a b = a b cos θ a b = a b sin θ

Transkript

1 Lgrges idetitet E idetitet frå 3D-vektorlgebr Låt och b vr två vektorer i 3D-rummet och låt θ vikel mell ders riktigr. De geometrisk defiitioer v sklär- och vektorprodukt säger tt Tillsmms med de trigoometrisk ett ger dett b b cos θ b b si θ ( b) + b b cos θ + b si θ b cos θ +si θ b d.v.s. ( b) + b b () För sklär-, vektorprodukt och lägd hr vi också uttryck med koorditer reltivt e HON-bs. Om (,, 3 ), b (b,b,b 3 ) reltivt e HON-bs, så k likhete () ov skrivs ( b + b + 3 b 3 ) + () +( b 3 3 b ) +( 3 b b 3 ) +( b b ) b + b + b 3 eller, med summtecke ( obs. tt ( 3 b b 3 ) ( b 3 3 b ) ) à 3 k b k + à 3 ( j b k k b j ) à 3 k b k j<k 3 (3) I och med tt vrje tltrippel k betrkts som koorditer reltivt e HON-bs för e vektor, hr vi vist tt (3) gäller för ll tltripplr (,, 3 ) och (b,b,b 3 ), d.v.s. tt de är e idetitet i vribler,, 3,b,b,b 3. Lgrges idetitet M k u fråg sig om det skulle vr ågot speciellt med dimesioe 3 eller om (3) gäller llmät för -tiplr v tl : à k b k + à ( j b k k b j )? j<k k à b k (4)

2 Lgrges idetitet: bevis med iduktio Vi k gör ett bevis för (4) med iduktio efter. "Bsfllet" 3är red vklrt; flle, k betrkts som specilfll därv, se sid. 9. "Iduktiossteget": Vi visr tt om à k b k + j<k ( j b k k b j ) à à k b k (5) är s, så måste äve (4) vr s. Följde omskrivigr bereder väge för utyttjde v iduktiostgdet : à k b k ( j b k k b j ) ) j<k à j b k à k b k + b à k b k + j<k j<k j + j à k b k b + b ( j b k k b j ) + ( j b b j ) ( j b k k b j ) + à à b k b k + b + j j b j b j b + b + à b k + b b j Dess likheter istt i (4), smt föreklig eligt (5), ger à k b k b + b + j b j b j b + vilket uppebrt är st. b + à j b k + b b j

3 Mipultio v summor: litet övig I vi går vidre, med ett dr bevis för Lgrges idetitet, låt oss "värm upp" geom tt med summtecke uttryck vd de distributiv lge säger om"multipliktio v preteser" med fler termer: m j à b k Am. Det är riktigt tt j m k j m k j b k m j b k I fllet då m förkortr m på ett turligt sätt: j,k j b k me ret "grmmtiskt" fis e skilld : Västerledet specificerr ite i vilke ordig m skll summer, med högerledet säger: Summer först ll produkter iehållde, sed ll iehållde, o.s.v. I specilfllet m och b k k, får vi à à k j k j k j,k Termer i de sist summ k idels i tre ktegorier: termer för vilk j<k,j k resp. j>k. Därmed k vi del upp summ i tre delsummor: j, j,k j k j<k j k + {z } I k + k<j j k {z } III Observer u tt I III (Motiverig : Vlet v summtiosbokstver är fritt, så vi k låt j och k byt plts i III: j k k j, me k j j k k<j j<k Motiverig : Termer i I resp. III k prs ihop, två och två: mot i I svrr i III, mot 3 svrr 3, o.s.v., och vi hr likhet för tle i vrje pr.) Alltså j k k + j k j,k j<k vilket är e slgs geerliserig v kvdrerigsregel till fler ä två termer: ( + b) + b +b ( + b + c) + b + c +b +c +bc ( + b + c + d) + b + c + d +b +c +d +bc +bd +cd à k. k + j<k j k 3

4 Lgrges idetitet: ett bevis ut iduktio Tillämp de type v omformigr som behdldes på sid.3 : (De dr omskrivige är t.o.m. trivilre ä så.) à k b k ( k b k ) + j<k ( j b j )( k b k ) (6) ( j b k k b j ) j<k j<k j<k j b k j b k k b j + kb j (7) jb k j<k j b k k b j + j<k kb j à à k b k jb k jb k + kb k + jb k (8) j, j<k k<j [Låt j och k byt plts i sist summ] jb k + kb k + kb j j<k j<k Nu ser vi tt summ v högerlede i (6) och (7) lik med högerledet i (8), vilket ger tt summ v västerlede i (6) och (7) lik med västerledet i (8), d.v.s. Lgrges idetitet. 4

5 Geerliserig till fyr tlföljder Vektorproduktidetitete hr e geerliserig till fyr vektorer: b b ( b) (9) ( b) (c d) ( c)(b d) ( d)(b c) Miesregel : skriv ll kvdrter i (9) som produkter : ( b) ( b) ( )(b b) ( b)( b) och i de produkter v vektorer (bortse frå produkter v tl) som räks ytterst, ersätt de dr förekomste v eller b med c resp. d. Bevis: Vi betrktr ( b) (c d) som de sklär trippelprodukte v b, c och d, utyttjr tt sklär trippelprodukt är ivrit uder cyklisk permuttioer v fktorer, smt formel för vektoriell trippelprodukt [Sprr, sid.96]: ( b) (c d) d (( b) c) d (( c) b (b c) ) ( c)(b d) ( d)(b c) Geom tt uttryck vektorer i koorditer reltivt e HON-bs, (,, 3 ), b (b,b,b 3 ), c (c,c,c 3 ), och d (d,d,d 3 ), så får vi e idetitet för tl: à 3 à 3 ( j b k k b j )(c j d k c k d j ) b k d k b k c k j<k 3 k c kã 3 k d kã 3 Som på sid., frågr vi oss, om dett är ågotig speciellt för tltripplr, eller om vi k geerliser till -tiplr. à à ( j b k k b j )(c j d k c k d j )? à à k c k b k d k k d k b k c k j<k (0) Beviset är e re kotrollräkig som på sid. 4: (För överskådlighetes skull, skriver vi uder summtecket edst de krv på j och k som tillkommer utöver grudkrvet j, k. Fis iget t krv, skriver vi br j, k.) à j c j b k d k j b k c j d k + k b k c k d k + j b k c j d k j<k k j>k [Låt j och k byt plts i sist summ] j b k c j d k + k b k c k d k + k b j c k d j j<k k j<k à j d j b k c k j b k c k d j + k b k c k d k + j b k c k d j j<k k j>k [Låt j och k byt plts i sist summ] j b k c k d j + k b k c k d k + k b j c j d k j<k k j<k j<k ( j b k k b j )(c j d k c k d j ) j<k j b k c j d k j<k j b k c k d j j<k k b j c j d k + j<k Nu ser vi tt differese v två först högerlede är lik med det tredje högerledet. k b j c k d j 5

6 Fllet Låt oss udersök ärmre vd geerliserige (0) säger i fllet : ( b b )(c d c d )( c + c )(b d + b d ) ( d + d )(b c + b c ) () Påmier dett om ågot vi sett förrut? Frå vektorprodukt ssocierr vi till determiter och observerr tt b b b b, c d c d c c d d För determiter hr vi produktstse det A det B detab K det vr de likhete som vi ser i ()? µ µ c c b b d d c + d c + d b c + b d b c + b d ger ite högerledet i (), me determiter ädrs ite vid trspoerig, så c c d d c d c d och u är µ µ c d b b c d µ c + c d + d b c + b c b d + b d högerledet i (). 6

7 Joseph-Louis Lgrge (736-83) Kske 700-tlets, äst efter Euler ( ), främste mtemtiker. Liv I 0-årsålder läste h Eulers bok om vritiosklkyl, skrev till förf. och påpekde e bättre metod tt härled de differetilekvtio teori bygger på. Euler blev impoerd och prisde L. högt. När Euler 766 lämde Berli, utsågs just Lgrge till hs efterträdre. Till Pris och Frkrike kom L. först 787 h vr född och uppväxt i Itlie. Mycket tck vre e medvetet låg profil lyckdes h överlev Frsk revolutioes skräckvälde; fler v hs kollegor gjorde ite det. (793 kom ett påbud om tt ll som vr född i fiedeläder skulle rresters och ders egedomr kofiskers. L. beviljdes udtg efter igripde frå Lvoisier, som dock själv giljotierdes 794.) Då de två y högskolor École Polytechique (för igejörer) och École Normle (för lärre) gruddes , fick L. ryck i som föreläsre efter 30 års uppehåll. (Uder hel Berlitide hde h ägt sig åt forskig och ett skäl till tt h hde vlt Pris frmför Itlie hde vrit e klusul i kotrktet om tt ite behöv udervis.) Mekik ett midre kät foto på Lgrge i ug år Som Lgrges "tygst" verk räks Mécique lytique (788, fyr bd). De differetil- och itegrlklkyl som Newto, Leibiz, släkte Beroulli, Euler m.fl. utvecklt sed 660-tlet, hde tillämpts i först hd på mekikproblem och u smmfttde L. ett sekels stor frmsteg på området. (Ite midre ä fem gåger v h Frsk veteskpskdemis pris med rbete i celest mekik.) Det y greppssättet för mekikproblem tt ställ upp och lös differetilekvtioer betodes så strkt tt mekike frmstod som e gre v mtemtike. L. berömde sig själv i förordet för tt ite h behövt e ed figur i hel boke E slgs optimerig där m söker mximum/miimum v e itegrl där itegrde får vrier, t.ex. : Sök miimum v +y 0 (x) dx, då y (x) får vrier över ll deriverbr fuktioer med y (0) och y () 0. 0 y(x) Av ll slut kurvor med give lägd, vilke omsluter störst re? Av ll ytor med give rdkurv, vilke hr mist re? (Kurvor/ytor m väljer bld, beskrivs v fuktioer, reor ges v itegrler.) Se t.ex. [Bystrom&LEPersso] 7

8 Alys Föreläsigsteckigr frå École Polytechique (tillsmms med tidigre tkr frå 770-tlet) resulterde i Théorie des foctios lytique (797), där L. försöker ställ till rätt differetilklyles grudvlr. Trots ll frmgågr i tillämpigr, hde m ämlige svårt tt riktigt förklr vd m räkde med och vrför det fugerde. M tlde om "ifiitesiml / oädligt små / försvide små " storheter, "fluxioer" (Newto), "differetiler", "gräsvärde", etc. ut tt egetlige ku säg vd det vr. Så L. ville gör sig v med de flummig begreppe och bygg upp det hel på "säker grud" lgebr med ädlig storheter. Hs utgågspukt vr ågot som ll tog och väde på de tide tt vrje fuktio k utveckls i e s.k. potesserie:. Vis tt fuktioe e /x, x > 0 f (x) 0, x 0 f ( x), x < 0 är oädligt måg gåger deriverbr äve i x 0 och f () (0) 0 för ll. Därmed hr du e oädligt måg gåger deriverbr fuktio f för vilke f (x) 6 0 f () (0) x utom då x 0 f ( + x) c 0 + c x + c x + c 3 x där koefficieter c k beror på, me ite x Därefter visr h tt det måste gäll (Jfr. [PB, sist kpitlet om Tylors formel]. Där återfis också "restterme på Lgrges form".) c f () () Lgrge defiierr därför derivtor som koefficieter i viss potesserieutveckligr. (Själv ordet derivt, smt primbeteckige, härstmmr just frå de bok v Lgrge.) M k emellertid märk tt "oädlig polyom" (potesserier ov) ite är ågr ädlig storheter Det visr sig också mycket riktigt tt L. ite k håll vd h lovr h får t till gräsvärdesresoemg i ll fll. Att ite ll fuktioer kude utveckls i potesserie krig vrje, vr L. säkert medvete om h mede dock tt m ite skulle bry sig om specilfll. På 80- tlet blev det emellertid klrt tt ite heller deriverbr fuktioer lltid kude utveckls i potesserie (OBS. E ågot osäker tolkig v [Ktz, vs ].) och Lgrges teoribygge frmstod som ohållbrt. (Egetlige hde väl äst ige brytt sig om tt sätt sig i i Lgrges teori, är de kom, ut m hde br tgit de som ytterligre bekräftelse på tt det trditioell sättet tt räk kude rättfärdigs och tt m följktlige kude fortsätt med det.) E logiskt ivädigsfri defiitio v gräsvärde ("ε/δ-defiitioe") formulerdes v Krl Weierstrss först på 860-tlet. Tlteori Liksom Euler visde Lgrge stort itresse och fllehet äve för tlteori och vr först tt fullstädigt bevis e rd förmodde: fyrkvdrtstse (770; hs mest berömd resultt på området, se sid.6), de s.k. Wilsos sts (770-tlet): är primtl ( ) + är delbrt med tt de s.k. Pells ekvtio x dy hr lösigr för vrje d (766) e rd påståede v Fermt (60-665) om represettioer v primtl, t.ex. tt vrje primtl p v forme p 8 + k skrivs p +b för ågr heltl och b. 8

9 Lgrges idetitet för Utskriveutsummteckeärde: ( b + b ) +( b b ) + b + b () Dett är uppebrt ett specilfll v idetitete för 3, ekvtio (), med 3 b 3 0. Hr () ågo "mer geometrisk" tolkig motsvrde de med sklär- och vektorprodukter i 3D? J, det här är fktiskt idetitete zw z w för de komplex tle z i w b + ib. Bevis Lebesgues idetitet + b + c + d + b c d +(c +bd) +(d bc) Ite de Heri Lebesgue (875-94), som iroducerde ett mer geerellt itegrlbegrepp ä Riems, ut e tidigre V.A.Lebesgue, som 850 bevisde tt x p y ite hr ågr heltlslösigr ett specilfll v Ctls förmod frå 844 : 3 3 är de ed lösige till de dioftisk ekvtioe x p y q ± Först ylige (00) hr Pred Mihăilesculgtfrmresulttsomtycksdefiitivt fullbord ett bevis för Ctls förmod. Apropå olik mtemtiker med smm m, beskrivig v A History of Mthemtics v Flori Cjori: Origilly issued i 893, this populr Fifth Editio (99) covers the period from tiquity to the close of World Wr I, with mjor emphsis o dvced mthemtics d, i prticulr, the dvced mthemtics of the ieteeth d erly twetieth ceturies. I oe cocise volume this uique book presets iterestig d relible ccout of mthemtics history for those who cot devote themselves to itesive study. The book is must for persol d deprtmetl librries like. Cjori hs mstered the rt of icorportig eormous mout of specific detilitosmooth-flowig rrtive. The Idex for exmple cotis ot just the 300 to 400 mes oe would expect to fid, but over,600. Ad, for exmple, oe will ot oly fid Joh Pell, but will ler who he ws d some specifics of wht he did (d tht the Pell equtio ws med erroeously fter him). I dditio, oe will come cross A J. Pell d ler of her work o biorthogol systems; oe will fid ot oly H. Lebesgue but the ot uimportt (eve if ot mjor) V.A. Lebesgue. Of the Beroullis oe will fid ot three or four but ll eight. Oe will fid R. Sturm s well s C. Sturm; M. Ricci s well s G. Ricci; V. Riccti s well s J.F. Riccti; Wolfgg Bolyi s well s J. Bolyi; the mthemtici Mrti Ohm s well s the physicist G.S. Ohm; M. Riesz s well s F. Riesz; H.G. Grssm s well s H. Grssm; H.P. Bbbge who cotiued the work of his fther C. Bbbge; R. Fuchs s well s the more fmous L. Fuchs; A. Quetelet s well s L.A.J. Quetelet; P.M. Hh d Hs Hh; E. Blschke d W. Blschke; J. Picrd s well s the more fmous C.E. Picrd; B. Pscl (of course) d lso Eresto Pscl d Etiee Pscl; d the historiclly importt V.J. Bouikovski d W.A. Steklov, seldom metioed t the time outside the Soviet literture. 9

10 Multipliktio v vektorer? Vrke de kommuttiv eller de ssocitiv lge är uppfylld för vektorprodukt: b b ( b) c är i llmähet ite lik med (b c) M k fråg sig om det fis ågot t sätt tt defiier multipliktio v vektorer, så tt ll vlig räkelgr blir uppfylld, ikl. tt multipliktioe hr e ivers opertio, divisio. 3. Vd är det för "fel" på sklärprodukte? 4. Vd är det för"fel"på tt defiier multipliktio koorditvis i logi med dditio: Pr v reell tl : komplex tl (, )(b,b )( b, b )? Vektorer i ett pl k, som bekt, idetifiers med de komplex tle. Så för pr v reell tl är multipliktio i vlig meig möjlig. Tlpret (x, y),x,y R, idetifiers med x + iy, där i är ett tl som uppfyller i Om dett i i övrigt k behdls som ett vligt reellt tl, så måste vi, för ll reell, b, x, y h ( + ib)+(x + iy) ( + x)+i (b + y) ( + ib)(x + iy) x by + i (y + bx) Nu k m kotroller tt med dess likheter som defiitioer för dditio och multipliktio, k m räk med objekte x + iy som med reell tl. Tripplr v reell tl : ige motsvrighet K m då på smm sätt utvidg de komplex tle till e mägd v tl som hr forme x + iy + jz, x,y,z R där u j är ågot ytt icke-komplext tl? Vi skulle då behöv defiitioer för ij och j v type såd tt de vlig räkelgr gäller. Följde uträkig visr tt dett ite är möjligt: ij + ib + jc,där, b, c R j... ij + ib + jc i (ij) i ( + ib + jc) i j i + i b +(ij) c j i b +( + ib + jc) c j i b + c + ibc + jc b c i ( + bc) j +c b c i ( + bc) +c j Vi hr fått motsägelse tt j skulle vr ett vligt komplext tl 0

11 Kvterioer Sklärdel och vektordel v e kvterio: Om q t + ix + jy + kz så klls t sklärdele v q med ix + jy + kz klls vektordele 5. Vis tt, el. ovståede ( i + j + 3 k)(b i + b j + b 3 k) ( b + b + 3 c 3 )+ +( b 3 3 b ) i + +( 3 b b 3 ) j + +( b b ) k Kä ige uttrycke frå vektorlgebr och formuler e miesregel för (reltivt) sbb multipliktio v kvterioer. Absolutbelopp (orm) och kojugt v e kvterio (i logi med de komplex tle): Willim Row Hmilto ( ) upptäckte tt e kostruktio likde de komplex tle är möjlig för fyrtiplr v reell tl, om m ger upp krvet tt multipliktio skll vr kommuttiv Med två y tl, j och k, och defiitioer i j k ij k, jk i, ki j ji k, kj i, ik j ix xi jx xj för reell x kx xk Om q t + ix + jy + kz så klls q t ix jy kz kojugtet till q (lt.beteckig för q är q ) med q p t + x + y + z klls bsolutbeloppet 6. Vis tt (i likhet med de komplex tle) qq t + x + y + z q q går det tt dder och multiplicer tl v type t + ix + jy + kz, där t, x, y, z R "som vligt", bortsett frå tt m måste håll red på ordige vid multipliktio, är två olik v tle i, j och k är ibldde. Dess "tl" klls kvterioer. Bokstäver q och p är vlig vl för dem.

12 Am. Divisio Med hjälp v det fktum tt qq q q >0 för ll q 6 0 k vi, som för komplex tl (förlägig med ämres kojugt) till vrje kvterio q 6 0 ge e multipliktiv ivers q, d.v.s. e kvterio som uppfyller q q q q ämlige q q q q q q Obs. dock tt, i och med tt multipliktioe ite är kommuttiv, så får vi två slgs divisioer: bråk p q är ej defiierde ut vi får skilj på "västerdivisio v p med q" : q p "högerdivisio v p med q" : p q 7. Vis tt för godtycklig kvterioer p och q (Jämför trspoerig v mtriser) (pq) qp 8. För komplex tl hr vi zw z w. Gäller motsvrde för kvterioer? Vis tt så är fllet, pq p q för ll kvterioer p, q med hjälp v idetiteter (M behöver ite bld i kompoeter) q qq qq och (pq) qp Euler ( ) (vr uder si sist 7 år blid på e ögt) Sätter vi i i p 0 + i + j + 3 k q b 0 + b i + b j + b 3 k p q pq får vi Eulers fyrkvdrtsidetitet (återfis i ett brev frå 750) : b 0 + b + b + b 3 ( 0 b 0 b b 3 b 3 ) + +( 0 b + b 0 + b 3 3 b ) + +( 0 b + b b b 3 ) + +( 0 b b 0 + b b ) Ite dåligt tt upptäck de här idetitete De är ite heller lätt tt komm ihåg, om m ite täker på orm v kvterioer

13 Eulers fyrkvdrtsidetitet Lgrges idetitet för 4 Vi visr u tt Eulers fyrkvdrtsidetitet är ekvivlet med Lgrges idetitet för 4. Lgrges idetitet för 4k formulers b 0 + b + b + b 3 ( 0 b 0 + b + b + 3 b 3 ) + +( 0 b b 0 ) +( b 3 3 b ) + +( 0 b b 0 ) +( b 3 3 b ) + +( 0 b 3 3 b 0 ) +( b b ) Jämför dett med Eulers fyrkvdrtsidetitet. Västerlede är lik det skulle räck tt vis tt högerlede är lik. Högerlede skulle se äu mer lik vrdr, om vi fick byt ut b 0 mot b 0 i Eulers idetitet. Får vi gör det? Om vi i e idetitet i (likhet som är s för ll värde på) vribel b 0, låter b 0 x geomgåede, får vi e idetitet i vribel x. Iäststegkvi byt ut x mot b 0 och hr e idetitet fortfrde. Så visst får vi e ekvivlet idetitet, om vi byter ut b 0 mot b 0 överllt. (Nu är det så tt ( b 0 ) b 0 och därför märks ige skilld i västerledet.) Eulers idetitet k lltså formulers b 0 + b + b + b 3 ( 0 b 0 + b + b + 3 b 3 ) + +( 0 b b 0 + b 3 3 b ) + +( 0 b b b b 3 ) + +( 0 b 3 3 b 0 + b b ) Nu hr vi ite br västerlede lik, ut äve de först kvdrter i högerlede lik, så det skulle räck tt vis tt ( 0 b b 0 + b 3 3 b ) + +( 0 b b b b 3 ) + +( 0 b 3 3 b 0 + b b ) ( 0 b b 0 ) +( b 3 3 b ) + +( 0 b b 0 ) +( b 3 3 b ) + +( 0 b 3 3 b 0 ) +( b b ) Kvdrerigsregel ger ( 0 b b 0 + b 3 3 b ) ( 0 b b 0 ) ( b 3 3 b ) ( 0 b b 0 )( b 3 3 b ) och logt fås två produkter till, är vi bildr differese mell väster- och högerled. Vårt påståede är ekvivlet med tt 0 ( 0 b b 0 )( b 3 3 b ) +( 0 b b 0 )( 3 b b 3 )+ +( 0 b 3 3 b 0 )( b b ) Utyttj vektorproduktes egeskper för tt miimer räkigr Observer u tt med k summ skrivs (,, 3 ), b (b,b,b 3 ) 0 b ( b) b 0 ( b) Att dett är 0är omedelbrt klrt, eftersom b per defiitio är vikelrät mot såväl som b (och därmed är båd sklärprodukter 0). 3

14 Kvdrtsummor i tlteori Kvdrttle, 4, 9, 6, 5, 36,... hr fsciert mtemtiker äd sed tike. De ligger gsk glest ädå k måg heltl skrivs som summor v två eller tre kvdrttl: Ov hr vi för tle 99 listt ll miiml represettioer som summor v, eller 3 kvdrttl. "Miiml" iebär här tt t.ex ite är med, eftersom 5 5, likså är ite med, eftersom 8 +. I dr kolume hr vi lltså de tl som k skrivs som summor v två, me ej färre kvdrttl, i tredje de som k skrivs som summor v tre, me ej färre kvdrttl. 4

15 Summor v två kvdrttl Vilk heltl k skrivs som summ v två heltl? Dioftos frå Alexdri (00-tlet e.kr.) skulle ku betecks som "tlteoris fder". Hs verk Arithmetic behdlr ekvtioer för vilk edst heltlslösigr söks; såd kllr vi idg just dioftisk ekvtioer. (De llr eklste dioftisk ekvtioe, de lijär x + by c, förekommer dock ite, tglige för tt de sågs trivil. De lösigsmetod för x + by c som preseters i dges läroböcker, återfis red i Euklides Elemet 500 år tidigre. E viktig ledig till Arithmetics berömmelse rs är piojärbruk v symboler för tl och opertioer. Därför räks Dioftos som e lgebrs föregågsmä.) Bevis följde påståede som återfis (ut bevis) i Arithmetic: 9. Iget heltl v typ 4 +3 kvresummvtvåkvdrttl. 0. Iget heltl v type 4 +7 kvresummvtrekvdrttl.. Jämför primtlsfktoriserigr för tle i dr kolume på sid med dem för tle i de tredje kolume: Något möster som du lägger märke till? Följde sts k beviss: Ett heltl k skrivs som summ v två kvdrter då och edst då dess primtlsfktoriserig ite iehåller primtl v forme 4 +3med udd multiplicitet. E viktig igredies i beviset är följde lemm: Om heltle m och båd k skrivs som summor v två kvdrter, så gäller detsmm äve ders produkt m. Ex. 5 +, fis i de dr kolume och mycket riktigt fis äve där: Lemmt beviss omedelbrt med Lgrges idetitet i fllet, se sid. 9: ( b + b ) +( b b ) + b + b säger oss tt, om m + och b + b, så är m ( b + b ) +( b b ). I vårt exempel med 5 och 3 hr vi mycket riktigt

16 Lgrges fyrkvdrtsts Titt ige på sid.4. Viss v tle 99 sks: 7, 5,... För dess räcker ite summor med högst tre kvdrter. Me om vi tillåter summor med fyr kvdrter, så får äve dess represettioer: Bchet vr e frsm som 6 gv ut e ltisk översättig v Dioftos Arithmetic. H kotrollerde tt ll heltl upp till 35 kude skrivs som summor v högst fyr kvdrter och uttlde e förmod om tt fyr kvdrter skulle räck för ll heltl.. Skriv ett dtorprogrm som testr Bchets förmod för äu fler tl. Fermt (60-665) läste och ispirerdes v just Bchets utgåv v Dioftos, är h formulerde si tlteoretisk förmodde/problem. (Måg v dem, däribld det som kommit tt klls Fermts stor sts, skrev h er i bokes mrgiler.) År 636 skröt h tt h hde ett bevis för Bchets förmod om tt fyr kvdrter skulle räck, me som vligt redovisde h ig detljer. Lgrge vr de förste tt 77 bevis tt fyr kvdrter räcker för ll heltl. Liksom för summor v två kvdrter utgör följde lemm e viktig del: Om heltle m och båd k skrivs som summor v fyr kvdrter, så gäller detsmm äve ders produkt m. De följer, logt med si tvåkvdrtsmotsvrighet, ur Eulers fyrkvdrtsidetitet, som vi såg vr ekvivlet med Lgrges idetitet i fllet 4. Lgrge själv erkäde si tcksmhetsskuld till Euler och Euler kom med e föreklig v beviset året därpå. Fermt 6

17 Wrigs problem Red i Lgrge blivit klr med fyrkvdrtstse, slägde E.Wrig 3 ur sig e svepde geerliserig: "Vrje positivt heltl k skrivs som summ v högst 4 kvdrter, 9 kuber, 9 bikvdrter 4 ochsåvidre..." Det oklr "och så vidre" m k ju äppelige utläs ågo fortsättig på följde 4, 9, 9 tolkdes v övrig mtemtiker så här : För vrje positivt heltl k fis ett mist heltl g (k) sådt tt vrje positivt heltl k skrivs som summ v högst g (k) st. k:te poteser v positiv heltl: k + k k m, m g (k) Dvid Hilbert (86-943), e v si tids främst mtemtiker, bevisde 909 tt tle g (k) existerr för ll k, me hs bevis vr icke-kostruktivt ur det kude m ite lls utläs vd tle g (k) skulle vr. (Förutom för tt vr llmät svårbegripligt hr dett Hilberts bevis blivit kät för tt det i räkigr dyker upp e 5-dimesioell itegrl.) Hrdy, Littlewood och Viogrdov utvecklde uder 90- och 930-tlet metoder, som gör det möjligt tt uppsktt tle g (k) Att g (3) 9 bevisdes 909 (möjlige sere) Att g (4) 9 blev slutgiltigt klrt först 986. Att g (5) 37 bevisdes 964 Obs. hur oerhört mycket det fis tt utred här: Lgrges sts tr hd om fllet k och säger tt g () 4. Red de iehåller mycket: Det hde turligtvis vrit täkbrt tt 4 kvdrter ite skulle räck för ågot stort. Likså k 5 kvdrter täks vr otillräckligt. Det är ite på ågot sätt självklrt tt det överhuvudtget fis ågot heltl s, sådt tt ll heltl k skrivs som summ v högst s st. kvdrter. Sed hr vi följde problem: Om vi drr till med ett stort s, kske vi lycks bevis tt ll heltl k skrivs som summ v högst s st., säg, bikvdrter. Det gjorde Liouville (859): H bevisde tt 53 bikvdrter räcker för ll heltl. Me vi söker mist möjlig s det skulle vr 9 eligt Wrig. Liouville hde br bevist tt g (4) 53, me exkt vd g (4) vr kude h ite säg. Tle G (k) Det hr vists tt 3 och 39 fktiskt är de ed heltle som kräver så måg som 9 kuber. År 94 bevisde Liik tt edst ädligt måg kräver 8 kuber, lltså för ll tillräckligt stor heltl räcker det med 7. Det hr vists tt för ll k 3, räcker det med färre ä g (k) st. k:te poteser för ll tillräckligt stor heltl. Dett hr förlett defiitioe G (k) det mist heltlet med egeskpe tt ll tillräckligt stor heltl k skrivs som summ v högst G (k) st. k:te poteser Wrigs problem hr (med viss fördröjig) givit upphov till mycket verksmhet iom tlteori. 5,6 Tle G (k) är på sätt och vis mer itresst ä g (k). Edst två värde på G (k) är käd exkt el. [Burto]: 3 Kompetet mtemtiker, me ej ågo v de stor. 4 bikvdrt ( fjärdepotes) heltl v type 4 5 [Burto] skriver: There seems little doubt tht Wrig hd limited umericl grouds i fvour of his ssertio d o shdow of proof. 6 [Bell] diskuterr om det är br tt som Wrig släg ur sig "förmodde" som m ite är i ärhete v tt bevis. Guss på si tid vr väldigt kritiskt till sådt. G () 4 G (4) 6 Liiks ov citerde resultt säger tt G (3) 7, me red Jcobi 85 förmodde tt G (3) 5. 7

18 Cuchy-Schwrz olikhet 3. Aväd Lgrges idetitet till tt bevis Cuchys olikhet : v v u k b t u k t k b k med likhet dåå (,,..., ) och (b,b,..., b ) är prllell De flest läroböcker hr ettheltorludbevis: Observer tt för ll reell tl t gäller (hr här x k och y k ist.f. k resp. b k ) (x k t + y k ) 0 Ã x k x k t +x k y k t + yk 0 Ã t + x k y k t + Här hr vi ett drgrdspolyom i t som är 0 för ll t t +bt + c 0 Om m försöker lös ekvtioe t +bt + c 0 t + b t + c 0 t b ± s µ b yk 0 c så måste det vis sig tt µ b c 0 Ars skulle m hft två olik reell rötter, t och t, och det skulle gällt Likhet skulle iebär tt ekv. t +bt + c 0hr e reell rot t 0. Me (x k t 0 + y k ) 0 x k t 0 + y k 0 för ll k t 0 x y Obs. Räkigr ov förutstte tt >0. Skulle 0 så iebär det x x... x 0 och för det fllet ser vi direkt tt likhet gäller och ollvektor räks som prllell med vilke vektor som helst. x k Räkigr ov hde kut formulers m.h.. sklärprodukt och lägd i R x y x k y k v x u x x t x k tx + y 0 (tx + y) (tx + y) 0 tx tx + y tx + tx y + y y 0 x t +(x y) t + y 0 och själv olikhete tr forme x y x y 4. Vis tt för ll reell tl, b, c b + bc + c + b + c Me t +bt + c<0 för t <t<t µ b c µ b c 0 b c b c v u x k y t k x k v u t y k 5. Vis tt för ll reell tl x,x,..., x (x + x x ) x + x x När gäller likhet? 6. Bestäm ödvädig och tillräcklig villkor på tle,,..., och b,b,..., b för tt det skll fis tl A och B såd tt ( k x + b k ) (Ax + B) för ll x 8

19 Optimerig m.h.. Cuchys olikhet Optimerigsproblem i fler vribler (hitt störst/mist möjlig värde v ett uttryck) är oft förekommde och viktig. Cuchys olikhet k vr till hjälp ibld. Ett givet söre skll klipps i tre bitr och v bitr skll forms e cirkel, e kvdrt och e liksidig trigel. Hur låg skll bitr vr (i förhållde till vrdr) för tt de totl re v de tre figurer skl bli miiml? Lösig: Vi söker miimum v πr + s då πr +4s +3 give kostt Tolk västerledet som e sklärprodukt: πr +4s +3 ³ 3/4 µ πr, 3 /4 π, 4, 3 s, q π /4 s µ 3 /4 πr + s + q 4π s πr + s + med likhet då vektorer är prllell. Alltså är re med likhet då (πr +4s +3) 4π Hitt störst värdet v x + y + z på ehetssfäre x + y + z. 8. Sök störst och mist värde v ( och b ts vr giv och fix tl, med x och y vrierr över hel tllije) f (x, y) x + by +x + y 9. Udersök för störst resp. mist värde x + y + z +(4 x y z) 0. Sök störst och mist värde v (3x +4y) e (x +y ). Sök, för giv reell, b och positivt s, störst och mist värde v f (x, y) (x + by) e (x +y )/s Kotroller tt svret på föregåede uppgift fås som specilfll.. Sök störst och mist värde v (x +3y +4)e x y 3. Sök, för giv reell, b, c, s, mist och störst värde v f (x, y) ³x + by +c p + b e (x +y )/s Kotroller tt svret på föregåede uppgift fås som specilfll. 4. Bestäm miimum v k k,,,..., olik positiv heltl πr π s / /4 r s 3 9

20 Hölders olikhet Cuchys olikhet k geerlisers så här: Låt p och q vr tl >, såd tt p + q Då är à /p à /q x k y x k k p y k q med likhet dåå i) x k y k hr smm tecke för ll k, och ii) ( x p, x p,..., x p ) och ( y q, y q,..., y q ) är prllell 5. På vilket sätt är Hölders olikhet e geerliserig v Cuchy-Schwrz? 6. (Forts.) Beräk störst och mist vstådet frå origo till kurv x y3, x 0,y 0 Schwrz olikhet Cuchys olikhet hr e motsvrighet för itegrler som brukr förkipps med tyske Schwrz : 7. Ite helt ovätt, borde m tyck hur så? 8. Gör som i beviset för Cuchys olikhet, utyttj Z b (tf (x)+g (x)) dx 0 för ll t för tt vis tt v Z b f (x) g (x) dx u t Z b v (f (x)) u dxt för ll itervll [, b] och fuktioer f och g, för vilk itegrler ov existerr Att m k gör på smm sätt beror på tt tillordige (f,g) 7 Z b följer smm räkelgr som f (x) g (x) dx (x, y) 7 x y Z b (g (x)) dx M k defiier sklärprodukt mell fuktioer 9. Test Schwrz olikhet på Z π 0 x si xdx 30. Udersök om det går tt bevis Schwrz olikhet geom tt pproximer itegrler med summor och på dem tillämp Cuchys olikhet. Cuchy ( ) Herm A. Schwrz (843-9) 0

21 Korreltioskoefficiet Säg tt vi vill udersök om det fis ågo kopplig mell mäiskors fllehet för mtemtik resp. musik. Vi väljer ut st. persoer, uderkstr dem ett mtemtik- och ett musiktest, poägsätter presttioer, räkr ut medelpoäg för resp. test och teckr x k deltgre k:s mtemtikpoäg y k motsv. för musike medelpoäg på mtemtiktestet På det här sättet åstdkommer vi tt presttioer över medel svrr mot positiv tl och presttioer uder medel mot egtiv tl. Produkte x k y k blir då stor positiv ju mer perso k vviker frå geomsittet åt smm håll på båd område: (+) (+) (+) och ( )( ) (+). De blir egtiv då perso k vviker frå geomsittet åt olik håll. Därmed iser vi tt Ett stort positivt värde på (de s.k. korreltioe) x y + x y x y skulle iebär tt god förmåg på e området tederr tt följs v ( korreler med ) god förmåg äve på det dr området. Stort egtivt värde skulle betyd tt de som är duktig i e ämet brukr vr midre duktig i det dr. Värde är 0 skulle tyd på tt ll kombitioer är lik oft förekommde, d.v.s. tt det ite fis ågo kopplig mell de två förmågor. Me vd betyder stort resp. är 0? Hur stor värde vi får, kommer turligtvis tt bero på vilke poägskl vi vlt i börj? Vi korrigerr för det godtycklig vlet v skl geom tt betrkt de s.k. korreltioskoefficiete ρ x y + x y x y p x + x p x y + y y Högr ytterlighetsfllet iebär perfekt positiv korreltio: musikförmåg är proportioell mot mtemtikförmåg. I det dr ytterlighetsfllet är det tvärtom, så tt förmåg på e området är proportioell mot oförmåg på det dr... Vi ser u hur vi skll kvtifier kopplige : krftig kopplig ρ svg kopplig ρ När vi diskuterde korreltio för ett stickprov, stödde vi oss på Cuchys olikhet för summor. Att korreltioskoefficiete för två kotiuerlig stokstisk vribler är ett tl i itervllet [, ], fås ur Schwrz olikhet för itegrler : ZZ C (, Y ) (x m )(y m Y ) f,y (x, y) dxdy Betrkt itegrde som e produkt v två så här: (Täthetsfuktioer är ju lltid 0.) q (x m ) f,y (x, y) {z } f(x,y) q (y m Y ) f,y (x, y) {z } g(x,y) Schwrz olikhet för dubbelitegrler säger ZZ s ZZ ZZ fg dxdy f dxdys g dxdy I vårt fll är itegrler i högerledet vriser : ZZ (x m ) f,y (x, y) dxdy V () ZZ (y m Y ) f,y (x, y) dxdy V (Y ) Cuchys olikhet säger oss u tt ρ med likhet till höger då det fis k>0, så tt y kx för ll och likhet till väster då smm gäller med k<0. Alltså C (, Y ) p V () p V (Y ) C (, Y ) p p V () V (Y ) C (, Y ) p V () p V (Y )

22 LÖSNINGAR. Med iduktio viss tt för x 6 0är. f () (x) e /x p (x) x, där p (x) är polyom "Bsfllet" 0är klrt : p 0 (x). "Iduktiossteget": d dx e /x x µ e /x p (x) x p (x) x + e /x p 0 (x) x e /x p (x) x + e /x x + p (x)+x p 0 (x) xp (x) Sed viss med iduktio tt f () (0) 0 : "Bsfllet" 0klrt. "Iduktiossteget": f (+) (0) f () (x) f () (0) lim x 0 x f () (x) 0 lim x 0 x e /x p (x) lim x 0 x + t + p t lim t e t 0 + b + c + d + b c d + b + + b c + d + c + d + b + + b c + d c + d 4 + b c + d Tillämp u z w zw på z bi w c + di så fås tt dett är 4 ³(c + bd) +(d bc) 3. De resulterr i ett tl, ite vektor v smm typ som "fktorer". Associtivitet k det ite bli fråg om, eftersom ( b) c och (b c) båd är odefiierde Vi söker lltså e multipliktio R R R (som tr två vektorer i R och producerr e vektor i R, d.v.s. v smm typ). Sklärprodukte däremot är e fuktio R R R 4. De defiitio bryter mot ullerigslge T.ex. är b 0 0eller b 0 (, 0) (0,b)(0, 0) för ll och b Divisio är då omöjlig, ite br med ollvektor, ut med vrje vektor som hr ågo koordit 0, d.v.s. vi får lågt fler udtg jämfört med vd vi är v vid. 5. Om fktorers sklärdelr är båd 0: Produktes sklärdel (vektordelrs sklärprodukt) Produktes vektordel vektordelrs vektorprodukt om vi idetifierr ix+yj+kz med vektor (x, y, z). Om sklärdelr ite är 0, väder vi först distributiv lge: ( 0 + i + j + 3 z)(b 0 + b i + b j + b 3 k) 0 b (b i + b j + b 3 k)+( i + j + 3 z) b 0 + +( i + j + 3 z)(b i + b j + b 3 k) De tre först produkter klrs v lätt (mitterdes två multipliktioer är ekvivlet med multipliktio v vektor med sklär) och de fjärde hr vi ov reducert till e sklärprodukt- och e vektorproduktberäkig. 6. Utyttj receptet frå föregåede uppgift smt vektorproduktegeskpe u u 0 : (t ix jy kz)(t + ix + jy + kz) t (ix + jy + kz) t + t (ix + jy + kz)+ x y z +0 t + x + y + z

23 7. Del upp i sklär- och vektordel : p p 0 + p q q 0 + q Då är Cuchys olikhet Cuchys olikhet säger tt b + bc + c p + b + c p b + c + pq p 0 q 0 + p 0 q + pq 0 p q + p q pq p 0 q 0 p 0 q pq 0 p q p q 5. Observer tt x + x x 8. qp (q 0 q)(p 0 p) q 0 p 0 qp 0 q 0 p q p + q p och de påstådd likhete är klr, eftersom termer i uttrycke för pq och qp är prvis lik : p 0 q 0 q 0 p 0 p 0 q qp 0 pq 0 q 0 p p q q p p q q p pq (pq)(pq) (pq)(q p ) p (qq ) p p q p pp q p q 9. Kvdrttle är ll v typ 4 eller 4 +. Summ v två såd tl k vr v typ 4, 4 +eller 4 +, me ldrig v typ Ett kvdrttl k vid divisio med 4 ge ågo v rester 0,, 4, 9, 6, Summ v tre kvdrttl k då vid divisio med 4 ge ågo v rester 0,,, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 0,,, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 0,, me ite 7, 5 eller 3.. Se efterföljde text... x + x x El. Cuchys olikhet är dett p qx + x x Kvdrer sed. Likhet fås är vektor (x,x,..., x )λ (,,..., ) för ågot tl λ, d.v.s. då x x... x. 6. Västerledet är ett drgrdspolyom i x : à à à x + k b k x + k Dett polyom skll h e dubbelrot det är ekvivlet med tt diskrimite à à k b k 0 k Eligt Cuchys olikhet iträffr dett edst då vektorer (,,..., ) och (b,b,..., b ) är proportioell, med e positiv proportiolitetskostt. Me vrför hävis till Cuchy, är vi k utyttj idé i dess bevis direkt: Högerledet blir 0för x B/A. För dett x skll ll kvdrter i västerledet bli Frå bivillkoret hr vi z x + y. Cuchys olikhet ger x + y x + y p + p x + y Likhet ts då (x, y) λ (, ) för ågot λ. Iför t p x + y, så gäller det tt mximer t + t, då 0 t Ett drgrdspolyom k udersöks med kvdrtkompletterig eller med derivt. Här hr vi mximum (drgrdsterme hr egtiv koefficiet) då derivt t 0, d.v.s. t / och det ligger iför defiitiosområdet, så störst värdet är + µ b k 3 och ts för x y /, z ±/. b k 3

24 8.. Då p x + y r är p + b p x + y x+by p + b p x + y med likhet då (x, y) ±λ (, b). Sätt r p x + y och udersök g (r) r +r med derivt, eller äu kortre: G A-olikhete ger p + b re r /s f (x, y) p + b re r /s Udersök g (r) re r /s, r 0 g 0 (r) µ r e r /s s Alltså är mximum/miimum r +r r +r + r + r med likhet då r. Alltså mx x + by +x + y + b som ts då (x, y) (, b), och +b x + by mi +x + y + b som ts då (x, y) +b (, b). 9. Något störst värde fis ite. Iochmedtt hr vi x + y + z x + y + z 3 p x + y + z 4 3 p x + y + z 4 (x + y + z) 4+ 3 p x + y + z med likhet då (x, y, z) k (,, ). Sätt p x + y + z r Mist värdet fis bld de (x, y, z) för vilk 0 4 3r 4 (x + y + z) Därför sök miimum v ³ r + 4 3r r r +3r ³ 4 r 3r +4 ³ 4µ r 3 + Alltså är mist värdet 4och ts då ±s p + b e / och ts då (x, y) ±s (, b) + b. 5e /0 resp. e 5/ 3. Då p x + y r är ³ p + b r +c p + b e r /s sök mximum v f (x, y) ³p + b r +c p + b e r /s g (r) (r +c) e r /s, r 0 g 0 (r) ³ r (r +c) e r /s s µ c s r s r e r /s r s +cr s e r /s Adrgrdspolyomets rötter Mximum ts då r c ± p c + s r p c + s c och är à p ³p c + s + b c + s + c c exp s För miimum, sök miimum v h (r) ( r +c) e r /s (x, y, z) (,, ) h 0 (r) ³ r s ( r +c) e r /s 0. ± 5 e / s r cr s e r /s 4

25 Miimum ts då r c + p c + s och är p à ³p c + s + c + b c + s c exp s 4. Det är klrt tt miimum måste ts då {,,..., } {,,..., } d.v.s. då följde,,..., är ågo permuttio v följde,,...,. Ars skulle mist ett v tle, säg j,vr>, och mist ett v tle,,...,, sägk, skulle vr "ledigt", och geom tt låt j k, skulle vi få e äu midre summ. Cuchys olikhet ger k Härv k k v u t k k k v u t k k k k v u t K likhet ts? J, dåå k k / kostt k lltså dåå k k k k v u t 5. Cuchys olikhet fås som specilfllet p q. Det gäller ju + 6. Låt q 3/, p3 x + y 4 x 4 + y à µx / /3 + /3 y 3/ 4 3 µ x 3 / y3 visr tt störst vstådet är 6 65 k och ts då ( ³,y3 x 3 8 λ 4 3, 3 x y3 ½ x 3 /864/65 y 3 /65 (Kotroll: x + y (8 64/65) /3 +(/65) / /3 ) Betr. miimum: x + y x 3 + y 3 x3 8 + y3 med likhet då x 0,y 7. Bestämd itegrler defiiers som gräsvärde v viss summor Z b t f (x)+f (x) g (x) t + g (x) dx à Z à b Z b f dx t + fg dx t + {z } A {z } B Z b, g dx {z } C Som på sid.8: uttrycket som hmr uder rottecke, är m förösöker lös At +Bt + C 0, måste vr 0: µ B C A A 0 Z π 0 Z π x si xdx π Z π 0 x dx 3 π3 si xdx 0 π r 3 π3 π π π>π Del i itervllet [, b] i delr: x 0 <x <x <... < x b Sätt 4x k x k x k. Cuchys olikhet ger ³f (x k ) p 4x k ³ g (x k ) p 4x k v v u t f (x k ) u 4x k t g (x k ) 4x k Låt u ideliges fihet mx k 4x k

26 Littertur [Adrews] George E. Adrews, Number Theory, 97 [O Coer&Robertso] McTutor History of Mthemtics, [KGA] K.G.Adersso, Lieär lgebr, 000 [Bell] E.T.Bell, The Developmet of Mthemtics, 945 [Burto] Dvid M. Burto, Elemetry Number Theory, 994 [Bystrom&LEPersso] Joh Byström & Lrs-ErikPersso, Itroduktio till vritiosklkyl deliiivgrudkurs i tillämpd mtemtik, [Ktz] Victor J. Ktz, A History of Mthemtics. A Itroductio, d Ed., 998 [Kuipers] Jck B. Kuipers, Quterios d Rottio Sequeces, 999 [PB] Persso & Böiers, Alys i e vribel, 990 [PB] Persso & Böiers, Alys i fler vribler, 996 [Schoof] Reé Schoof, Ctl s Cojecture, [Sprr] Gur Sprr, Lijär lgebr, 994 [Weisstei] Eric W. Weisstei, Mth World, 6