Kompletterande material till kursen Matematisk analys 3

Transkript

1 Kompletterde mteril till kurse Mtemtisk lys 3 Augusti 2011 Adrzej Szulki 1 Supremum, ifimum och kotiuerlig fuktioer I ppedix A3 i [PB2] defiiers begreppe supremum och ifimum. mooto tlföljder är ekvivlet med supremumxiomet. Det viss också tt xiomet om Här utgår vi frå supremumxiomet och visr tt vrje mooto fuktio hr ett gräsvärde, egetligt eller oegetligt, då x +. Som bekt säger supremumxiomet tt vrje icke-tom uppåt begräsd mägd M R hr e mist mjort. De mist mjorte klls supremum v M. Om M ite är uppåt begräsd, säger m ibld tt sup M = +. M sätter också if M = om M ite är edåt begräsd. Ned kommer vi tt väd dett skrivsätt. Som vligt beteckr D f defiitiosmägde och V f värdemägde för e fuktio f. Sts 1 Låt f vr e fuktio såd tt [, + [ D f Då gäller: (i) Om f är växde, så är (ii) Om f är vtgde, så är lim f(x) = A, där A = sup f(x). x + lim f(x) = A, där A = if f(x). x + för ågot (dvs. f är defiierd för ll x ). Vi oterr tt om f ite är uppåt begräsd, så är A = + i (i) och om f ite är edåt begräsd, är A = i (ii). Bevis (i) Vi betrktr två fll: f uppåt begräsd och f obegräsd uppåt. Atg först tt f är uppåt begräsd. Låt ε > 0 vr givet. Eftersom A = sup f(x), är f(x) A < A + ε för ll x. Eligt defiitioe v supremum fis det ett tl ω sådt tt f(ω) > A ε (rs vore ju sup f(x) A ε). Eftersom f är växde, är f(x) f(ω) > A ε då x > ω. Smmfttigsvis: om x > ω, så är A ε < f(x) < A + ε, dvs. f(x) A < ε. Då tlet ω som ov fis för vrje ε > 0, hr vi vist tt lim x + f(x) = A. Atg u tt f ite är uppåt begräsd. Då är A = +. Låt c vr ett givet (stort) tl. Eftersom f är obegräsd uppåt, existerr det ett ω sådt tt f(ω) > c. Om x > ω, är f(x) f(ω). Alltså: för vrje c existerr det ett ω sådt tt om x > ω, så är f(x) > c. Vi hr vist tt lim x + f(x) = +. (ii) viss geom tt modifier resoemget ov på ett lämpligt sätt. Övig Formuler och bevis e motsvrighet till sts 1 för gräsvärdet lim x f(x). 1

2 Sts 2 Om fuktioe f är kotiuerlig i det slut och begräsde itervllet [, b], så hr f ett störst och ett mist värde där. Det här är sts 3 i ppedix C i [PB1]. Beviset ed väder begreppe supremum och ifimum och är betydligt eklre ä i [PB1]. Att rgumetet i [PB1] är svårre beror på tt supremum och ifimum ite hr defiierts där. Bevis Låt M = sup f(x). Då är M. Eligt defiitioe v supremum existerr det e tlföljd x [,b] {x k } [, b] såd tt f(x k ) M. Eligt Bolzo-Weierstrss sts (lemm 2 i ppedix C i [PB1]) iehåller {x k } e koverget delföljd {x kj }, dvs. x kj ξ för ågot ξ [, b]. Eftersom f är kotiuerlig, så är lim f(x k j ) = f(ξ), vilket ger f(ξ) = M. Alltså är M fuktioes störst värde. Noter tt i efterhd j ser m tt M < då värdet f(ξ) är ädligt. För tt vis tt f hr ett mist värde sätter vi m = Amärkig if f(x) och resoerr som ov. x [,b] Det är viktigt tt itervllet är slutet. Om vi hr ett öppet itervll ], b[ och gerr som i beviset ov, så k det häd tt x kj ξ, där ξ = eller b, me pukter och b igår ju ite i defiitiosmämgde för f. T.ex. är fuktioe f(x) = t x, x ] π/2, π/2[ kotiuerlig me eftersom M = och m =, skr f störst och mist värde. Observer tt äve fuktioe f(x) = x, x ] 1, 1[ skr störst och mist värde. Här är M = 1 och m = 1 me värde 1 och 1 ts ldrig i itervllet ] 1, 1[. Defiitio Atg tt ] δ 0, [ D f för ågot δ 0 > 0. Vi säger tt lim f(x) = A om det för vrje ε > 0 existerr ett δ > 0 (δ δ 0 ) sådt tt om δ < x <, så är f(x) A < ε. Gräsvärdet lim f(x) defiiers på likde sätt ( δ < x < ersätts med < x < + δ). Dess gräsvärde skiljer sig ågot frå höger- och västergräsvärde i vsitt 2.1 i [PB1]. Vligtvis betecks gräsvärde med symboler lim f(x) och lim f(x) ovsett om m väder defiitioe + ov eller de i [PB1]. För tt udvik smmbldig hr vi dock ifört här de ågot ovlig beteckigr lim f(x) och lim f(x). Sts 3 Låt f vr e fuktio såd tt D f iehåller e omgivig v pukte. (i) Om f är växde, så är lim (ii) Om f är vtgde, så är Bevis lim f(x) = A, där A = sup f(x) = A, där A = if f(x) och lim f(x) och lim f(x) = B, där B = if f(x). f(x) = B, där B = sup f(x). Vi visr br först dele v (i) och lämr övrig delr som övig. Låt ε > 0 vr givet. El. defiitioe v supremum är f(x) < A+ε för ll x < och det existerr ett δ > 0 sådt tt f( δ) > A ε. Alltså om δ < x <, så är A ε < f( δ) f(x) < A + ε. Därmed hr vi vist tt för vrje ε > 0 existerr ett δ > 0 sådt tt om δ < x <, så är f(x) A < ε. 2

3 Sts 4 E mooto fuktio vrs värdemägd är ett itervll är kotiuerlig. Det här är sts 4 i ppedix C i [PB1]. Beviset fis i [PB1] me vi visr stse ädå för tt gör viss förtydligde. Bevis Låt vr e pukt i defiitiosmägde för f. Vi visr tt f är kotiuerlig i, dvs. tt lim f(x) = f(). Låt f vr växde. Eftersom f(x) f() då x < och f() f(x) då < x, måste A f() B, där A och B är som i (i) i sts 3. Om A < f(), så tr ite f ågr värde i itervllet ]A, f()[ vilket strider mot tgdet tt V f är ett itervll. Alltså måste A = f(). På likde sätt ser m tt f() = B. Så A = f() = B. Vi får lim f(x) = f() = lim f(x) vilket är detsmm som tt lim f(x) = f(). För vtgde f är beviset likdt, bortsett frå tt viss olikheter ädrr riktig. Det är ite ödvädigt tt [, + [ D f i sts 1 och ite heller tt D f iehåller e omgivig v i sts 3. I sts 1 räcker det tt D f iehåller godtyckligt stor reell tl och i sts 3 tt D f iehåller pukter som ligger godtyckligt är, både till väster och till höger. Vi vslutr dett vsitt med ett resultt som vi kommer tt utyttj i beviset för sts 8. Sts 5 Låt M 1, M 2 vr två icke-tomm delmägder v R och låt M = {x 1 + x 2 : x 1 M 1, x 2 M 2 }. Då är sup M = sup M 1 + sup M 2 och if M = if M 1 + if M 2. Bevis Vi visr br det först påståedet. Atg tt M 1 och M 2 är uppåt begräsde och låt x = x 1 + x 2, där x 1 M 1 och x 2 M 2. Eftersom x 1 sup M 1 och x 2 sup M 2, är x 1 + x 2 sup M 1 + sup M 2. Dett gäller för vrje x 1 + x 2 M. Alltså är sup M sup M 1 + sup M 2. Om sup M < sup M 1 + sup M 2, så k vi hitt x 1 och x 2 som ligger så är sup M 1 resp. sup M 2 tt sup M < x 1 + x 2. Me eftersom x 1 + x 2 M, får vi smtidigt x 1 + x 2 sup M, vilket är e motsägelse. Alltså måste sup M = sup M 1 + sup M 2. Är mist e v mägder M 1, M 2 obegräsd uppåt, k ite heller M vr uppåt begräsd. Alltså är sup M = sup M 1 + sup M 2 = + (vis dett i detlj). 2 Riemitegrle Riemitegrle defiiers i vsitt 6.1 i [PB1]. Eligt defiitioe där klls e fuktio f som är begräsd i itervllet [, b] Riemitegrerbr över [, b] om det för vrje ε > 0 existerr trppfuktioer Φ och Ψ såd tt Φ f Ψ i [, b] och I(Ψ) I(Φ) < ε. E trppfuktio Φ defiiers i [PB1] geom tt m ger e idelig = x 0 < x 1 <... < x 1 < x = b v [, b] och sed låter Φ(x) = c k för x k 1 < x < x k och k = 1, 2,..., (dett precisers i vsitt 6.1 i [PB1]). M k, me behöver ite tilldel Φ ågr värde i ideligspukter (värde Φ(x k ) påverkr ju ädå ite itegrle I(Φ)). Om vi förfir idelige, dvs. utökr tlet ideligspukter ut tt ädr Φ, så ädrs ite värdet v I(Φ). T.ex. om vi lägger till e y ideligspukt x, säg mell x 0 och x 1, får vi c 1 (x x 0 ) + c 1 (x 1 x ) + c k (x k x k 1 ) = c k (x k x k 1 ) k=2 eftersom (x x 0 ) + (x 1 x ) = x 1 x 0. Västerledet ov är lik med I(Φ) beräkt med hjälp v de y idelige (med x som extr ideligspukt) med högerledet är det gml I(Φ). Så itegrle I(Φ) är väldefiierd i de meig tt de br beror på Φ och ite på vlet v idelige. 3

4 Hjälpsts Om Φ och Ψ är trppfuktioer såd tt Φ Ψ i [, b], så är I(Φ) I(Ψ). Bevis Till Φ hör e idelig v [, b] och till Ψ e (ideligr k, me behöver ite vr idetisk). Nu gör vi e y idelig geom tt t med ll ideligspukter, både för Φ och för Ψ. Om de y idelige är = x 0 < x 1 <... < x l = b, så är Φ(x) = c k och Ψ(x) = d k för x k 1 < x < x k och k = 1,..., l. Eftersom Φ Ψ, är c k d k. Det följer tt l l I(Φ) = c k (x k x k 1 ) d k (x k x k 1 ) = I(Ψ). Övig Vis tt om Φ och Ψ är trppfuktioer, så är I(Φ + Ψ) = I(Φ) + I(Ψ). Sts 6 Om fuktioe f är itegrerbr över [, b], så fis det precis ett tl λ sådt tt I(Φ) λ I(Ψ) för ll trppfuktioer Φ, Ψ med Φ f Ψ. Det här är sts 2 i vsitt 6.1 i [PB1]. f(x) dx defiiers som det etydigt bestämd tlet λ. Bevis Om Φ f Ψ, så är I(Φ) I(Ψ) eligt hjälpstse. Eftersom dett gäller för ll Φ och Ψ med Φ f Ψ, är vrje I(Ψ) e mjort för mägde v ll I(Φ) med Φ f. El. defiitioe v supremum är därför sup I(Φ) I(Ψ). Det följer tt sup I(Φ) är e miort för mägde v ll Ψ med f Ψ. Alltså är ifimum v tle i högerledet ov större ä eller lik med västerledet, dvs. (1) sup I(Φ) if I(Ψ). f Ψ Beteck (2) I(f) = sup I(Φ) och I(f) = if I(Ψ). f Ψ Om (3) I(Φ) λ I(Ψ) för ll Φ, Ψ med Φ f Ψ, så ser vi geom tt t supremum i västerledet och ifimum i högerledet v (3) tt (4) I(f) λ I(f). Eftersom I(f) I(f) el. (1) och (2), existerr lltid ett sådt λ. Fuktioe f är itegrerbr, så för vrje ε > 0 fis det Φ och Ψ såd tt Φ f Ψ och I(Ψ) I(Φ) < ε. Eftersom I(Φ) I(f) I(f) I(Ψ), är I(f) I(Ψ) och I(f) I(Φ), vilket ger 0 I(f) I(f) I(Ψ) I(Φ) < ε. Då ε > 0 k väljs så litet som m vill, måste I(f) och I(f) vr lik. Alltså är I(f) = λ = I(f), dvs. det fis precis ett tl λ med de sökt egeskper. Tle I(f) och I(f) defiierde i (2) klls för e uder- resp. överitegrl v f över [, b]. Uder- och överitegrle existerr för vrje fuktio f (itegrerbr eller ej) som är begräsd i [, b]. I själv verket är tgdet och påståedet i sts 6 ekvivlet. Mer exkt gäller följde: 4

5 Följdsts För e begräsd fuktio i [, b] är edståede villkor ekvivlet: (i) f är itegrerbr över [, b]. (ii) I(f) = I(f). (iii) Det fis precis ett tl λ sådt tt I(Φ) λ I(Ψ) för ll trppfuktioer Φ, Ψ med Φ f Ψ. Bevis Det räcker vis tt (i) (ii) (iii) (i). (i) (ii): Dett hr vi red vist. I beviset för sts 6 hr vi ju kosttert tt om f är itegrerbr, så är I(f) = I(f). (ii) (iii): Vi hr äve kosttert tt om λ är ett tl som uppfyller villkoret i (iii), så är I(f) λ I(f) (jfr. (4)) och tt mist ett sådt λ lltid existerr. Då I(f) = I(f) el. (ii), är tlet λ etydigt bestämt. (iii) (i): Om f är icke-itegrerbr fis ett ε 0 > 0 sådt tt I(Ψ) I(Φ) ε 0, dvs. I(Ψ) I(Φ) + ε 0, för ll Φ, Ψ med Φ f Ψ. Geom tt först t ifimum i västerledet och sed supremum i högerledet ov ser vi tt I(f) I(f) + ε 0. Så I(f) < I(f) och det fis fler ä ett λ som uppfyller villkoret i (iii) (vrje λ [I(f), I(f)] duger). Om f är itegrerbr, är lltså (5) I(f) = Övig f(x) dx = I(f). Defiier fuktioe f geom tt sätt f(x) = 0 då x är rtioellt och f(x) = 1 då x är irrtioellt. Vis tt f ite är itegrerbr över itervllet [0, 1], t.ex. geom tt bestämm I(f) och I(f). I vsitt 6.2 i [PB1] viss tt om f är kotiuerlig i [, b], så är f itegrerbr där. Beviset är ite svårt me väder begreppet likformig kotiuitet som vi ite tr upp här. Vi visr i stället tt vrje mooto fuktio är itegrerbr. Eftersom de flest fuktioer v prktisk betydelse är styckvis mooto (dvs. det fis e idelig = x 0 < x 1 <... < x = b v [, b] i ädligt måg delitervll såd tt f är mooto i [x k 1, x k ] för k = 1,..., ), räcker stse för de flest tillämpigr. Det fis dock udtg. Exempel Låt f(x) = x si 1 x då 0 < x 1 och f(0) = 0. Fuktioe f är kotiuerlig, därför itegrerbr över [0, 1], me de är ite styckvis mooto: det går ite tt del i [0, 1] i ädligt måg delitervll i vilk f är mooto. Sts 7 Låt f vr e fuktio som är mooto i [, b]. Då är f itegrerbr över [, b]. Bevis Atg tt f är växde (för vtgde f är beviset likrtt och läms åt läsre). Eftersom f() f(x) f(b) för ll x [, b], är f begräsd. Del i itervllet [, b] i lik låg delr. Vi får = x 0 < x 1 <... < x = b, där x k x k 1 = (b )/. Låt Φ(x) = f(x k 1 ) och Ψ(x) = f(x k ) för x k 1 < x < x k, k = 1,..., (rit e figur). Eftersom f är växde, är Φ(x) = f(x k 1 ) f(x) f(x k ) = Ψ(x) för x k 1 < x < x k. Alltså är Φ f Ψ. Vidre är I(Ψ) I(Φ) = = = b f(x k )(x k x k 1 ) (f(x k ) f(x k 1 )) b (f(x ) f(x 0 )) = f(x k 1 )(x k x k 1 ) = b [(f(x 1) f(x 0 )) + (f(x 2 ) f(x 1 )) (f(x ) f(x 1 ))] (b )(f(b) f()). 5

6 Låt ε > 0 vr givet. Väljer vi tillräckligt stort, får vi Beviset är klrt. I(Ψ) I(Φ) = (b )(f(b) f()) < ε. Vi vslutr med tt bevis två v de fyr räkelgr som formulerts i sts 5, vsitt 6.3 i [PB1]. Sts 8 Låt fuktioer f och g vr itegrerbr över [, b]. Då gäller: (i) f + g är itegrerbr och (ii) Om f g i [, b], så är (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx f(x) dx + g(x) dx. g(x) dx. Bevis (i) Låt Φ 1 f Ψ 1 och Φ 2 g Ψ 2. Eftersom I(Φ 1 ) + I(Φ 2 ) = I(Φ 1 + Φ 2 ), får vi (6) I(f) + I(g) = sup I(Φ 1 ) + sup I(Φ 2 ) = sup Φ 1 f Φ 2 g Φ 1 f Φ 2 g I(Φ 1 + Φ 2 ) sup I(Φ) = I(f + g). +g De först och de tredje likhete ov följer ur defiitioe v uderitegrle. De dr likhete följer ur sts 5. Olikhete gäller eftersom Φ 1 f, Φ 2 g medför tt Φ 1 + Φ 2 f + g, dvs. supremum till höger ts över mist lik måg fuktioer som supremum till väster. På likde sätt får vi (7) I(f + g) = if I(Ψ) if I(Ψ 1 + Ψ 2 ) = if I(Ψ 1 ) + if I(Ψ 2 ) = I(f) + I(g). f+g Ψ f Ψ 1 f Ψ 1 g Ψ 2 g Ψ 2 Geom tt i tur och ordig väd (6), (1) och (7) får vi I(f) + I(g) I(f + g) I(f + g) I(f) + I(g). Me I(f) = I(f) och I(g) = I(g) (eftersom f och g är itegrerbr). All olikheter ov är därför likheter, så I(f + g) = I(f + g). Det följer tt f + g är itegrerbr, och med hjälp v (5) ser vi tt (f(x) + g(x)) dx = I(f + g) = I(f) + I(g) = (ii) Låt Φ f och g Ψ. Eftersom Φ Ψ, får vi el. (2) och (5) tt f(x) dx + g(x) dx. (jfr. beviset för (1)). f(x) dx = I(f) = sup I(Φ) if I(Ψ) = I(g) = g Ψ g(x) dx Som e (reltivt svår) övig k läsre försök bevis de övrig två räkelgr. Litterturförteckig [PB1] A. Persso och L.-C. Böiers, Alys i e vribel, Studetlittertur 2010 (3:e upplg). [PB2] A. Persso och L.-C. Böiers, Alys i fler vribler, Studetlittertur 2005 (3:e upplg). 6