Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor"

Transkript

1 Mtte C Översikt Fuktioer Poteslgr Potesuktioer Polomuktioer o Väde/vtgde uktio o M/mi pukter tersspukt o Tget Lösigsmetoder ör : grdre Rtioell uktioer Derivt Deiitio v derivt o Vis ör C Deriverigsregler: o Summ o Rote tecke Avädig v derivt Tecketbell Störst oc mist värdet Epoetiluktioe Deiitio Derivt Logritmisk uktioer Deiitio Derivt Geometrisk summor Deiitio Avädig?

2 Fuktioer Poteslgr me VL e t. / /.. Potesuktioer Potesuktioer är uktioer på orme: C där C är e kostt. M r begräsigr tt om ite är eltl så gäller tt. Lösigsmetod: Börj med tt örmisk bort kosttet.e. divider både sidor med C Aväd poteslgr ör tt örmisk uttrcket så tt m br r e term som ieåller. Lös ut. E. ± b 9 c 8 / 8 Polomuktioer E polomuktio är e uktio som består v e eller ler potesuktioer, k ikluder C C, dvs. kosttterm. E llmä orm ser ut som:... Deiitioe v e uktio: vrje -värde ieåller edst ett -värde. Väde uktio: Om ökr så väerökr. < Avtgde uktio: Om ökr så vtrmiskr. < Någr deiitioer ör gre till e polomuktio: Loklt mimum E pukt med ett -värde som är större ä ll dr i e lokl omgivig.

3 Loklt miimum E pukt med ett -värde som är midre ä ll dr i e lokl omgivig. Tget E rk lije som delr e pukt med uktioe oc i de pukt r tget oc uktioe smm lutig. Tgete i e m oc miimum pukt är lltid vågrätt. Tersspukt E pukt vrs tget är vågrätt oc de är verke loklt mi eller m. De vligste polomuktioe är. E. Bestäm etrempukter oc vgör tp till 8 Lös: Kvdrtkompleter - är positivt ör ll oc det mist värdet det k bli är, då är. Etersom vi r ett positivt tl oc drr irå så är etrempukte e miimum pukt. Då För tt lös e polomekvtioer då k m t.e. väd kvdrtkompleterig eller pq-ormel E. Lös örst med kvdrtkompleterig oc de dr med pq-ormel., b, Rtioell uktioer Precis som rtioell tl som k skrivs på orme b där oc b är eltl så k rtioell uktioer skrivs som ett bråk v två polom: r g b b b E rtioell uktio k lös precis som ett vligt polom me m måste vr og med deiitiosmägde ör uktioe r, dvs uktioe är ite giltig ör ll. Fuktioe är ite giltig ör de där ämre g. Om m vill titt på ollställe ör e rtioell uktio så ger det smm ollställe som r med udtg ör de då g. r g g E. Hitt ollställe till öljde uktioer b,.,.

4 Derivt Deiitioe v derivt Börj med tt repeter rå Mtte B ur m år rm lutige ör e rät lije. M väljer ut två pukter, oc,. Lutige år m då geom: k lutige Om m u r e kurv till uktioe där m vill vet lutige i e pukt, så är det smm lutig som e tget i de pukte r. Hur k m då skriv ett uttrck ör de tgets lutig? Jo, m gör på smm sätt som ör e rät lije. M r pukte, oc väljer e pukt till,. lutige Om det är ett vståd mell pukter i -led så k m skriv om. lutige Y-pukter k m skriv som uktioer v eligt: lutige Nu kommer det svår! Om m u miskr vstådet kommer m tt komm ärmre pukte tget. Optimlt skulle m vilj vstådet mell pukter, me det är ite tillåtet ör då skulle ämre bli vilket de ite år vr. Istället tr m ett tl som ligger jätte är, m säger tt m tr ett tl som går mot. Mtemtisk väder m sig v uttrcket lim. lutige lim Så derivt i pukte skriver m: lim ' Rät lije. b Tget i e pukt vd vi vill. c Lutige i e pukt med miskde vståd.

5 Deriverigsregler För tt det sk bli lite eklre tt deriver olik uttrck k m t rm ågr ekl deriverigsregler. Först är summregel, om m r e uktio där uv så blir dess derivt: u v u v ' lim lim u u v v u u v v lim lim lim u' v' Det k också vr br tt titt derivt v e uktio som ieåller termer där epoete ite är ett eltl, t.e. rote ur tecket. Nu k det vr br tt väd potesregler. E. '. / E. Deriver öljde uttrck. b g g c rt t r t t t Avädig v derivt Vd är derivt? Titt på deiitioe, det egetlige elt vlig, med skillde tt m tittr på ett väldigt litet oc då brukr m skriv dt. Om m gör e eetsls ör ett eempel där m tittr på sträck [s]m som e uktio v tide [t]s. Derivt ger då: [ ds] [ dt] m m s stiget s Så derivt k vr e stiget. M k också säg tt de beskriver ur sträck örädrs med tide, derivt är e örädrig. Om m tittr på e kurv så är derivt e beskrivig ur kurv lutr. Kom iåg tt derivt i e pukt är smm som tgetes lutig i de pukte. Tecketbell Om m r e uktio oc vill vet ur de ser ut så k det vr br tt väd e tecketbell. Tgete till e etrempukt är lltid orisotell, dvs dess lutig är oll så

6 derivt i e etrempukt är oll. Dett väder m ör tt å rm etrempukter geom tt deriver si uktio oc sätt lik med oll. Receptet ör tt gör e tecke tbell är: Deriver uktioe Sätt derivt lik med oll Hitt etrempukter, geom tt lös ekvtioe. Räk rm derivt rut etrempukter. Positiv derivt väde uktio, egtiv derivt vtgde uktio. Age tp ör etrempukter m/mi/terrss pukt Beräk -värde till etrempukter. Störst oc mist värdet Derivt k lltså väds till tt i ett loklt mimum eller miimum. Me om m r e uktio där m tittr på ett visst itervll v, e begräsd deiitiosmägd, så måste ite etrempukter vr störst oc mist värde. Det är viktigt om m r e deiitiosmägd med st gräser eller ite. Hr ett mist värde me ite ett mist. b Hr både ett mist oc störst värde, där mimumet är det störst värdet.

7 Epoetiluktioe oc logritme Deiitioe Precis som si oc cos är två uktioe som beskriver ur stor viklr i e rätviklig trigel är i jämört med trigels sidor. Så beskriver uktioe lg ur m beskriver ett -värde i e gr till. M deiierr logritme geom öljde sätt. Om m tr e -värde så r de ett -värde. Om m u tr ett -värde så r de -värdet log. Om m u sätter dess två pukter till smm pukt så blir det: log log Deiitioe ov är ör bse, me m k egetlige väd vilke bs m vill. Om m väder bse e.78 väder m de turlig logritme l. Geometrisk summ Deiitio Allmä ormel ör :te elemetet i e geometrisk tlöld. k Geometrisk summ: s k k

1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel TAYLORS FOREL Tylors ormel krig pukte Om uktioe oh dess + örst derivtor är kotiuerlig i det slut itervllet [, ] eller [,], dvs vi tillåter < då gäller. som ligger

Läs mer

vara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna

vara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiitio (rigoometrisk serie Ett utryck v öljde orm [ cos( Ωx b si( Ω x är e trigoometrisk serie ] Amärkig: Först terme skriver vi som v prktisk skäl som vi örklrr

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Här preseters förslg på lösigr oc tips till måg uppgifter i läroboke Mtemtik 000 kurs C Komvu som vi opps kommer tt vr till jälp är du rbetr

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

Taylors formel används bl. a. vid i) numeriska beräkningar ii) optimering och iii) härledningar inom olika tekniska och matematiska områden.

Taylors formel används bl. a. vid i) numeriska beräkningar ii) optimering och iii) härledningar inom olika tekniska och matematiska områden. Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR ylors ormelör evribeluktioer AYLORS FOREL FÖR FUNKIONER AV EN VARIABEL ylors ormel väds bl vid i umerisk beräkigr ii optimerig och iii härledigr iom olik tekisk och mtemtisk

Läs mer

Rättande lärare: Niclas Hjelm & Sara Sebelius Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid:

Rättande lärare: Niclas Hjelm & Sara Sebelius Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid: TENTAMEN Kursummer: HF00 Mtemtik för bsår I Momet: TENA /TEN Progrm: Tekiskt bsår Rättde lärre: Nicls Hjelm & Sr Sebelius Emitor: Nicls Hjelm Dtum: Tid: 08-06-0 :00-7:00 Hjälpmedel: Formelsmlig: ISBN 978-9-7-779-8

Läs mer

FORMELBLAD cos( ) cos cos. 21. sin( ) sin cos. 23. tan TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER I RÄTVINKLIGA TRIANGLAR. Pytagoras sats:

FORMELBLAD cos( ) cos cos. 21. sin( ) sin cos. 23. tan TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER I RÄTVINKLIGA TRIANGLAR. Pytagoras sats: TRIGONOMETRISKA FORMLER... si 0 si 6 FORMELBLAD HF700, Bggproduktio 6. si cos 7. si45 si 4 si( ) t( ), cos( ) cos( ) cot( ) si( ) 8. cos( ) coscos sisi si 60 si 4. 9. cos( ) coscos sisi cos 0 cos 6 5.

Läs mer

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s. Dg. Remsummor och tegrler Rekommederde uppgfter 5.. Del upp tervllet [, 3] lk stor deltervll och väd rektglr med dess deltervll som bs för tt beräk re v området uder = +, över =, smt mell = och = 3. V

Läs mer

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri

Läs mer

Integraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. cos(3 xdx ) Från labben: Informationsteknologi

Integraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. cos(3 xdx ) Från labben: Informationsteknologi Itegrler Frå le: Itegrler Beräkigsveteskp I/KF Trpetsformel oc Simpsos formel Itegrler Itegrler Frå le: Frå le: Adptiv metod (dptiv Simpso) Lösig v itegrl i Mtl: är itegrde är kotiuerlig fuktio: väd itegrl.

Läs mer

FAFF Johan Mauritsson 1. Geometrisk optik - reflektion och brytning. Våglära och optik. Geometrisk optik - reflektion och brytning

FAFF Johan Mauritsson 1. Geometrisk optik - reflektion och brytning. Våglära och optik. Geometrisk optik - reflektion och brytning Våglär och optik Geometrisk optik - relektio och rytig FFF30 JOHN MUITSSON Geometrisk optik system Geometrisk optik - relektio och rytig elektioslge rytigslge (Sell s lg) Totlrelektio 3 4 Ljusets utredig

Läs mer

Kompletterande material till kursen Matematisk analys 3

Kompletterande material till kursen Matematisk analys 3 Kompletterde mteril till kurse Mtemtisk lys 3 Augusti 2011 Adrzej Szulki 1 Supremum, ifimum och kotiuerlig fuktioer I ppedix A3 i [PB2] defiiers begreppe supremum och ifimum. mooto tlföljder är ekvivlet

Läs mer

som är styckvis kontinuerlig och har styckvis kontinuerlig derivatan. Notera att f (x)

som är styckvis kontinuerlig och har styckvis kontinuerlig derivatan. Notera att f (x) Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier SINUSSERIER OCH COSINUSSERIER I föregåede lektio (stecil om Fourierserier) hr vi vist hur m utvecklr e periodisk fuktio i e trigoometrisk serie K vi

Läs mer

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR SERIER (OÄDLIGA SUMMOR) Defiitio E serie är e summ v oädligt måg termer I de här stecile etrtr vi huvudslige reell tlserie, dvs serier vrs termer är reell tl (I slutet v stecile

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod ör umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Geometrisk optik. Optiska system F9 Optiska instrument. Brytningsindex. avbildning med linser. Begrepp inom geometrisk optik. Brytningslagen FAF260

Geometrisk optik. Optiska system F9 Optiska instrument. Brytningsindex. avbildning med linser. Begrepp inom geometrisk optik. Brytningslagen FAF260 FF60 Geometrisk optik vildig med liser och speglr Geometrisk optik F7 elektio och rytig F8 vildig, liser och speglr system F9 istrumet Geometrisk optik vildig med liser epetitio: elektio och rytig rytig

Läs mer

16.3. Projektion och Spegling

16.3. Projektion och Spegling 6.3 Projektio oh Speglig 67 6.3. Projektio oh Speglig Exempel 6.4. Bestäm mtrise för projektioe P v rmmet vikelrät mot plet W : x y z = 0. Bestäm okså ilde v svektorer e, e, e 3 oh w = e + e + 3e 3. (N-s.

Läs mer

INTEGRALKRITERIET ( även kallas CAUCHYS INTEGRALKRITERIUM )

INTEGRALKRITERIET ( även kallas CAUCHYS INTEGRALKRITERIUM ) Armi Hlilovic: EXTA ÖVIGA Cuchys itegrlriterium ITEGALKITEIET ( äve lls CAUCHYS ITEGALKITEIUM ) POSITIVA SEIE Defiitio E serie är ositiv om 0 för ll Eftersom delsummor v e ositiv serie bildr e väde ositiv

Läs mer

FÖ 5: Kap 1.6 (fr.o.m. sid. 43) Induktionsbevis

FÖ 5: Kap 1.6 (fr.o.m. sid. 43) Induktionsbevis FÖ 5: K.6 fr.o.m. sid. Idutiosevis Fultet och iomiloefficieter Defiitio v! "-fultet" och iomiloefficieter " över " Disussio och evis v egeser.7 och.8. och.7 för ll =,,,...,.8 Av.8 följer t.e. tt, och Disussio

Läs mer

c k P ), eller R n max{ x k b dx def lim max n f ( def definition. [a,b] om

c k P ), eller R n max{ x k b dx def lim max n f ( def definition. [a,b] om RIEMANNSUMMOR OCH DEFINITIO ONEN AV INTEGRALI LEN f ( x) dx Låt f ( Låt P={xx 0,x 1,...,x } där = x 0 x 1,..., x = =, vr e idelig vv itervllet [,]. I vrje delitervll [x -1, x ] väljer och e put c. Alltså

Läs mer

vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i närheten av punkten )

vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i närheten av punkten ) rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler TYLORS FORMEL FÖR FUNKTIONER V FLER VRIBLER PPROXIMTIONER FELNLYS --------------------------------------------------------------------------------------------

Läs mer

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN INLEDNING LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER E DE är lijär om de är lijär med avseede å de obekata fuktioe oc dess derivator

Läs mer

Symmetriska komponenter, Enlinjediagram och Kortslutningsberäkningar

Symmetriska komponenter, Enlinjediagram och Kortslutningsberäkningar 0-0-8 F6: Per uit system ymmetris ompoeter, Elijedigrm och Kortslutigsberäigr t i Per uit (pu) beräigr Aväds ot iom elrtei och eletris drivsystem Ager impedser, strömmr och späigr som reltiv mått. viss

Läs mer

11.7 Kortversion av Kapitel INTEGRALBEGREPPET

11.7 Kortversion av Kapitel INTEGRALBEGREPPET 498 11. INTEGRALBEGREPPET Defiitio 11.16 R är e obestämd itegrl. De beteckr e primitiv fuktio till f(x). Vi smmfttr skillder mell bestämd och obestämd itegrler: Obestämd itegrl: itegrle skr gräser. De

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.

Läs mer

Problem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.

Problem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Abrahamsso 7-6796 Prov i matematik IT, W, lärarprogrammet Evariabelaalys, hp 9-6-4 Skrivtid: : 5: Tillåta hjälpmedel: Mauella skrivdo Varje uppgift är värd maimalt

Läs mer

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp) KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),

Läs mer

FOURIERSERIER. Definition 1. (Trigonometrisk serie) Ett utryck av följande form. är en trigonometrisk serie.

FOURIERSERIER. Definition 1. (Trigonometrisk serie) Ett utryck av följande form. är en trigonometrisk serie. Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiiio. rigoomerisk serie E uryck v öljde orm [ cos x b si x ] är e rigoomerisk serie. Amärkig: Förs erme skriver vi som v prkisk skäl som vi örklrr ed. Deiiio.

Läs mer

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C ALGEBRA Kdeigsegle ( + ) + + ( ) + Kojugtegel ( + )( ) Adgdsektioe Ektioe + p + q 0 ötte p p p p + q o 4 4 id + p o q q ARITMETIK Pefi Tiopotes

Läs mer

Analysens grunder. Tomas Ekholm Niklas Eriksen. Matematiska institutionen, 2001 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse

Analysens grunder. Tomas Ekholm Niklas Eriksen. Matematiska institutionen, 2001 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse VK Alyses gruder Toms Ekholm Nikls Erikse Mtemtisk istitutioe, 200 Fisiert v Mrie och Mrcus Wllebergs Stiftelse Grekisk lfbetet lf A α iot I ι rho P ρ bet B β kpp K κ sigm Σ σ gmm Γ γ lmbd Λ λ tu T τ delt

Läs mer

Något om funktionsföljder/funktionsserier

Något om funktionsföljder/funktionsserier mtemtis metoder E, del D, FF Något om futiosföljder/futiosserier. Putvis och liformig overges Vi etrtr reellvärd futioer med gemesm defiitiosmägd D IR, M D. Me (äst) llt går helt logt för omplevärd futioer

Läs mer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel

Läs mer

101. och sista termen 1

101. och sista termen 1 Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +

Läs mer

============================================================ vara en given funktion som är definierad i en punkt. i punkten a och betecknas f (a) def

============================================================ vara en given funktion som är definierad i en punkt. i punkten a och betecknas f (a) def Armi Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Dririgsrglr DERIVERINGSREGLER ============================================================ DERIVATANS DEFINITION Diitio Låt y ( r gi uktio som är iird i pukt ( ( Om gräsärdt

Läs mer

Förslag till övningsuppgifter FN = Forsling/Neymark, K = Kompendiet Vektorer, linjer och plan, ÖT = Övningstentamen

Förslag till övningsuppgifter FN = Forsling/Neymark, K = Kompendiet Vektorer, linjer och plan, ÖT = Övningstentamen TNA00 Förslag till övigsugiter FN = Forslig/Neymar, K = Komediet Vetorer, lijer och la, ÖT = Övigstetame Vetorer, lijer och la ÖT:4,, K, K och Ugitera, och eda Ugit x Lije y t, t R z a) Beräa avstådet

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )

Läs mer

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e

Läs mer

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process. Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk

Läs mer

Tentamen med lösningar i IE1304 Reglerteknik Måndag 16/

Tentamen med lösningar i IE1304 Reglerteknik Måndag 16/ Tetme me löigr i IE4 Reglertei Måg 6/ 9.-. Allmä iformtio Emitor: Willim Sqvit. Avrig lärre: Willim Sqvit, tel 8-79 4487 Cmpu Kit, Tetmeuppgifter behöver ite återläm är u lämr i i rivig. Hjälpmeel: Räre/rfräre.

Läs mer

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x

1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING a) Maclauris formel ( ) f () f () f () f ( ) f () + f () + + + +!!! ( ) f ( c) där R och c är tal som ligger mella och ( + )! Amärkig Eftersom

Läs mer

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Defiitio. Egeektor och egeärde för e lijär bildig Låt V r ett ektorrum och T : V V e lijär bildig frå V till V. Om det fis e ollskild ektor och e sklär

Läs mer

är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.

är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system. Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter DETERMINANTER A Determiter v r orige Determite v e mtris A följe är ett tl som etes eta eller Eempel: 6. oh efiiers eligt Motiverig: Determiter utveles i sm me lösigsmetoer

Läs mer

SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE Sid v 6 SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP Iehåll: Mrisorm Begyelsevärdesprobleme Eises- och eydighessse ör lijär sysem

Läs mer

Tenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2

Tenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2 Teta i MVE5/MVE95, Komplex (matematisk) aalys, F och TM/Kf 6, 8.3-.3 Hjälpmedel: Formelblad som delas ut av tetamesvaktera Telefovakt: Mattias Leartsso, 3-535 Betygsgräser: -9 (U), -9 (3), 3-39 (4), 4-5

Läs mer

Lektionssammanfattning Syra-Bas-Jämvikter

Lektionssammanfattning Syra-Bas-Jämvikter Lektiossmmfttig SyrBsJämvikter Det fis ytterligre e typ v jämvikter som vi sk t upp i vi käer oss öjd. Nämlige Syrsjämvikter. De type v jämvikter väds huvudsklige för svg syror oh ser. Ett exempel på e

Läs mer

Kapitel 4.1. 4101, 4102, 4103, 4104 Exempel som löses i boken. = = = = 1. 4105 a) n a1 + a a a = = = = a a a

Kapitel 4.1. 4101, 4102, 4103, 4104 Exempel som löses i boken. = = = = 1. 4105 a) n a1 + a a a = = = = a a a Kompletterde löigförlg och ledigr, Mtemtik 000 kur C, kpitel Kpitel. 0, 0, 0, 0 Exempel om löe i boke. 0 ) 7 0 + + + 6 + 8 + 06 ) +, + 6 6 + + + 69 69 + +, + + 6 6+ 9 8+ + 07 Se boke ledig. Kotkt di lärre

Läs mer

Geometrisk optik. Optiska system F9 Optiska instrument. Brytningsindex. avbildning med linser. Begrepp inom geometrisk optik. Brytningslagen FAF260

Geometrisk optik. Optiska system F9 Optiska instrument. Brytningsindex. avbildning med linser. Begrepp inom geometrisk optik. Brytningslagen FAF260 FF60 Geometrisk optik vildig med liser och speglr Geometrisk optik F7 eflektio och rytig F8 vildig, liser och speglr system F9 istrumet Geometrisk optik vildig med liser epetitio: eflektio och rytig rytig

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl 1 Matematiska Istitutioe, KTH Tetame SF1633, Differetialekvatioer I, de 22 oktober 2018 kl 08.00-13.00. Examiator: Pär Kurlberg OBS: Iga hjälpmedel är tillåta på tetamesskrivige. För full poäg krävs korrekta

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R. P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt

Läs mer

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fktioer bildigr Beteckigr och grdbegrepp Defiitio E fktio eller bildig frå e mägd till e mägd B är e regel som till ågr elemet i ordr

Läs mer

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN 48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på

Läs mer

APPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL

APPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Approimatio av erie umma med e delumma APPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL Låt vara e poitiv och avtagade utio ör åda att erie overgerar. Vi a

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser KVDRISK MRISER, DIGONLMRISER, MRISENS SPÅR, RINGULÄR MRISER, ENHESMRISER, INVERS MRISER KVDRISK MRISER Defiitio E mtris me rer oh oloer, lls vrtis typ Defiitio

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

som gör formeln (*) om vi flyttar första integralen till vänsterledet.

som gör formeln (*) om vi flyttar första integralen till vänsterledet. Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNNGAR Prtill itgrtio PARTELL NTEGRATON uu(vv ( dddd uu(vv( uu (vv(dddd ( ), (pppppppppppppppp iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) KKKKKKKKKKKKKK: uuuu dddd uuuu uu vv dddd Förklrig: Eligt produktrgl

Läs mer

TENTAMEN. Digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare

TENTAMEN. Digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare Istitutioe för dt- och eletrotei 5-5-4 TETAME KURSAM PROGRAM: m Eletro- och dtigejörslije å / läsperiod årsurs /läsperiod 3 KURSBETECKIG LET39 96 EAMIATOR Sve Kutsso TID FÖR TETAME Fredg 7 ugusti 4 l 3.3

Läs mer

Stort massflöde Liten volym och vikt Hög verkningsgrad. Utföranden Kolv (7) Skruv (4) Ving (4) Roots (1,5) Radial (2-4) Axial (1,3) Diagonal.

Stort massflöde Liten volym och vikt Hög verkningsgrad. Utföranden Kolv (7) Skruv (4) Ving (4) Roots (1,5) Radial (2-4) Axial (1,3) Diagonal. Komressorer F1 F Skillad mot fläktar: Betydade desitetsförädrig, ryk mäts ormalt som absolut totaltryk. vå huvudgruer av komressorer: Förträgigskomressorer urbokomressorer Egeskaer Lågt massflöde Höga

Läs mer

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b]. MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Sätra. Skärholmen. kurva. Sätraskogens naturreservat. vara minst 10 meter höga för att påverkan på närområdet ska bli liten.

Sätra. Skärholmen. kurva. Sätraskogens naturreservat. vara minst 10 meter höga för att påverkan på närområdet ska bli liten. Upprättd de 5 mj 2011 Arbetspl, Beskrivig, E4 Förbifrt Stockholm f å Sätr Sätr Sätrskoges turreservt Gåg- och cykelbro blir kvr i smm läge sv ä ge Skärhol msbäcke Sk ä rh ol m VA-sttio och mottgigssttio

Läs mer

DIAGONALISERING AV EN MATRIS

DIAGONALISERING AV EN MATRIS Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr

Läs mer

Y=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

Y=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN. Tangentplan Linjära approimationer TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vara en dierentierbar unktion i punkten a b Då är N a b a b en normalvektor

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13 LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,

Läs mer

www.kitas.se Kitas Frisörgymnasium Nytänkande och kvalitet

www.kitas.se Kitas Frisörgymnasium Nytänkande och kvalitet www.kits.se Kits Frisörgymsium Nytäkde och kvlitet Stimulerde miljö på Mgsisgt Kits Frisör är e lite friskol med 90 elever som erbjuder e kretiv och ispirerde miljö. Utbildige är yrkesförberedde, håller

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3 Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i

Läs mer

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E (8 FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E ALGERA Rgl Adgdskvtio ( + = + + ( = + (kvdigsgl ( + ( = (kojugtgl ( + = + + + ( = + + = ( + ( + = ( ( + + Ekvtio + p+ q = ött p p p = + q o = dä + = p

Läs mer

Svar till tentan

Svar till tentan UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Prov i matematik ES, K, KadKemi, STS, X ENVARIABELANALYS 0-03- Svar till teta 0-03-. Del A ( x Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y = f (x =

Läs mer

Sidor i boken

Sidor i boken Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer

Läs mer

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1 F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C, D OCH E

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C, D OCH E FORMLER TILL NTIONELLT PROV I MTEMTIK KURS D OH E LGER Rgl dgdsktio kdigsgl kojugtgl Ektio p q ött p p p q o dä p o q p q RITMETIK Pi T G M k d m µ p t gig mg kilo kto di ti milli miko o piko 9 6 - - -

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:

1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd: Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr

Läs mer

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C OCH D

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C OCH D (7) FORMLER TILL NTIONELLT PROV I MTEMTIK KURS OH D LGER Rgl dgdsktio ( + ) = + + ( ) = + (kdigsgl) ( + )( ) = (kojugtgl) ( + ) = + + + ( ) = + + = ( + )( + = ( )( + + Ektio + p+ q = 0 ) ) ött p p p =

Läs mer

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur. Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln

Läs mer

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång

Läs mer

TILLÄMPNINGAR AV DIAGONALISERING Beräkning av potenser A n. Rekursiva samband (s.k. differensekvationer).

TILLÄMPNINGAR AV DIAGONALISERING Beräkning av potenser A n. Rekursiva samband (s.k. differensekvationer). rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig TILLÄMPNINGR V DIGONLISERING Beräig v poteser. Reursiv smbd s.. differesevtioer. Beräig v poteser med hjälp v digoliserig Om mtrise är digoliserbr dvs

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR Om vi betratar e futio ff() som är otiuerlig i itervallet [aa, bb] då atar futioe sitt mista

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1. Lösigsförslag till tetamesskrivig i Matematik IV, 5B0 Torsdage de 6 maj 005, kl 0800-00 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Hadbook Redovisa lösigara på ett sådat sätt att beräkigar och resoemag är lätta att

Läs mer

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a. Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras

Läs mer

Geometrisk optik. Optiska system F9 Optiska instrument. Brytningsindex. avbildning med linser. Begrepp inom geometrisk optik. Brytningslagen FAF260

Geometrisk optik. Optiska system F9 Optiska instrument. Brytningsindex. avbildning med linser. Begrepp inom geometrisk optik. Brytningslagen FAF260 FF60 Geometrisk optik vildig med liser och speglr Geometrisk optik eflektio och rytig F8 vildig, liser och speglr system F9 istrumet Geometrisk optik vildig med liser epetitio: eflektio och rytig rytig

Läs mer

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss TNA00- Matematisk grudkurs Tetame 07-0- - Lösigsskiss. a) Svar: x ], [ [, [. 4x x + 4x 4x (x + ) 0 0 x x + x + x + 0 //Teckeschema// x ], [ [, [ b) I : x I : x I : x x x + = 4 = 4 Lösig sakas x + x + =

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grudläggade matematisk statistik Puktskattig Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@slu.se; uwe.mezel@matstat.de www.matstat.de Saolikhetsteori: Saolikhetsteori och statistikteori vad vi gjorde t.o.m. u vi hade e give

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer