eftersom i ll fllen är det tlet F (b) F () som sk beräkns. Vi tillåter fllen = och b = under förutsättning tt integrlen får mening som ett gränsvärde. T.ex. sk tolks som f(x) dx X lim f(x) dx = lim (F (X) F ()). X X Exempel 2 Vi hr tt dx x 2 = [ x ] = lim X ( X + ) = 0 + =. På smm sätt tillåter vi tt funktionen f endst är definierd och kontinuerlig på det öppn intervllet ], b[ om vi kn beräkn integrlen över ll intervll [α, β], där < α < β < b, och får ett gränsvärde när α och β b. Nturligtvis behöver vi inte gör gränsövergång i en ände där integrnden f är kontinuerlig.

4 Integrlklkyl 3 (3) Exempel 3 0 dx dx = lim = lim(2 2 α) = 2. x α 0 α x α 0 Vi sk nu ge ett ntl räkneregler för den bestämd integrlen, vilk ll är direkt konsekvenser v dess definition: ) f(x) dx = 0, b) c) d) e) f(x) dx = b cf(x) dx = c f(x) dx, f(x) dx, (f(x) + g(x))dx = f(x) dx = c f(x) dx + g(x) dx, f(x) dx + f(x) dx. c Den sist formeln är ekvivlent med tt F (b) F () = (F (c) F ()) + (F (b) F (c)). Noter tt det finns inget krv på tt c sk ligg melln och b. En nnn viktig observtion är tt om g(x) f(x) i [, b] så gäller tt g(x) dx f(x) dx. Bevis. Vi börjr med fllet tt g(x) = 0 överllt. Då är f(x) 0 och dess primitiv funktion är därför växnde i intervllet, vrför f(x) dx = F (b) F () 0. Ur dett följer sedn tt om f(x) g(x) 0 överllt, så är Dett är påståendet. f(x) dx g(x) dx = (f(x) g(x)) dx 0. En direkt konsekvens v dett är tt om m f(x) M för x b, så gäller tt m b f(x) dx M. Till dess räkneregler kommer sedn formeln för prtiell integrtion: f(x)g(x)dx = [F (x)g(x)] b F (x)g (x)dx, vilken följer direkt ur motsvrnde formel för primitiv funktioner, smt

5 Integrlklkyl 4 (3) Sts : Stsen om vribelsubstitution Om f är en kontinuerlig funktion och g en deriverbr och strängt monoton funktion sådn tt g(α) = och g(β) = b, så gäller tt f(t) dt = β α f(g(x))g (x)dt. Denn sts följer nturligtvis direkt ur kedjeregeln som tidigre. Hur mn prktiskt kn skriv ut räkningrn frmgår v näst exempel. Exempel 4 0 xdx + x 2 = t = + x 2 dt = 2xdx t(0) =, t() = 2 2 dt [ ] 2 2 t = t = 2. Funktionern g(x) ges lltså här v g(x) = + x 2 men nvänds som en ny vribel t. Integrlen mäter en re Vi sk nu gör en geometrisk tolkning v uttrycket f(x) dx, som i sin tur sk gör det möjligt för oss tt konstruer en primitiv funktion till en godtycklig kontinuerlig funktion. Vi börjr med tt gör en indelning = x 0 < x <... < x n = b v intervllet [, b] i delintervll. Vi hr då tt n F (b) F () = (F (x k ) F (x k )). k= Ur medelvärdesstsen [] och eftersom F = f, följer tt det i vrje intervll [x k, x k ] finns (minst) ett ξ k sådnt tt F (x k ) F (x k ) = f(ξ k )(x k x k ). Högerledet kn tolks som ren v en rektngel med bs v bredd k x = x k x k och höjd f(ξ k ). Noter tt ren här räkns med tecken: om f(ξ k ) < 0 blir ren negtiv. Om vi summerr ll bidrgen får vi tt n f(x) dx = F (b) F () = f(ξ k ) k x. Högerledet åskådliggörs i figuren nedn. k=

6 Integrlklkyl 5 (3) y x x 2... x k ξ k x k+... b x Av figuren verkr det som tt summn v rektngelreorn är lik stor som ren under kurvn. [2] Vi vill därför tolk f(x)dx = Aren under grfen y = f(x) över [, b]. Vi nvänder här uttrycket ren under grfen till tt men ren melln grfen och x- xeln, räknd positiv om grfen ligger ovnför x-xeln och negtiv om grfen ligger under x-xeln. Även om vi nu gjort dett troligt, så hr vi inte vist det strängt. För det måste vi nämligen först definier vd vi menr med ren under grfen och sedn dr slutstsen tt resonemnget ovn ger resulttet. Denn diskussion lämns till en diskussion om den s.k. Riemnn-integrlen, vilket är det begrepp som fyller igen hålen i resonemngen ovn. Det vi åstdkommit är tt vi fått en definition v f(x) dx även om vi inte hr en primitiv funktion till f, under förutsättning tt ren under grfen är väldefinierd. Men nu visr det sig tt vi kn nvänd denn definition till tt konstruer en primitiv funktion till en godtycklig kontinuerlig funktion. För tt gör dett låter vi f vr en kontinuerlig funktion på [, b] och vi definierr S(x) = x f(t) dt, x b. Här beräkns högerledet lltså som ren under grfen till f. Vi sk då vis tt S är en primitiv funktion till f.

7 Integrlklkyl 6 (3) För tt vis tt S är deriverbr i punkten c skriver vi S(x) S(c) = x c f(t) dt = H(x)(x c), där höjden H(x) är npssd så tt rektngeln som hr som bs det intervll som hr ändpunkter c och x och höjd H(x), hr smm re (räknd med tecken) som området (grått i figuren) under grfen över intervllet [c, x]. Men vi ser då tt H är en kontinuerlig funktion i x = c; dess värde i x = c är helt enkelt H(c) = f(c). Dett därför tt min [c,x] f(x) H(x) mx f(x) [c,x] H(x) c x och om f är kontinuerlig i c gäller tt mx [c,x] f(x) min [c,x] f(x) 0 då x c. Men dett visr både tt S är deriverbr och tt S är en primitiv funktion till f. Dett resultt klls Anlysens huvudsts och säger lltså tt vrje kontinuerlig funktion hr en primitiv funktion som definiers v tt vi beräknr ren under dess grf från en strtpunkt. Om vi byter strtpunkt ändrr vi endst ren med en konstnt. Exempel 5 Det går inte tt hitt en primitiv funktion till funktionen f(x) = e x2 som kn uttrycks i de elementär funktionern. Anlysens huvudsts säger emellertid tt det finns en primitiv funktion; en sådn kn definiers genom S(x) = x 0 e t2 dt och beräkns lltså genom tt vi beräknr ren melln grfen y = e x2 över intervllet [0, x]. och x-xeln Ett sätt tt definier den nturlig logritmen Det som krkteriserr den nturlig logritmen ln x är tt den är noll då x = och tt dess derivt är /x. Men det betyder tt vi hr tt ln x = x Vi kn fktiskt nvänd dett till tt definier den nturlig logritmen. Vi hr ju ovn sett tt högerledet definierr en deriverbr funktion vrs derivt är /x och funktionen är 0 då x = eftersom vi då integrerr endst över en punkt. Vi sk nu se vilk egenskper den funktion får som vi definierr på dett sätt (mer precist sk vi se tt vi ur denn definition kn härled logritmens ll egenskper). dt t.

8 Integrlklkyl 7 (3) Det först vi ser är tt ln x är positiv då x > och negtiv då x < och noll då x =. Vidre gäller tt xy dt x t = du u = ln x y vilket mn ser genom tt gör vribelbytet t = yu. Men då ser vi tt xy dt t = y dt t + xy y dt t = y dt t + Dett är inget nnt än den grundläggnde logritmlgen Vi kn vis den ndr logritmlgen på ett motsvrnde sätt: x y ln(xy) = ln x + ln y. ln x y = y ln x dt x t = yu y du x ydu = u y u där vi gjorde vribelbytet t = u y i integrlen. x = y ln x, Vi hr därmed härlett logritmens viktigste egenskper, de som gör den så nvändbr. När vi hr den nturlig inversen kn vi nturligtvis konstruer dess invers. Den så uppkomn funktionen blir exponentilfunktionen exp(x). Som invers till logritmen ser vi tt den får egenskpen tt exp = exp och tt exp(0) =. Vidre följer direkt ur logritmlgrn tt exp(x + y) = exp(x) exp(y) och (exp(x)) y = exp(yx). Ur dess ser vi sedn tt exp(x) = e x där e = exp(). Därmed hr vi fyllt igen ett hål i kpitlet Om exponentilfunktioner och logritmer, genom tt vi hr vist tt det verkligen finns en funktion som löser problemet y (x) = y(x), y(0) =. dt t. Anmärkning Det kn vr intressnt tt noter tt x t α dt = xα α = eα ln x α ln x då α 0. Om numerisk beräkning v integrler Om vi inte kn beräkn en integrl f(x) dx

9 Integrlklkyl 8 (3) genom tt finn en primitiv funktion, hur gör mn då för tt beräkn den? Det finns ett flertl numerisk metoder för dett ändmål. En enkel sådn klls trpetsmetoden och tillgår på följnde sätt. Först delr vi in intervllet i n delr: = x 0 < x <... x n = b och inför beteckningen y k = f(x k ) för funktionsvärdet i indelningspunktern. Oft väljer mn indelningspunktern så tt vrje delintervll [x k, x k ] hr smm längd, men det är inte nödvändigt och iblnd inte ens önskvärt. Trpetsmetoden innebär nu tt mn i intervllet [x k, x k ] ersätter funktionskurvn med den rät linje som förbinder ändpunktern (x k, y k ) och (x k, y k ) (se figuren nedn). Aren v det så uppkomn prllelltrpetset är då y k + y k (x k x k ). 2 y x x 2 x 3 x 4 b x Summerr vi ll dess trpetsreor får vi tt ren under polygonkurvn blir n y k + y k (x k x k ). 2 k= Dett ger en pproximtion v integrlen, dvs n y k + y k f(x)dx (x k x k ). 2 k= Hur br denn pproximtion är, är en nnn fråg som vi inte bryr oss om här. Om delintervllen [x k, x k ] ll är lik, med intervllängd x = x k x k, blir denn formel gnsk enkel. Utom i ändpunktern förekommer y k två gånger i summn, vilket betyder tt det då gäller tt f(x)dx ( y 0 + y n 2 n + y k ) x. k=

10 Integrlklkyl 9 (3) Exempel 6 Låt oss pproximtivt beräkn d (lltså ln 2) genom tt del in intervllet [, 2] i 5 lik stor delintervll och nvänd trpetsformeln på dett. Vi får då följnde värdetbell Trpetsformeln blir i dett fll dx x x k : y k : ( ) = vilket därför blir ett närmevärde på integrlen. Det exkt värdet, till tre decimler, är Integrlen är en oändlig summ Vi hr sett tt integrlen f(x)dx nturligt tolks som en re. Det är emellertid för mång tillämpningr inte det sätt mn sk tolk integrlen på. I vår diskussion såg vi tt vi också hde tt n f(x)dx = f(ξ i ) i x, i x = x i x i i= för någr tl ξ i [x i, x i ]. Vi kn därför tolk integrltecknet som en uppmning tt summer uttryck på formen f(x)dx; fktum är tt integrltecknet är just ett svängt S för summ. För tt gör dett lite mer konkret sk vi försök tolk uttrycket f(x)dx. Vi vet tt tngenten till grfen y = f(x) i punkten x = ges v ekvtionen y f() = f ()(x ). Skriv dy = y f() och dx = x, så tt dett blir dy = f ()dx. Det innebär tt om vi går dx steg från i x-led och följer tngenten, så kommer vi tt förflytts dy steg i höjdled. Vi inför därför begreppet differentil, definierd v df() = f ()dx. (, f()) f() Tolkningen v differentilen är tt df() tlr om hur mycket vi ändrr y-värdet längs tngenten när vi går från till + dx i x-led. Vi ser tt dett utgör en pproximtion v hur mycket vi ändrr f då vi ändrr x med storleken dx, förutstt tt dx är liten, lltså v f() = f( + dx) f(). dx df()

11 Integrlklkyl 0 (3) Exempel 7 Vi hr tt cos (x) = sin x, vilket betyder tt d(cos x) = sin x dx. Låt nu F vr en primitiv funktion till f, så tt df (x) = f(x)dx, Vi kn då skriv f(x)dx = df (x) = F (b) F (). Dett är behändigt tt nvänd t.ex. när mn prtilintegrerr. Vi hr tidigre skrivit formeln för prtilintegrtion som f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx, men med hjälp v differentilen kn vi skriv den som g(x)df(x) = f(x)g(x) f(x)dg(x). Exempel 8 Vi hr tt x 2 sin x dx = x 2 d( cos x) = x 2 ( cos x) ( cos x)d(x 2 ) = 2 x cos x dx x 2 cos x = 2 x d(sin x) x 2 cos x = 2(x sin x sin x dx) x 2 cos x = cos x + 2x sin x x 2 cos x + C. Men den stor poängen med denn diskussion är tt den hjälper oss tt se när och hur integrler dyker upp i tillämpningr. Det hndlr då om tt bygg storheter genom tt lägg ihop delr som vi kn beräkn. Ett enkelt exempel är volymen v rottionskroppr. Exempel 9 Om vi roterr grfen y = f(x), x b runt x-xeln uppstår en kropp. Dess volym kn beräkns med hjälp v en integrl på följnde sätt. Argumentet beskrivs i text nedn, och finns grfiskt illustrert i en figur efter texten. Vi tänker oss tt vi snittr kroppen med pln som går vinkelrät mot rottionsxeln (lltså x-xeln). Snittet som ligger på vståndet x från origo består v en cirkeskiv med rdien f(x) och centrum på rottionsxeln, så dess re är därför lik med A(x) = πf(x) 2. Vrje snitt tänker vi oss hr en tjocklek dx, vilken vi tr som väldigt

12 Integrlklkyl (3) liten. Då får snittet en volym, som beräkns genom dv (x) = A(x)dx = πf(x) 2 dx. Den totl volymen v kroppen får vi genom tt summer dess skivor, vilket enligt resonemnget ovn innebär tt vi sk beräkn integrlen V = dv (x) = πf(x) 2 dx. Anmärkning Resonemnget är lite suspekt, eftersom vi i prktiken låter tjockleken vr noll. Men om vi tänker på det som tt vi hr tunn skivor vrs volym vi pproximerr med A(x)dx, så får vi en pproximtion v integrlen i form v en Riemnnsumm. En pproximtion som br bli bättre om vi gör ännu tunnre skivor. Dett resonemng görs solitt i kpitlet om Riemnnintegrlen. y dx y = f(x) f(x) x x Snittets dimensioner: Are: πr 2 = π[f(x)] 2 Tjocklek: dx Volym: dv = Are tjocklek = π[f(x)] 2 dx Integrtion längs en kurv För tt vidre illustrer integrlen som en summ sk vi utvidg den till tt definier och beräkn integrtion längs en kurv i plnet. Dett kommer tt vr en generlisering

13 Integrlklkyl 2 (3) v integrlen f(x) dx, men när mn de fcto sk beräkn en sådn integrl återförs problemet på tt bestämm en sådn integrl. Vi sk börj med tt definier båglängden v ett kurvstycke γ = {c(t) = (x(t), y(t)), t [, b]}. Dett är en funktion s(x, y) som mäter hur långt det är längs kurvn från en ändpunkten, säg c(), till punkten (x, y) på kurvn. Om vi tolkr t som en tid, så ges frten vid tiden t v uttrycket c (t). Frten gånger tiden är sträckn, så i ett litet tidsintervll [t, t + dt] bör vi hinn sträckn ds = c (t) dt. Summerr vi ll sådn små delsträckor får vi den totl båglängden som L = c (t) dt. Anmärkning Det finns ett ekvivlent sätt tt definier båglängden som är intressnt i sig själv. Vi börjr då med tt definier ett polygon som en kurv som består v rät delstycken. Längden v en sådn beräkns enkelt: om hörnpunktern är (x i, y i ) så ges vståndet melln (x i, y i ) och (x i, y i ) enligt Pytgors sts v L i = (x i x i ) 2 + (y i y i ) 2 och den totl längden v polygonet blir då L P = n i= L i. Om vi nu väljer dess punkter på vårt kurvstycke så tt (x i, y i ) = c(t i ), så kn vi skriv dett som L P = n (x(ti ) x(t i )) 2 + (y(t i ) y(t i )) 2. i= Men nu ger medelvärdesstsen tt x(t i ) x(t i ) = x (ξ i )(t i t i ) med t i ξ i t i, och likdnt för y. Vi ser därför tt om vi gör indelningen finre och finre så får vi tt L P x (t) 2 + y (t) 2 dt = L. Vi ser tt vi får smm integrl tt beräkn med denn härledning. Exempel 0 Vi sk räkn ut längden v kurvn γ = {(3t 2, 3t t 3 ); t 2}. Deriverr vi prmetriseringen får vi tt c (t) = (6t) 2 + (3 3t 2 ) 2 = 3 + 3t 2, så längden ges v c (t) dt = 2 γ (3 + 3t 2 )dt = 0.

14 Integrlklkyl 3 (3) Följnde exempel visr nu vrför det kn finns nledning tt integrer en funktion m..p. båglängden. Exempel Vi tänker oss tt kurvstycket γ i en krt beskriver en väg i ett bergigt lndskp. Om vi vill kör en bil längs den vägen så tt vi håller frten konstnt hel tiden, kommer bensinförbrukningen (L/mil) tt vrier i olik punkter på γ: i uppförsbckr går det åt mer bensin än i nedförsbckr, och hur mycket beror v hur brnt bcken är. Om vi fixerr vilken hstighet vi sk åk med, kn vi tänk oss tt det finns en funktion, definierd på vägen men ingen nnnstns, sådn tt f(x, y) ger bensinförbrukningen i punkten (x, y) på γ. Vi vill nu beräkn den totl bensinförbrukningen längs hel vägen. Om vi kör en miniml sträck ds från punkten (x, y), så kommer bensinförbrukningen på den lill delsträckn tt vr f(x, y)ds. Om vi summerr ll sådn bidrg får vi den totl bensinförbrukningen längs vägen. Genom tt generliser diskussionen i exemplet leds vi till tt för funktioner f som är kontinuerlig på ett kurvstycke γ definier en integrl, som vi betecknr f(x, y)ds. Om γ = {c(t), t b} kn vi beräkn denn integrl med hjälp v formeln Dett därför tt ds = c (t) dt. γ γ f(x, y)ds = f(c(t)) c (t) dt. Exempel 2 Låt oss integrer funktionen f(x, y) = x + y längs kurvstycket i föregående exempel. Då gäller tt f(c(t)) = 3t 2 +3t t 3 och eftersom c (t) = 3+3t 2 får vi tt 2 f(x, y)ds = (3t + 3t 2 t 3 )(3 + 3t 2 )dt = 8.3. γ Noteringr. Se kpitlet Anlys v polynomfunktioner. 2. Vilket de också är, eftersom i vrje rektngel gäller tt den vit ren under kurvn är precis lik stor som den grå ren ovnför kurvn. Dett p.g.. vårt speciell vl v ξ k i intervllet [x k, x k+ ].

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. X. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. X. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 36 En webbserd nlyskurs Grundbok X. Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com X. Integrlklkyl (8) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1 UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008 Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2

Läs mer

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c) Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1 F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så

Läs mer

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3 Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

13 Generaliserade dubbelintegraler

13 Generaliserade dubbelintegraler Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13 LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE. GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Polynominterpolation av kontinuerliga

Polynominterpolation av kontinuerliga Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner Smmnfttning Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com I det här dokumentet diskuterr vi lite kring hur mn kn pproximer kontinuerlig funktioner med

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Om konvergens av funktionsföljder

Om konvergens av funktionsföljder Anlys 36 En webbserd nlyskurs Anlysens grunder Om konvergens v funktionsföljder Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.om Om konvergens v funktionsföljder 1 (12) Introduktion I det här kpitlet

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet

Läs mer

TATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler

TATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler TATA4: Föreläsning 1 Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 15 november 18 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer,

Läs mer

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur. Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln

Läs mer

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Tavelpresentation grupp 5E

Tavelpresentation grupp 5E Tvelpresenttion grupp 5E Elis Elmquist, Mtild Hnes, Isk Pettersson, Juli Wennerblom, John Jxing, Boel Brndström, Edvin Cllisen, Cjs Hjolmn 19 februri 2017 1 Multipelintegrler Frmställningen för definitionen

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017 KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång

Läs mer

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba. Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

Om stationära flöden och Gauss sats i planet

Om stationära flöden och Gauss sats i planet Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

14. MINSTAKVADRATMETODEN

14. MINSTAKVADRATMETODEN 4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv

Läs mer

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)

Läs mer

Lösningsförslag till fråga 5

Lösningsförslag till fråga 5 Lösningsförslg till fråg 5 Smmnfttning Följnde lceringr för unktern, som frmgår v Tbell, är de bäst vi hr funnit. Utförligre beskrivningr v ders lägen följer i texten: Fråg ), n unkter i en kvdrt n Plcering

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

1 Föreläsning IX, tillämpning av integral

1 Föreläsning IX, tillämpning av integral Föreläsning IX, tillämpning v integrl. Volym v någr kroppr.. Skiv- oc sklmetodern, m.m. Vi kn tänk oss en limp (röd) som längsledes är genomorrd v eln,. Limpn skivs i n lik tjock skivor, lltså med tjocklek

Läs mer

Löpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab

Löpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab Löpsedel: Integrler Block : Integrler Grundidé, numerisk kvdrtur Noggrnnet, teoretiskt Prktisk feluppskttning med ricrdsonextrpoltion Adptiv kvdrtur Noggrnnet, inverkn v mätfel/vrundningsfel Lärook Kp

Läs mer

y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1 Lösningsförslg till tentmensskrivning i Diff & Trns I, 5B12 och Diff & Trns I för LV, 5B122 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 14-19 DEL1: 1 Betrkt differentilekvtionen y y (y -1)(y - 3), där y y(t) och t nger

Läs mer

Sammanfattning, Dag 9

Sammanfattning, Dag 9 Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

Mat Grundkurs i matematik 1, del III Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III G. Gripenberg TKK 2 december 2010 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III 2 december 2010 1 / 59 Vribelbyte b F (g(x))g (x) dx = b d F (g(x))

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B. Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt

Läs mer

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016 TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på

Läs mer

Matris invers, invers linjär transformation.

Matris invers, invers linjär transformation. Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill

6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill 6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Föreläsning 10, Numme K2, GNM Kap 6 Integraler & GNM 8:3C Richardsonextrapolation

Föreläsning 10, Numme K2, GNM Kap 6 Integraler & GNM 8:3C Richardsonextrapolation Föreläsning, Numme K2, 72 GNM Kp 6 Integrler & GNM 8:C Richrdsonextrpoltion yc yd y y y2 yb H c d b A = H ( ) y +y 2 = H 2 { h 2 y + } A = A +A 2 +A = 2 y 2 = h 2 y +y c +y d + 2 y b 2 (y +y c )+ h 2 (y

Läs mer

KTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1.

KTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1. KTH, Mtemtisk institutionen, TK 061201 5B 1106, Diff- och int I, Envribel, för F1. Kursens mål för godkänt: Studenten förvänts/skll efter genomgången godkänd kurs: H inhämtt funktionsbegreppet, inklusive

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

Integraler och differentialekvationer

Integraler och differentialekvationer Föreläsningr över Integrler och differentilekvtioner för livnde ingenjörer Mikel P. Sundqvist 5 decemer 26 Innehåll Någr ord till läsren 5 Introduktion till kursen 7 2 Integrlegreppet 9 3 Integrlklkylens

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Finaltävling den 20 november 2010

Finaltävling den 20 november 2010 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer