KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
|
|
- Frida Månsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och infimum. Där viss också tt xiomet om monoton tlföljder är ekvivlent med supremumxiomet. Vi påminner om tt en mängd M klls uppåt begränsd om det finns ett tl b sådnt tt x b för ll x M. Vrje tl b som hr denn egenskp klls en mjornt för M, och det minst v dess tl b (dvs. den minst mjornten) klls supremum v M. På motsvrnde sätt klls en mängd M nedåt begränsd om det finns ett tl sådnt tt x för ll x M, vrje tl med denn egenskp klls en minornt för M, och den störst minornten klls infimum v M. Tlet sup M kn, men behöver inte tillhör mängden M. Om sup M M, säger vi tt supremum nts eller tt M hr ett störst värde (som då är lik med sup M). Om inf M M, så säger vi på motsvrnde sätt tt infimum nts eller tt M hr ett minst värde. Exempel 1. Låt M 1 = ] 1, 1] och M 2 = [ 1, 1[. Då är sup M 1 = sup M 2 = 1 och inf M 1 = inf M 2 = 1. M 1 hr ett störst värde (som är lik med 1) men inget minst värde eftersom 1 M 1 medn 1 M 1. För M 2 är det tvärtom, 1 är minst värdet men det finns inget störst värde i M 2. Supremumxiomet säger tt vrje icke-tom uppåt begränsd mängd M R hr ett supremum (se ppendix A3 i [PB2]). Mn kn vis tt supremumxiomet är ekvivlent med påståendet tt vrje icke-tom nedåt begränsd mängd M R hr ett infimum. Vi utgår från supremumxiomet och visr tt vrje monoton funktion hr ett gränsvärde, egentligt eller oegentligt, då x +. Om M inte är uppåt begränsd, säger mn iblnd tt sup M = +. Mn sätter också inf M = om M inte är nedåt begränsd. Nedn kommer vi tt nvänd den här konventionen. Som vnligt betecknr D f definitionsmängden och V f värdemängden för en funktion f. Sts 1. Låt f vr en funktion sådn tt [, + [ D f för något (dvs. f är definierd för ll x ). Då gäller: (i) Om f är växnde, så är (ii) Om f är vtgnde, så är lim f(x) = A, där A = sup f(x). x + x D f lim f(x) = A, där A = inf f(x). x + x D f 1
2 2 Vi noterr tt om f inte är uppåt begränsd, så är A = + i (i) och om f inte är nedåt begränsd, är A = i (ii). Bevis. (i) Vi betrktr två fll: f uppåt begränsd och f obegränsd uppåt. Antg först tt f är uppåt begränsd. Låt ε > 0 vr givet. Eftersom A = sup f(x), är f(x) A < A + ε för ll x. Enligt definitionen v supremum finns det ett tl ω sådnt tt f(ω) > A ε (nnrs vore ju sup f(x) A ε). Eftersom f är växnde, är f(x) f(ω) > A ε då x > ω. Smmnfttningsvis: om x > ω, så är A ε < f(x) < A + ε, dvs. f(x) A < ε. Då det för vrje ε > 0 existerr ett tl ω som ovn, hr vi vist tt lim x + f(x) = A. (Noter tt ω är beroende v ε. I llmänhet behöver mn t större ω ju mindre ε är.) Antg nu tt f inte är uppåt begränsd. Då är A = +. Låt c vr ett givet (stort) tl. Eftersom f är obegränsd uppåt, existerr det ett ω sådnt tt f(ω) > c. Om x > ω, är f(x) f(ω). Alltså: för vrje c existerr ett ω sådnt tt om x > ω, så är f(x) > c. Vi hr vist tt lim x + f(x) = +. (ii) viss genom tt modifier resonemnget ovn på ett lämpligt sätt. Sts 2. Om funktionen f är kontinuerlig i det slutn och begränsde intervllet [, b], så hr f ett störst och ett minst värde där. Det här är sts 3 i ppendix C i [PB1]. Beviset nedn nvänder begreppen supremum och infimum och är betydligt enklre än i [PB1]. Att rgumentet i [PB1] är svårre beror på tt supremum och infimum inte hr definierts där. Bevis. Låt M = sup x [,b] f(x). Då är M. Enligt definitionen v supremum existerr det en tlföljd (x k ) [, b] sådn tt f(x k ) M (se uppgift 3.10 nedn). Enligt Bolzno- Weierstrss sts (lemm 2 i ppendix C i [PB1]) innehåller (x k ) en konvergent delföljd (x kj ), dvs. x kj ξ för något ξ [, b]. Eftersom f är kontinuerlig, så är lim f(x kj ) = j f(ξ), vilket ger f(ξ) = M. Alltså är M funktionens störst värde. Noter tt i efterhnd ser mn tt M < då värdet f(ξ) är ändligt. För tt vis tt f hr ett minst värde sätter vi m = ovn. inf f(x) och resonerr som x [,b] Anmärkning 1. Det är viktigt tt intervllet är slutet. Om vi hr ett öppet intervll ], b[ och gerr som i beviset ovn, så kn det händ tt x kj ξ, där ξ = eller b, men punktern och b ingår ju inte i definitionsmämgden för f. T.ex. är funktionen f(x) = tn x, x ] π/2, π/2[ kontinuerlig men eftersom M = och m =, sknr f störst och minst värde. Observer tt även funktionen f(x) = x, x ] 1, 1[ sknr störst och minst värde. Här är M = 1 och m = 1 men värden 1 och 1 nts ldrig i intervllet ] 1, 1[. Definition 1. Antg tt ] δ 0, [ D f för något δ 0 > 0. Vi säger tt lim f(x) = A om det för vrje ε > 0 existerr ett δ > 0 (δ δ 0 ) sådnt tt om δ < x <, så är f(x) A < ε. Gränsvärdet lim f(x) definiers på liknnde sätt ( δ < x < ersätts med < x < + δ). x x> x x<
3 Dess gränsvärden skiljer sig något från höger- och vänstergränsvärden i vsnitt 2.1 i [PB1]. Vnligtvis beteckns gränsvärden med symbolern lim f(x) och lim f(x) x x + ovsett om mn nvänder definitionen ovn eller den i [PB1]. För tt undvik smmnblndning hr vi dock infört här de något ovnlig beteckningrn lim f(x) och lim f(x). Sts 3. Låt f vr en funktion sådn tt D f innehåller en omgivning v punkten. (i) Om f är växnde, så är lim x x< f(x) = A, där A = sup x D f x< (ii) Om f är vtgnde, så är lim x x< f(x) = A, där A = inf x D f x< f(x) och lim x x> f(x) och lim x x> x x< x x> f(x) = B, där B = inf f(x). x D f x> f(x) = B, där B = sup f(x). x D f x> Bevis. Vi visr br först delen v (i) och lämnr övrig delr som övning. Låt ε > 0 vr givet. Enl. definitionen v supremum är f(x) < A + ε för ll x < och det existerr ett δ > 0 sådnt tt f( δ) > A ε. Alltså om δ < x <, så är A ε < f( δ) f(x) < A + ε. Därmed hr vi vist tt för vrje ε > 0 existerr ett δ > 0 sådnt tt om δ < x <, så är f(x) A < ε. Sts 4. En monoton funktion vrs värdemängd är ett intervll är kontinuerlig. Det här är sts 4 i ppendix C i [PB1]. Beviset finns i [PB1] men vi visr stsen ändå för tt gör viss förtydlignden. Bevis. Låt vr en punkt i definitionsmängden för f. Vi visr tt f är kontinuerlig i, dvs. tt lim x f(x) = f(). Låt f vr växnde. Eftersom f(x) f() då x < och f() f(x) då < x, måste A f() B, där A och B är som i (i) i sts 3. Om A < f(), så ntr inte f någr värden i intervllet ]A, f()[ vilket strider mot ntgndet tt V f är ett intervll. Alltså måste A = f(). På liknnde sätt ser mn tt f() = B. Så A = f() = B. Vi får lim f(x) = f() = lim f(x) vilket är detsmm som tt lim x f(x) = f(). x x< x x> För vtgnde f är beviset likdnt, bortsett från tt viss olikheter ändrr riktning. Det är inte nödvändigt tt [, + [ D f i sts 1 och inte heller tt D f innehåller en omgivning v i sts 3. I sts 1 räcker det tt D f innehåller godtyckligt stor reell tl och i sts 3 tt D f innehåller punkter som ligger godtyckligt när, både till vänster och till höger. Vi vslutr dett vsnitt med ett resultt som vi kommer tt utnyttj i vsnittet om integrler. Sts 5. Låt M 1, M 2 vr två icke-tomm delmängder v R och låt M = M 1 + M 2 = {x 1 + x 2 : x 1 M 1, x 2 M 2 }. Då är sup M = sup M 1 + sup M 2 och inf M = inf M 1 + inf M 2. 3
4 4 Bevis. Vi visr br det först påståendet. Antg tt M 1 och M 2 är uppåt begränsde och låt x = x 1 + x 2, där x 1 M 1 och x 2 M 2. Eftersom x 1 sup M 1 och x 2 sup M 2, är x 1 + x 2 sup M 1 + sup M 2. Dett gäller för vrje x 1 + x 2 M. Alltså är sup M sup M 1 + sup M 2. Om sup M < sup M 1 + sup M 2, så kn vi hitt x 1 och x 2 som ligger så när sup M 1 resp. sup M 2 tt sup M < x 1 +x 2. Men eftersom x 1 +x 2 M, får vi smtidigt x 1 + x 2 sup M, vilket är en motsägelse. Alltså måste sup M = sup M 1 + sup M 2. Är minst en v mängdern M 1, M 2 obegränsd uppåt, kn inte heller M vr uppåt begränsd. Alltså är sup M = sup M 1 + sup M 2 = + (vis dett i detlj). 2. Riemnnintegrlen Riemnnintegrlen definiers i vsnitt 6.1 i [PB1]. Vi skll dock nvänd en nnn definition som bygger på begreppen supremum och infimum. Låt [, b] vr ett intervll. En trppfunktion Φ definiers genom tt mn nger en indelning = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b v [, b] och sedn låter Φ(x) = c k för x k 1 < x < x k och k = 1, 2,..., n, se vsnitt 6.1 i [PB1], där dett precisers. Integrlen v Φ definers som n Φ(x) dx = c k (x k x k 1 ) (i [PB1] nvänds beteckningen I(Φ) i stället för Φ(x) dx). Mn kn, men behöver inte tilldel Φ någr värden i indelningspunktern (värden Φ(x k ) påverkr ju ändå inte värdet Φ(x) dx). Om vi förfinr indelningen, dvs. utökr ntlet indelningspunkter utn tt ändr Φ, så ändrs inte värdet v Φ(x) dx. T.ex. om vi lägger till en ny indelningspunkt x, säg melln x 0 och x 1, får vi v c 1 (x x 0 ) + c 1 (x 1 x ) + n c k (x k x k 1 ) = k=2 n c k (x k x k 1 ) eftersom (x x 0 )+(x 1 x ) = x 1 x 0. Vänsterledet ovn är lik med Φ(x) dx beräknd med hjälp v den ny indelningen (med x som extr indelningspunkt) medn högerledet är den gml Φ(x) dx. Så Φ(x) dx är väldefinierd i den mening tt den br beror på Φ och inte på vlet v indelningen. Vi kommer tt behöv följnde (intuitivt uppenbr) resultt: Hjälpsts 1. Om Φ och Ψ är trppfunktioner sådn tt Φ Ψ på [, b], så är Φ(x) dx Ψ(x) dx. Bevis. Till Φ hör en indelning v [, b] och till Ψ en nnn (indelningrn kn, men behöver inte vr identisk). Nu gör vi en ny indelning genom tt t med ll indelningspunkter, både för Φ och för Ψ. Om den ny indelningen är = x 0 < x 1 <... < x l = b, så är Φ(x) = c k och Ψ(x) = d k för x k 1 < x < x k och k = 1,..., l. Eftersom Φ Ψ, är c k d k. Det följer tt l l Φ(x) dx = c k (x k x k 1 ) d k (x k x k 1 ) = Ψ(x) dx, vilket skulle viss.
5 Fr.o.m. nu kommer Φ och Ψ lltid tt beteckn trppfunktioner, även när dett inte sägs explicit. Definition 2. Låt f vr en begränsd funktion på intervllet [, b]. Underintegrlen f(x) dx v f över [, b] definiers som supremum v Φ(x) dx m..p. ll trppfunktioner Φ sådn tt Φ f på [, b]. Överintegrlen f(x) dx definiers som infimum v Ψ(x) dx m..p. ll trppfunktioner Ψ sådn tt f Ψ på [, b]. Alltså är f(x) dx = sup Φ f Φ(x) dx För tt förtydlig, om vi sätter { M = och f(x) dx = inf f Ψ } Φ(x) dx : Φ f, Ψ(x) dx. så är M mängden v ll värden som Φ(x) dx kn nt för ll möjlig vl v trppfunktioner Φ f. Alltså är M en uppåt begränsd delmängd v de reell tlen och f(x) dx = sup M <. Vi noterr också tt sup M nts (dvs. sup M M) om och endst om f är en trppfunktion (tänk efter vrför). Motsvrnde gäller för Sts 6. För vrje begränsd funktion f är f(x) dx Bevis. Om Φ f Ψ på [, b], så är Φ(x) dx Ψ(x) dx enligt hjälpsts 1. Eftersom dett gäller för ll sådn Φ och Ψ, är vrje Ψ(x) dx en mjornt för mängden v ll Φ(x) dx, där Φ f. Enl. definitionen v supremum är därför sup Φ f Φ(x) dx Ψ(x) dx. Det följer tt sup Φ f Φ(x) dx är en minornt för mängden v ll Ψ(x) dx sådn tt f Ψ. Alltså är infimum v tlen i högerledet ovn större än eller lik med vänsterledet, dvs. f(x) dx = sup Φ f Vi hr vist vårt påstående. Φ(x) dx inf f Ψ Ψ(x) dx = Definition 3. En begränsd funktion f på [, b] klls integrerbr (eller Riemnnintegrerbr) över [, b] om f(x) dx = Det gemensmm värdet v under- och överintegrlen klls integrlen v f över [, b] och beteckns Hjälpsts 2. Om Φ är en trppfunktion på [, b], så är Φ(x) dx = Φ(x) dx = Φ(x) dx, dvs. Φ är integrerbr över [, b]. Bevis. Enligt definitionen är Φ(x) dx = sup Φ 1 Φ Φ 1(x) dx. Dett supremum nts för Φ 1 = Φ. Alltså är Φ(x) dx = Φ(x) dx. På liknnde sätt viss tt Φ(x) dx = Φ(x) dx. Sts 7. En begränsd funktion f på [, b] är integrerbr över [, b] om och endst om det för vrje ε > 0 existerr Φ, Ψ sådn tt Φ f Ψ på [, b] och Ψ(x) dx Φ(x) dx < ε. 5
6 6 Villkoret tt det för vrje ε > 0 existerr trppfunktioner Φ och Ψ som ovn är liktydigt med definitionen v integrerbrhet i [PB1] (se definition 2 i vsnitt 6.1 där). Noter tt stsens innebörd är tt f är integrerbr enligt definition 3 ovn om och endst om den är integrerbr enligt definitionen i [PB1]. Bevis. Ant först tt f är integrerbr enligt definition 3, dvs. f(x) dx = Enligt supremums definition kn vi för vrje ε > 0 hitt en trppfunktion Φ f sådn tt f(x) dx ε 2 < Φ(x) dx På smm sätt kn vi enligt infimums definition hitt en trppfunktion Ψ f för vilken Alltså är Ψ(x) dx f(x) dx Ψ(x) dx < f(x) dx + ε 2. ( Φ(x) dx < f(x) dx + ε ) ( f(x) dx ε ) = ε. 2 2 Ant nu tt det för vrje givet ε > 0 existerr Φ, Ψ sådn tt Φ f Ψ och Ψ(x) dx eller omskrivet, Φ(x) dx < ε. Eftersom f(x) dx Φ(x) dx f(x) dx Ψ(x) dx och f(x) dx f(x) dx får vi genom tt dder olikhetern ovn och nvänd sts 6 0 f(x) dx f(x) dx Ψ(x) dx Ψ(x) dx, Φ(x) dx, Φ(x) dx < ε. Så för vrje ε > 0 är 0 f(x) dx f(x) dx < ε. Men dett kn inträff enbrt om f(x) dx = Vi skll nu studer någr egenskper hos under- och överintegrler och sedn vis tt en kontinuerlig funktion är integrerbr. Vi genomför bevis för underintegrler. Läsren uppmns tt tänk igenom hur detljern ändrs för överintegrler. Sts 8. (i) Om f g på [, b], så är f(x) dx g(x) dx och f(x) dx g(x) dx. (ii) Om < c < b, så är f(x) dx = c f(x) dx+ c f(x) dx och f(x) dx = c f(x) dx+ c Bevis. (i) Om Φ f så är Φ g. Så mängden {Φ : Φ f på [, b]} är en delmängd v {Φ : Φ g på [, b]}. Det följer tt f(x) dx = sup Φ f Φ(x) dx sup Φ g Φ(x) dx = g(x) dx. (ii) Låt Φ vr en trppfunktion på [, b]. Om mn lägger till c som indelningspunkt är Φ, betrktd på intervllet [, c], en trppfunktion på [, c] och Φ, betrktd på intervllet [c, b], en trppfunktion på [c, b]. Givet 2 trppfunktioner, Φ 1 på [, c] och Φ 2 på [c, b], får
7 mn en trppfunktion Φ på [, b] genom tt sätt Φ(x) = Φ 1 (x) och Φ(x) = Φ 2 (x) på respektive intervll. Låt nu { c } { } M 1 = Φ(x) dx : Φ f och M 2 = Φ(x) dx : Φ f, dvs. M 1 är mängden v ll värden som c Φ(x) dx kn nt för ll möjlig vl v trppfunktioner Φ f, och motsvrnde gäller för M 2. Eftersom Φ(x) dx = c Φ(x) dx + c Φ(x) dx (tänk efter vrför), är { M = M 1 + M 2 = } Φ(x) dx : Φ f. Enligt sts 5 är sup M = sup M 1 + sup M 2. Alltså är f(x) dx = c c f(x) dx + c 7 Om vi definierr f(x) dx = 0 och f(x) dx = b f(x) dx då > b och gör motsvrnde definitioner för överintegrlen, så gäller (ii) ovn för ll, b, c, oberoende v hur de ligger i förhållnde till vrndr. Sts 9 (Integrlklkylens medelvärdessts för under- och överintegrler). Om f är kontinuerlig på [, b], så existerr ett ξ [, b] och ett η [, b] sådn tt f(x) dx = f(ξ)(b ) och f(x) dx = f(η)(b ). Bevis. Eftersom f är kontinuerlig, ntr den ett minst värde m och ett störst värde M på [, b]. Eftersom g(x) = M är en trppfunktion, är g(x) dx = g(x) dx = M(b ) enligt hjälpsts 2. Motsvrnde gäller för h(x) = m. Om vi integrerr olikheten m f(x) M, får vi lltså vilket ger m(b ) = m dx f(x) dx M dx = M(b ), m 1 f(x) dx M. b Eftersom f är kontinuerlig, ntr den ll värden melln m och M enligt stsen om mellnliggnde värden (se sts 1 i ppendix C i [PB1]). Speciellt ntr den värdet 1 b b f(x) dx i en punkt x = ξ. Så 1 b f(x) dx = f(ξ), b vilket skulle beviss. Anmärkning 2. Sts 9 gäller även om b = eller b <. Vrför? Låt f vr en kontinuerlig funktion på [, b] och definier S(x) = x f(t) dt och S(x) = x f(t) dt för x [, b]. Noter tt här är övre integrtionsgränsen x och vi betrktr den som vribel. Vi hr betecknt den oberoende vribeln för integrnden med t i stället för x för tt skilj den från övre integrtionsgränsen.
8 8 Sts 10 (Anlysens huvudsts för under- och överintegrler). Om funktionen f är kontinuerlig på [, b], så är funktionern S och S deriverbr och S (x) = f(x) = S (x) för < x < b. Stsen beviss exkt på smm sätt som sts 9 i kpitel 6 i [PB1]. Läs igenom beviset där och försök tt inse vrför resonemnget går igenom för under- och överintegrler. Sts 11 (Kontinuerlig funktion är integrerbr). Om f är kontinuerlig på [, b], så är f integrerbr över [, b]. Bevis. Eftersom S (x) = S (x) för < x < b enligt sts 10, så är S(x) = S(x) + C, där C är en konstnt (se följdsts 1 i vsnitt 3.5 i [PB1]). Men eftersom S() = S() = 0, måste C vr lik med 0. Så S(x) = S(x) för ll x [, b]. Dett gäller speciellt för x = b, vilket ger Därmed är stsen bevisd. f(t) dt = S(b) = S(b) = f(t) dt. Att vi hr f(t) och inte f(x) ovn spelr ingen roll, för integrlens värde är oberoende v den bokstv med vilken mn betecknr vribeln under integrtionstecken. Så f(x) dx = f(t) dt = och detsmm gäller för överintegrler och integrler. f(u) du =... Sts 12 (Insättningsformeln). Om f är kontinuerlig på [, b] och om F är en primitiv funktion för f, så är f(t) dt = F (b) F (). Dett är sts 10 i kpitel 6 i [PB1]. Eftersom vi nu vet tt kontinuerlig funktioner är integrerbr, behöver vi inte bry oss om under- och överintegrler här. Vi skll också vis tt monoton funktioner är integrerbr, ovsett om de är kontinuerlig eller ej. Sts 13. Låt f vr en funktion som är monoton på [, b]. Då är f integrerbr över [, b]. Bevis. Antg tt f är växnde (för vtgnde f är beviset likrtt och lämns åt läsren). Eftersom f() f(x) f(b) för ll x [, b], är f begränsd. Del in intervllet [, b] i n lik lång delr. Vi får = x 0 < x 1 <... < x n = b, där x k x k 1 = (b )/n. Låt Φ(x) = f(x k 1 ) och Ψ(x) = f(x k ) för x k 1 < x < x k, k = 1,..., n (rit en figur). Eftersom f är växnde, är Φ(x) = f(x k 1 ) f(x) f(x k ) = Ψ(x) för x k 1 < x < x k.
9 9 Alltså är Φ f Ψ. Vidre är Ψ(x) dx = n Φ(x) dx = n f(x k )(x k x k 1 ) (f(x k ) f(x k 1 )) b n n f(x k 1 )(x k x k 1 ) = b n [(f(x 1) f(x 0 )) + (f(x 2 ) f(x 1 )) (f(x n ) f(x n 1 ))] = b n (f(x (b )(f(b) f()) n) f(x 0 )) =. n Låt ε > 0 vr givet. Väljer vi n tillräckligt stort, får vi Ψ(x) dx Alltså är f integrerbr enligt sts 7. Φ(x) dx = (b )(f(b) f()) n < ε. Slutligen visr vi följnde resultt: Sts 14. Låt f och g vr två begränsde funktioner på intervllet [, b]. Då gäller: (i) (f(x) + g(x)) dx f(x) dx + g(x) dx och (f(x) + g(x)) dx f(x) dx + g(x) dx. (ii) Om f och g är integrerbr, så är f+g integrerbr och (f(x)+g(x)) dx = f(x) dx+ g(x) dx. Bevis. (i) Låt Φ 1 f och Φ 2 g. Eftersom (Φ 1(x) + Φ 2 (x)) dx = Φ 1(x) dx + Φ 2(x) dx (se uppgift 3.23 nedn), får vi = sup Φ 1 f Φ 2 g f(x) dx + g(x) dx = sup Φ 1 f (Φ 1 (x) + Φ 2 (x)) dx sup Φ f+g Φ 1 (x) dx + sup Φ(x) dx = Φ 2 g Φ 2 (x) dx (f(x) + g(x) dx. Den först och den tredje likheten ovn gäller enligt definitionen v underintegrlen. Den ndr likheten följer ur sts 5. Olikheten gäller eftersom Φ 1 f, Φ 2 g medför tt Φ 1 + Φ 2 f + g, dvs. supremum till höger ts över minst lik mång funktioner som supremum till vänster. Olikheten för överintegrler viss på liknnde sätt. Vis den som övning och lägg speciellt märke till vrför olikheten går åt ndr hållet. (ii) Eftersom f och g är integrerbr, får vi från (i) (f(x) + g(x)) dx f(x) dx + (f(x) + g(x)) dx g(x) dx = f(x) dx + (f(x) + g(x)) dx. g(x) dx Den sist olikheten gäller eftersom underintegrlen lltid är mindre än eller lik med överintegrlen, se sts 6. Då vänsterledet är lik med högerledet, måste ll olikheter
10 10 ovn vr likheter. Alltså är f + g integrerbr och integrlen v summn är lik med summn v integrlern. Ett begrepp som är viktigt men som inte ts upp här är Riemnnsumm. Läsren hänviss till vsnitt 6.2 i [PB1]. Litterturförteckning [PB1] A. Persson och L.-C. Böiers, Anlys i en vribel, Studentlittertur 2010 (3:e upplgn). [PB2] A. Persson och L.-C. Böiers, Anlys i fler vribler, Studentlittertur 2005 (3:e upplgn).
11 11 3. Teoriövningr Annemrie Luger och Andrzej Szulkin x 3.1. Vis tt lim = 1 och lim x x + 1 x (x2 x) = genom tt nvänd definitionen på gränsvärde resp. oegentligt gränsvärde Vis: Om lim f(x) existerr, så är f begränsd för stor x, dvs. det finns ett ω x sådnt tt f är begränsd för x > ω Jämför följnde påstående med Sts 2 (6) i vsnitt 2.1 i [PB1]: lim(f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x). x x x Är påståendet ovn helt korrekt? Om inte, vd är det som skns? Ge ett motexempel i så fll Vis tt för en föjld ( n ) n 1 gäller följnde impliktion: n då n = n då n. Gäller impliktionen åt ndr hållet? Vis den eller ge ett motexempel. Tips: Den omvänd tringelolikheten kn hjälp ) Vis följnde påstående: b) Är följnde påstående snt? 1 lim f(x) = = lim x x f(x) = 0. 1 lim g(x) = 0 = lim x x g(x) =. Ge ett bevis eller ett motexempel Formuler och bevis en motsvrighet till sts 1, sid. 1, för gränsvärdet lim f(x). x 3.7. Betrkt följnde mängder. Är de begränsde? Bestäm supremum och infimum och ifll de existerr även störst och minst värde i de ngivn mängdern. { } ) M 1 = 2 ( 1) n n : n = 1, 2, 3,... b) M 2 = { x R : x 2 < 4 } c) M 3 = { x R : x 3 8 } 3.8. Vd kn mn säg om en mängd M om mn vet tt sup M = inf M? 3.9. Vis följnde olikheter för supremum och infimum v funktioner f : R R och g : R R: sup x R (f + g)(x) sup x R f(x) + sup g(x), x R inf (f + g)(x) inf f(x) + inf g(x). x R x R x R Ge exempel på f och g för vilk olikhetern är strikt (dvs. < resp. > gäller) Om sup M = R så finns det en föjld (x n ) n 1 med x n M sådn tt x n då n. Anmärkning: Dett är en viktig egenskp hos supremum v en mängd.
12 Vis: Om två kontinuerlig funktioner överensstämmer i ll rtionell punkter, så överensstämmer de i ll punkter, dvs. f, g : R R kontinuerlig och f(x) = g(x) för ll x Q = f g. Tips: Till vrje reellt tl x 0 finns en föjld (q n ) v rtionell tl som konvergerr mot x Ge exempel på följnde två diskontinuerlig funktioner f och g på intervllet [0, 1]: ) f(0) = 0, f(1) = 1 och f(ξ) är inte lik med 1 2 för något ξ [0, 1], b) g(0) = 0, g(1) = 1 och g ntr ll värden melln 0 och 1. Vd säger dett om stsen om mellnliggnde värden? Ge exempel på en diskontinuerlig funktion f sådn tt D f = [0, 1] och värdemängden V f är ett intervll. Strider dett mot sts 4, sid. 3? Ge exempel på en kontinuerlig funktion f som inte är monoton men hr en invers. Finns det sådn funktioner om definitionsmängden D f är ett intervll? Använd derivtns definition för tt beräkn derivtor v följnde funktioner: f 1 (x) = x, f2 (x) = x 2 + 1, f 3 (x) = sin(x 2 ) Låt g vr en begränsd funktion med definitionsmängden [ 1, 1]. Sätt f(x) = x 2 g(x). Vis tt f är deriverbr i x = 0 och f (0) = Om två deriverbr funktioner f och g definierde på intervllet [ 1, 1] vet mn följnde: f( 1) > g( 1), f(0) < g(0) och f(1) > g(1). Låt h(x) = f(x) g(x). Hur mång nollställen (minst) måste h h? Finns det säkert en punkt ξ sådn tt h (ξ) = 0? Om det gör det, måste det vr ett loklt mximum, loklt minimum eller ingetder? Ge exempel på en funktion f som hr följnde egenskper: f är kontinuerlig på [, b], deriverbr på ], b[ utom i en punkt, i ingen punkt ξ ], b[ är f(b) f() = f (ξ)(b ) Ge exempel på en funktion f som uppfyller ntgnden i medelvärdesstsen och för vilken det finns oändligt mång ξ sådn tt f(b) f() = f (ξ)(b ) * Vis tt om f är två gånger deriverbr i R och f (x) > 0 för ll x, så är ntingen lim x f(x) = eller lim x f(x) =. Kn lim x f(x) =? Ge ett exempel eller vis tt dett inte kn inträff. Tips: Om f > 0, vd kn mn säg om f? * Låt f : ]0, [ R vr en funktion som är deriverbr och lik med sin invers, dvs. f(x) = f 1 (x) för ll x > 0. Vis tt f(ξ) = ξ för något ξ > 0. Vis också tt ntingen är f (ξ) = 1 eller är f(x) = x för ll x > 0. Tips: f är strängt monoton. Vd kn mn säg om f ifll f(x) > x för något x > 0? Låt funktionen f vr integrerbr över [, ] för något > 0. ) Vis: f är udd = b) Vis: f är jämn = c) Beräkn: π 2 π 2 f(x) dx = 0 f(x) dx = 2 ( x 2 + ln π + x ) cos x dx π x 0 f(x) dx
13 3.23. Vis tt om Φ och Ψ är två trppfunktioner, så är (Φ(x)+Ψ(x)) dx = Φ(x) dx+ Ψ(x) dx Vis tt om Φ är en trppfunktion, så är Φ(x) dx = Φ(x) dx (se hjälpsts 2, sid. 5) Definier funktionen f genom tt sätt f(x) = 0 då x är rtionellt och f(x) = 1 då x är irrtionellt. Beräkn f(x) dx och Är f integrerbr över intervllet [0, 1]? Vis sts 8, sid. 6 för överintegrler Vis nlysens huvudsts (sts 10, sid. 6) för under- och överintegrler Vis olikheten för överintegrler i sts 14, sid Definier funktionern f och g genom tt sätt f(x) = 0 då x är rtionellt och f(x) = 1 då x är irrtionellt smt g(x) = 1 då x är rtionellt och g(x) = 0 då x är irrtionellt. Vis tt sträng olikheter gäller i del (i) v sts 14, sid. 9 vid integrtion över intervllet [0, 1]. 13
9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merKompletterande material till kursen Matematisk analys 3
Kompletterde mteril till kurse Mtemtisk lys 3 Augusti 2011 Adrzej Szulki 1 Supremum, ifimum och kotiuerlig fuktioer I ppedix A3 i [PB2] defiiers begreppe supremum och ifimum. mooto tlföljder är ekvivlet
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merTopologi och konvergens
Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28 Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merOm konvergens av funktionsföljder
Anlys 36 En webbserd nlyskurs Anlysens grunder Om konvergens v funktionsföljder Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.om Om konvergens v funktionsföljder 1 (12) Introduktion I det här kpitlet
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?..................... 5.2 Uppmning till läsren v dett häfte............. 5.3 Definitioner, stser och
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merFöreläsningsanteckningar i analys I januari 2009
Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 De reell tlen................................... 5
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merSvar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.
Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs mer1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14
Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH
Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merTeorifrå gor kåp. 5.2 9.3
Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs mer9 Dubbelintegralens definition
Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merStokastiska variabler
Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs merDiskreta stokastiska variabler
Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik 3 oktober 08 Innehåll Att läs innn vi börjr 7. Vrför läs mtemtik?..................... 7. Uppmning till läsren v dett häfte............. 7.3 Lärndemål
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. X. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH
Anlys 36 En webbserd nlyskurs Grundbok X. Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com X. Integrlklkyl (8) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merStudieplanering till Kurs 3b Grön lärobok
Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merf(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
Läs merNumerisk Integration En inledning för Z1
Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs merTillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.
TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys
Läs merIntegraler och differentialekvationer
Föreläsningr över Integrler och differentilekvtioner för livnde ingenjörer Mikel P. Sundqvist 5 decemer 26 Innehåll Någr ord till läsren 5 Introduktion till kursen 7 2 Integrlegreppet 9 3 Integrlklkylens
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs mer0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.
Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merSammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Läs merKompletterande teori för Envariabelanalys del A på I
Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III G. Gripenberg TKK 2 december 2010 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III 2 december 2010 1 / 59 Vribelbyte b F (g(x))g (x) dx = b d F (g(x))
Läs merΓ-funktionen En kort introduktion
Institutionen för nturvetenskp och teknik Γ-funktionen En kort introduktion Rickrd Edmn och Mrkus Östberg Örebro universitet Institutionen för nturvetenskp och teknik Mtemtik C, 76 9 högskolepoäng Γ-funktionen
Läs merDerivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola
Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merTATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018
TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs merKontinuerliga variabler
Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte
Läs merKontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj
Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n
Läs merProjekt Analys 1 VT 2012
Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merPolynominterpolation av kontinuerliga
Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner Smmnfttning Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com I det här dokumentet diskuterr vi lite kring hur mn kn pproximer kontinuerlig funktioner med
Läs merPROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)
PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) Contents 1. En differentilekvtion 2 2. Epsilon och delt 4 3. Den logritmisk integrlen och primtl 6 4. Fltning och tt tämj gln funktioner 8 5. Tlet e 11 6. Anlytisk
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merKontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet
Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna
Läs mer6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill
6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt
Läs merI Åbo och Helsingfors den Petteri Harjulehto, Riku Klén och Mika Koskenoja
Förord Boken är vsedd för nvändning som kursmteril till kursern Anlys I och II vid Helsingfors och Åbo Universitet. Den lämpr sig även som mteril för ndr högskolors förstårskurser i mtemtisk nlys, och
Läs merKTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1.
KTH, Mtemtisk institutionen, TK 061201 5B 1106, Diff- och int I, Envribel, för F1. Kursens mål för godkänt: Studenten förvänts/skll efter genomgången godkänd kurs: H inhämtt funktionsbegreppet, inklusive
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merSpelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson
Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merSerier och potensserier
Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd
Läs merSERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER
SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merFÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom
Läs mer