Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00"

Karl-Erik Axelsson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng. Komplettering: 9 poäng på tentmen ger rätt till komplettering (betyg F). Vem som hr rätt till komplettering frmgår v betyget F på MINA SIDOR. Komplettering sker c: två veckor efter tt tentmen är rättd. Om komplettering är godkänd rpporters betyg E, nnrs rpporters F. Hjälpmedel: Endst bifogt formelbld (miniräknre är inte tillåten). Till smtlig inlämnde uppgifter fordrs fullständig lösningr. Skriv endst på en sid v ppperet. Skriv nmn och personnummer på vrje bld. Inlämnde uppgifter skll mrkers med kryss på omslget Denn tentmenslpp får ej behålls efter tentmenstillfället utn sk lämns in tillsmmns med lösningr Uppgift. (p) Tre punkter är givn: A (,,5), B (,,6) och C (,5,6). ) (p) Bestäm ren v tringeln ABC b) (p) Bestäm längden v tringelns höjd från punkten A. Uppgift. (p) y z Följnde ekvtionssystem är givet: y z. y z För vilk värden på hr systemet i) ekt en lösning ii) oändligt mång lösningr iii) ingen lösning Vr god vänd.

2 Uppgift. (p) ) (p) Ange ll mtriser X som uppfyller följnde ekvtion: 5 6 X 7 8 b) (p) Ange smtlig mtriser som kommuterr med mtrisen A. (En mtris A kommuterr med en mtris B om A B B A ) Uppgift (p): ) (p) Vis tt linjen (, y, z) (,, ) t(,, ) är prllell med plnet y z. b) (p) Beräkn vståndet melln linjen och plnet givn i -uppgiften. Uppgift 5. (p) Låt uu (,,), vv (,, ) och ww (,,). ) Beräkn ren v prllellogrmmen som spänns upp v 8uu och vv. b) Beräkn volymen v den prllellepiped som spänns upp v 5uu, vv och 5ww. Uppgift 6. (p) 5 Givet determinnten För vilk värden på blir determinnten? Uppgift 7. (p) De två plnen Π och Π går båd genom origo. Vektorern uu (,, ) och vv (,,) ligger i plnet Π medn Π bestäms v ekvtionen y z. ) Bestäm en ekvtion för plnet Π. b) Bestäm vr sin norml till plnen. c) Är Π och Π vinkelrät mot vrndr? Lyck till.

3 FACIT Uppgift. (p) Tre punkter är givn: A (,,5), B (,,6) och C (,5,6). ) (p) Bestäm ren v tringeln ABC b) (p) Bestäm längden v tringelns höjd från punkten A. ) Aren (T) v en tringel kn beräkns som (med hjälp v kryssprodukt): T u v, där u och v är två v tringelns sidor (på vektorform). u AB (,,) v C AC (,, ) u e ey ez v ( ) e ( ) ey ( ) e (,,) z T (,,). e. (. e.) bh b) Aren v en tringel kn också beräkns enligt T, d.v.s. Här är h höjden mot sidn med längden b: b BC (,,) T h. b h l. e. Alterntiv metod: Bestäm höjden h som kortste (vinkelrät) vståndet melln punkten A och v PA linjen genom punktern B och C. Formelbldet ger dett vstånd, d, som d, där A v är punkten, P är en godtycklig punkt på linjen och v C är linjens riktningsvektor (t.e. v BC och P B). Svr: ). e. b) l. e. Rättningsmll: ) Rätt reformel korrekt beräknd kryssprodukt p Allt korrekt p b) Räknefel -p Allt korrekt p

4 Uppgift. (p) Följnde ekvtionssystem är givet: z y z y z y. För vilk värden på hr systemet i) ekt en lösning ii) oändligt mång lösningr iii) ingen lösning Beräkn koefficientmtrisens determinnt: 8 Sätt denn determinnt till noll:, d.v.s. det finns en unik lösning för ll. Ekvtionssystemet löses för : Gusselimintion ger: och Sist rden tolks som, en lltid snn ekvtion. Dett ger lltså en prmeterlösning, d.v.s. oändligt mång lösningr. Svr: i) ekt en lösning då ii) oändligt mång lösningr då Alterntiv iii) ingen lösning, gäller inte för något. Rättningsmll: Bestämmer det värde för ( ) som gör koefficientmtrisens determinnt till noll, eller motsvrnde bestämning genom Gusselimintion i totlmtris. p Rätt svr och motivering till lterntiv i p Rätt svr och motivering till lterntiv ii p Rätt svr och motivering till lterntiv iii p Uppgift. (p) ) (p) Ange ll mtriser X som uppfyller följnde ekvtion: X b) (p) Ange smtlig mtriser som kommuterr med mtrisen A. (En mtris A kommuterr med en mtris B om A B B A )

5 ) Mtrisekvtionen skrivs på formen AX B där det( A ) 6, är mtrisen A inverterbr och således hr ekvtionen entydig lösning: X 5 6 A B b) En mtris X kommuterr med mtrisen A om AX XA dvs. om vilket leder till ekvtionssystemet: som hr prmeterlösning med två prmetrr. T. e. s och t ger s t och ( s t) t s. Mtrisen X blir: s t s X, där s och t är godtycklig reell t. s t s t s Svr: ) X, där s, t är godtycklig reell t. s t Rättningsmll: ) Korrekt invers till A ger p. Allt korrektp b) Rätt ekvtionssystem smt rätt lösning v ekvtionssystemet ger p. Fel här ger p. Rätt presenterd mtris X ger p. Uppgift (p): ) (p) Vis tt linjen (, y, z) (,, ) t(,, ) är prllell med plnet y z. b) (p) Beräkn vståndet melln linjen och plnet givn i -uppgiften. ) Linjen är prllell med plnet om linjens riktningsvektor är ortogonl mot plnets normlvektor dvs. r n. Vi hr (,, ) (,, ). Vektorerns sklärprodukt är visr tt linjen är prllell med plnet. b) Välj en godtycklig punkt i linjen t.e. P (,, ) och bestäm vståndet från denn punkt till den närmste punkten P, y, ) i plnet. ( z A By Cz D 6 Metod. Formeln d ger d 6 A B C 6

6 Metod. Linjen som går genom punktern P och P är (, y, z) (,, ) s(,,) sätt in i plnets ekvtion: ( s ) ( s) s s s s 6s 6 s ger tt, y, z ) (,, ) (,,) (,,). ( Avståndet ges v P P ( ) ( ) ( ) 6 Svr: ) se ovn b) 6 Rättningsmll: ) Rätt eller fel b) Metod. Korrekt till d ger p. Allt rätt ger p. Metod. Rätt beräknt punkt P ger p. Fel här ger p. Resten rätt ger ytterligre p. Uppgift 5. (p) Låt uu (,,), vv (,, ) och ww (,,). ) Beräkn ren v prllellogrmmen som spänns upp v 8uu och vv. b) Beräkn volymen v den prllellepiped som spänns upp v 5uu, vv och 5ww. 8 ) Aren v prllellogrmmen ges v u v 8 u v (,,) ( ) 8 7 b) Volymen v prllellepiped ges v ( 5u v) 5w 5 5 ( u v) w Svr ) 7.e. b) 5 v.e. Rättningsmll: ) Rätt eller fel. b) Rätt eller fel. i j k

7 Uppgift 6. (p) 5 Givet determinnten För vilk värden på blir determinnten? Subtrher först rden från de tre övrig så får mn ( )( )( ) Determinnten blir lltså precis när är, eller. Svr:,, Rättningsmll: Korrekt till ger p. Allt korrekt p Uppgift 7. (p) De två plnen Π och Π går båd genom origo. Vektorern uu (,, ) och vv (,,) ligger i plnet Π medn Π bestäms v ekvtionen y z. ) Bestäm en ekvtion för plnet Π. b) Bestäm vr sin norml till plnen. c) Är Π och Π vinkelrät mot vrndr? ) En norml till Π är i j k u v (,), och en punkt i Π är (,, ) En ekvtion för Π är lltså ( ) ( y ) ( z ) dvs y z Π hr vi från ) som ( ) b) En norml för n,, och för Π så ger koefficientern i ekvtionen för plnet tt en norml till Π är n (,, )

8 c) De två plnen är vinkelrät om ders normler är vinkelrät. Det räcker lltså med tt n n. Vi hr n n (,,) (,, ) ( ) ( ) och lltså är de två plnen vinkelrät mot vrndr. Svr: ) y z Rättningsmll: b) n (,,), (,, ) ) Korrekt normlen (,,) n c) J n ger p. Allt korrektp b) llt rättp c) llt rättp

Relevanta dokument

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är