GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

Transkript

1 GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär storheter, är t.ex. mss, tid, rbete och tempertur. För tt undersök ndr, så kllde vektorstorheter eller vektoriell storheter, måste mn förutom ett mätetl som nger storhet även nge en riktning. Exempel på vektorstorheter är krft, hstighet, elektrisk fält och mgnetfält. F F F För tt åskådlig gör vektorstorheter (i eller dimensioner) nvänder vi riktde sträckor. Låt A och B vr två punkter i rummet. Då betecknr AB den riktd sträck d v s vektor som hr strtpunkt (fotpunkt) i A och ändpunkt (spets) i B. Vektorn BA är inte detsmm som vektorn AB. De hr motstt riktningr. Vi kllr AB och BA för motstt vektorer och skriver AB BA ( eller BA AB ) Vektorbeteckningr: Vi kn beteckn vektorer, som i ovnstående exempel, med hjälp v strtpunkt, ändpunkt och en pil ovnpå t ex AB, CD, OM. Någr nvänder ett streck ovnpå punktern t ex : AB, CD. Ett vektornmn skrivs vnligen med en pil ovnför t ex: u, v, w I de flest böcker nvänds fetstil för vektorbeteckning, t ex: u, v, w. Andr beteckningr kn också förekomm t ex eller â.

2 v 6 Längden ( beloppet) v vektorn AB beteckns AB och definiers som längden v sträckn AB ( d v s vståndet melln punktern A och B ). Andr beteckningr:. I någr böcker är AB beteckning för längden v vektorn AB.. Om mn nvänder en bokstv i fetstil, till ex, för tt beteckn en vektor då vnligt stil,, oftst betecknr längden ( beloppet) v vektorn : = Nollvektorn, som beteckns 0 eller 0, är den vektor som hr längden lik med 0, d v s vektors strtpunkt och ändpunkt smmnfller. Nollvektorn sknr riktning. Alltså AA = 0, MM = 0, PP = 0. Enhetsvektorer. En enhetsvektor är en vektor med längden. ( En enhetsvektor klls iblnd för normerd vektor) Vi behöver oft en enhetsvektor som hr smm riktning med en given vektor 0 v. En sådn enhetsvektor e får vi genom tt del v med dess längd v, e v v Definition. Låt AB och CD vr två vektorer skild från 0. Vi säger tt AB och är lik vektorer, och skriver AB CD om de hr smm riktning (dvs. vektorern är prllell och är lik orienterde) och dessutom hr smm längd. Alltså, för två vektorer AB och CD, som är skild från 0, gäller: AB CD b. AB och CD är prllell hr smm riktning AB CD. AB och CD är lik orienterde. AB CD (dvs AB och CD hr smm längd) Med ndr ord får vi prllell förflytt geometrisk vektorer i rummet. CD

3 v 6 Exempel: Nednstående vektorer är lik b c d Viktigt: Om två vektorer är lik, dvs AB CD betyder dett inte tt A=B och C=D. Men, om två vektorer är lik och dessutom hr smm strtpunkt då måste ders ändpunkter smmnfll! Alltså AB AD B D ====================================== Definition. Låt och b vr två vektorer skild från 0. Vi säger tt och b är motstt vektorer, och skriver b om de hr motstt riktning (dvs. vektorern är prllell men motstt orienterde) och dessutom hr smm längd. Alltså, för två vektorer och b, som är skild från 0, gäller:. b.. Exempel: och b är prllell och b hr motstt orienttion b (dvs och b hr smm längd)

4 4 v 6 b b ===================================== Räkneopertioner med geometrisk vektorer. Multipliktion v en vektor med tl (= sklär). Definition. Låt λ vr ett reellt tl och v en given vektor.. Om λ=0 eller 0 v då är v 0.. Om λ 0 och 0 v då med v mens den vektor som hr ( i) längden = v och (ii) smm riktning som v om λ > 0, motstt riktning om λ < 0 Exempel: Vektorn är given i nednstående figur. Skisser (rit) vektorern,.5, och Addition v vektorer För tt dder två geometrisk vektorer och b plcerr vi strtpunkten för b i spetsen på ( vi prllellförflyttr vektorn b så tt strtpunkten tillb hmnr på ändpunkten till ). Då är summn b den vektor som hr strtpunkt i :s strtpunkt och ändpunkt i b :s ändpunkt.

5 5 v 6 C A + b B b Definition 4. Låt AB och b BC. Då är b AC På liknnde sätt får vi summn v fler vektorer v v vn. Vi prllellförflyttr vektorer så tt ändpunkt för vektorn v k blir strtpunkt för v k. Summn blir då den vektor som hr strtpunkt i v :s strtpunkt och ändpunkt i v n :s ändpunkt. Exempel: Skisser summn b c d för nednstående vektorer: Se nednstående figur. D B b c C d A + b + c + d E Alltså, b c d = AB BC CD DE AE ===================================

6 6 v 6 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Anmärkning: Om och b är skild från 0 och ej prllell vektorerer då kn vi erhåll summn b med hjälp v digonlen i den prllellogrm som konstruers med hjälp och b (den här gången med gemensm fotpunkt), se figuren nedn. D C b b A B b b AC Subtrktion v två vektorer b definiers genom b ( b ) Exempel: Skisser b för nednstående vektorer och b. Se figuren nedn -b b ==================================== Linjär kombintioner v vektorer Definition 5. Låt,, n vr reell tl (= sklärer) och v, v,..., vn givn vektorer. Vektorn v v nvn klls för en linjär kombintion v vektorern v, v,..., vn

7 7 v 6 Exempel: Skisser vektorn v b c för nednstående vektorer, b och c. Se figuren nedn -b V c ========================================== RÄKNELAGAR Sts. Följnde räknelgr gäller för vektoropertioner: ) u v v u ( kommuttiv lgen) b) ( u v) w u ( v w) ( ssocitiv lgen) c) v 0 v d) v ( v) 0 e) v v f) 0 v 0 g) 0 0 h) ( ) v v v ( distributiv lgen) i) ( u v) u v ( distributiv lgen) De flest v ovnstående lgr följer direkt från definitionen. Andr, ) b) h) och i) bevisr mn med hjälp v elementär geometri och nednstående figurer. T ex från figuren

8 8 v 6 följer u v AC v u dvs egenskpen ). Egenskpen i) viss med hjälp v likformig tringlr och följnde figurer: för λ >0 och, för λ < 0, [ Om λ =0 är påståendet i) uppenbrt korrekt eftersom båd leden blir 0 i dett fll.] ÖVNINGSUPPGIFTER Uppgift. Vi betrktr en prllellogrm med hörnen i punktern A, B, C och D ( se nednstående figur). Låt S vr skärningspunkten melln digonlern. Låt E vr den punkt som ligger i mitten v sidn AB och F den punkt som ligger på linjen genom A och C så tt AF AC. Vi betecknr AB och b AD. Utryck följnde vektorer som linjär kombintioner v och b. ) CA b) AS c) BD d) DB e) SE f) BF g) FE

9 9 v 6 Anmärkning. Vi nvänder oft tt (enligt definitionen för vektorddition) en vektor lltid skrivs som summn PQ PM MQ (där M är en godtycklig punkt). ) CA CD DA b b) AS AC ( b) b c) BD BA AD b d) DB DA AB b b e) SE SA AE CA AB ( b) b f) BF BA AF AC ( b) b 5 g) FE FA AE AC AB ( b) b Uppgift. Förenkl följnde uttryck utn tt rit motsvrnde figurer: PQ kn ) AB DA PC BP b) AB CB CD ) Vi skriver om summn ( vi fktisk nvänder den kommuttiv lgen) för tt få tt ndr vektor strtr i ändpunkten för först vektor, tt tredje strtr i slutet v ndr och tt fjärde strtr i slutet v tredje vektor: AB DA PC BP DA AB BP PC DC b) Vi nvänder reltionen: CB BC AB CB CD AB BC CD AD Svr: ) DC b) AD Uppgift. Vi betrktr en regelbunden sexhörning ABCDEF ( se bilden nedn). Låt och b AF. Låt P vr mittpunkten på sträckn BC. Bestäm vektorn PD som en linjär kombintion v och b. Bestäm vektorn PF som en linjär kombintion v och b. AB

10 0 v 6 ) PD PC CD (Lägg märke till tt BC AS b AS CD ( b) b b b) PF PC CF (Lägg märke till tt BC AS b ) ) AS CF ( b) b ============== Låt och b vr två icke prllell vektorer. Då är reltionen x yb möjligt endst om x=0 och y=0. Använd dett för tt lös följnde uppgift. Uppgift 4. Låt och b vr två icke prllell vektorer. Bestäm x och y om vektorern stisfierr ekvtionen ) x b x yb b b) ( x y) b x yb ) Från x b x yb b hr vi ( x ) ( y ) b (*) Eftersom, enligt ntgnde, och b är två icke prllell vektorer är (*) möjligt endst om x 0, och y 0 dvs x, och y. b) ( x y) b x yb. ( x) ( y x) b Härv (eftersom, enligt ntgnde, och b är två icke prllell) får vi x 0 och y x 0, som ger x /, och y /. ================================= I nednstående uppgifte nvänder vi oft fäljnde två omskrivningr v en vektor MN :. Enligt definitionen för vektorddition kn vi lltid skriv om en vektor MN som summn MN MO ON ( för en godtyckligt vld punkt O i rummet).. MN NM ( MN och NM är två motstt vektorer

11 v 6 Uppgift 5. Låt O,A och B vr tre punkter i rummet. Uttryck vektorn kombintion v vektorern OA och. (se figuren nedn) AB som en linjär AB Svr. AO AO AO AB AO Uppgift 6. Låt S vr mittpunkten på sträckn A B ( se figuren nedn). Låt vidre O vr en (godtyckligt vld) punkt i rummet. Uttryck vektorn OS som en linjär kombintion v vektorern OA och OS OA AS OA Svr: OS OA Uppgift 7. AB OA ( AO ) OA ( OA ) OA Låt S vr den (inre) punkt på sträckn A B som delr AB i förhållndet :7 ( se figuren nedn). Låt vidre O vr en (godtyckligt vld) punkt i rummet. Uttryck vektorn OS som en linjär kombintion v vektorern OA och OS OA AS OA 0 AB OA 0 ( AO ) OA 0 ( OA ) 7 0 OA 0

12 v 6 Svr: 7 0 OA 0 Uppgift 8. Låt L vr den rät linje som går genom punktern A och B (där A B) och S en punkt på linjen L som ligger ( i vår figur) till höger om punkten B och stisfierr d( A, S) 4d( B, S) [ där d( M, N) betecknr vståndet melln två punkter M och N)]. Låt O vr en punkt i rummet. Uttryck vektorn OS som en linjär kombintion v vektorern OA och OS OA AS OA Svr: 4 5 OA AB OA 5 ( AO ) OA ( OA ) OA Uppgift 9. Låt L vr den rät linje som går genom punktern A och B ( där A B). Skisser den punkt P som ligger på linjen L och stisfierr ) AP AB b) AP BP c) AP PB d) AP PB e) AP PB ) Eftersom AP ( AB) och AB hr motstt riktningr och dessutom längden AP AB hr vi följnde figur: P A B b) A B P c) d) AP PB AP PB

13 v 6 A P B e) AP PB AP BP ( smm skiss som i b) A B P Uppgift 0. Låt L vr den rät linje som går genom punktern A och B (där A B) och P den punkt på linjen L som stisfierr AP BP. Låt O vr en godtycklig punkt. Utryck vektorn och b. Först skriver vi OP som en linjär kombintion v AP och BP med hjälp v vektorer som hr strtpunkt i O. AP AO OP OA OP OP OA och på smm sätt BP OP Från reltionen OP OA ( OP ) AP BP får vi nu OP OA OP OA Svr: OP b Uppgift. Låt L vr den rät linje som går genom punktern A och B ( där A B) Låt P vr en punkt på linjen L som stisfierr AP AB. Låt O vr en godtycklig punkt. Utryck vektorn och b. ( Tips: Det finns två lösningr.) OP som en linjär kombintion v AP prllell med Enligt ntgndet A, B och P ligger på smm linje L och därför är Från AP AB ( smt AP är prllell med AB ) hr vi två möjlig fll: OA OA AB.. AP AB och ii) AP AB

14 4 v 6 Vi börjr med i) AP AB V skriver AP och AB med hjälp v vektorer som hr strtpunkt i O. AP AO OP OA OP OP OA och på smm sätt AB OA Från reltionen AP AB får vi nu OP OA ( OA) OP OA b. Fllet AP AB : Först ( som i fllet. ) AP OP OA och AB OA Från reltionen AP AB får vi nu OP OA ( OA) OP OA b Svr: Två lösningr:. OP b. OP b ========================= Mång stser i geometrin kn vi härled och bevis med hjälp v vektorer. Ett exempel hr vi i nednstående exempel. Uppgift. Låt ABC vr en tringel. Vi betecknr med A, B, C mittpunkter på BC, AC och AB. Låt vidre T vr skärningspunkten melln mediner AA och BB. (En smmnbindningssträck melln tringelns hörn och motstående sids mittpunkt klls medin. )

15 5 v 6 ) Bestäm i vilket förhållnde delr punkten T sträckn AA. b) Vis tt den tredje medin CC går genom smm punkt T, (dvs tt medinern i en tringel skär vrndr i en end punkt. Punkten T klls tringelns tyngdpunkt) c) Vis tt OT ( OA OC) ) Vi betecknr med x den okänd kvoten melln AT och AA. Alltså, vi söker x så tt x AA AT. På smm sätt söker vi tlet y så tt Vidre betecknr vi AB och och b på två olik sätt: BT y BB b AC och uttrycker AT som en linjär kombintion v x x i) AT x AA x( AB BA) x( ( b )) b (*) Andr sätt tt beräkn vektorn AT : Vi går genom punkten B. ii) AT AB BT AB y BB y( BA AB) y( b) ( y) Från (* ) och (**) hr vi x x y b ( y) b eller ( om vi skriver, b på vr sin sid) y b (**) x y x ( y ) ( ) b (***) Eftersom, b är icke prllell vektorer är (***) möjlig endst om följnde två villkor är uppfylld x y 0 och y x 0. Från y x 0 hr vi x y x som vi substituerr i y 0 och får

16 6 v 6 x x x 0 x. Därför y x. Alltså, vi hr fått AT x AA AA och BT y BB BB. Därmed / delr v medinen AA ligger melln hörnet A och T och / melln T och sidns mittpunkten A. Alltså T delr AA i förhållndet :. b) Låt S vr skärnings punkt melln den tredje medinen CC och medinen AA. ( Vi sk vis tt S och T smmnfller och därmed blir det exkt en skärningspunkt för ll tre mediner.) Vi hr fått i ) delen tt AT AA. På smm sätt som i ) får vi tt AS AA. Därmed AT AS. Eftersom AT och AS är lik vektorer med gemensm strtpunkt måste ders ändpunkter smmnfll. Därför är S=T. Vi hr bevist tt den tredje medinen går genom skärningspunkten T för de ndr två mediner. Alltså ll tre mediner går genom en end punkt. c) Vi nvänder och b delen och beräknr OT : OT OA AT OA AA OA ( AO OA ) OA [ OA ( OC )] OA OC, vd skulle beviss.