Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor

Transkript

1 Mtte C Översikt Fuktioer Poteslgr Potesuktioer Polomuktioer o Väde/vtgde uktio o M/mi pukter tersspukt o Tget Lösigsmetoder ör : grdre Rtioell uktioer Derivt Deiitio v derivt o Vis ör C Deriverigsregler: o Summ o Rote tecke Avädig v derivt Tecketbell Störst oc mist värdet Epoetiluktioe Deiitio Derivt Logritmisk uktioer Deiitio Derivt Geometrisk summor Deiitio Avädig?

2 Fuktioer Poteslgr me VL e t. / /.. Potesuktioer Potesuktioer är uktioer på orme: C där C är e kostt. M r begräsigr tt om ite är eltl så gäller tt. Lösigsmetod: Börj med tt örmisk bort kosttet.e. divider både sidor med C Aväd poteslgr ör tt örmisk uttrcket så tt m br r e term som ieåller. Lös ut. E. ± b 9 c 8 / 8 Polomuktioer E polomuktio är e uktio som består v e eller ler potesuktioer, k ikluder C C, dvs. kosttterm. E llmä orm ser ut som:... Deiitioe v e uktio: vrje -värde ieåller edst ett -värde. Väde uktio: Om ökr så väerökr. < Avtgde uktio: Om ökr så vtrmiskr. < Någr deiitioer ör gre till e polomuktio: Loklt mimum E pukt med ett -värde som är större ä ll dr i e lokl omgivig.

3 Loklt miimum E pukt med ett -värde som är midre ä ll dr i e lokl omgivig. Tget E rk lije som delr e pukt med uktioe oc i de pukt r tget oc uktioe smm lutig. Tgete i e m oc miimum pukt är lltid vågrätt. Tersspukt E pukt vrs tget är vågrätt oc de är verke loklt mi eller m. De vligste polomuktioe är. E. Bestäm etrempukter oc vgör tp till 8 Lös: Kvdrtkompleter - är positivt ör ll oc det mist värdet det k bli är, då är. Etersom vi r ett positivt tl oc drr irå så är etrempukte e miimum pukt. Då För tt lös e polomekvtioer då k m t.e. väd kvdrtkompleterig eller pq-ormel E. Lös örst med kvdrtkompleterig oc de dr med pq-ormel., b, Rtioell uktioer Precis som rtioell tl som k skrivs på orme b där oc b är eltl så k rtioell uktioer skrivs som ett bråk v två polom: r g b b b E rtioell uktio k lös precis som ett vligt polom me m måste vr og med deiitiosmägde ör uktioe r, dvs uktioe är ite giltig ör ll. Fuktioe är ite giltig ör de där ämre g. Om m vill titt på ollställe ör e rtioell uktio så ger det smm ollställe som r med udtg ör de då g. r g g E. Hitt ollställe till öljde uktioer b,.,.

4 Derivt Deiitioe v derivt Börj med tt repeter rå Mtte B ur m år rm lutige ör e rät lije. M väljer ut två pukter, oc,. Lutige år m då geom: k lutige Om m u r e kurv till uktioe där m vill vet lutige i e pukt, så är det smm lutig som e tget i de pukte r. Hur k m då skriv ett uttrck ör de tgets lutig? Jo, m gör på smm sätt som ör e rät lije. M r pukte, oc väljer e pukt till,. lutige Om det är ett vståd mell pukter i -led så k m skriv om. lutige Y-pukter k m skriv som uktioer v eligt: lutige Nu kommer det svår! Om m u miskr vstådet kommer m tt komm ärmre pukte tget. Optimlt skulle m vilj vstådet mell pukter, me det är ite tillåtet ör då skulle ämre bli vilket de ite år vr. Istället tr m ett tl som ligger jätte är, m säger tt m tr ett tl som går mot. Mtemtisk väder m sig v uttrcket lim. lutige lim Så derivt i pukte skriver m: lim ' Rät lije. b Tget i e pukt vd vi vill. c Lutige i e pukt med miskde vståd.

5 Deriverigsregler För tt det sk bli lite eklre tt deriver olik uttrck k m t rm ågr ekl deriverigsregler. Först är summregel, om m r e uktio där uv så blir dess derivt: u v u v ' lim lim u u v v u u v v lim lim lim u' v' Det k också vr br tt titt derivt v e uktio som ieåller termer där epoete ite är ett eltl, t.e. rote ur tecket. Nu k det vr br tt väd potesregler. E. '. / E. Deriver öljde uttrck. b g g c rt t r t t t Avädig v derivt Vd är derivt? Titt på deiitioe, det egetlige elt vlig, med skillde tt m tittr på ett väldigt litet oc då brukr m skriv dt. Om m gör e eetsls ör ett eempel där m tittr på sträck [s]m som e uktio v tide [t]s. Derivt ger då: [ ds] [ dt] m m s stiget s Så derivt k vr e stiget. M k också säg tt de beskriver ur sträck örädrs med tide, derivt är e örädrig. Om m tittr på e kurv så är derivt e beskrivig ur kurv lutr. Kom iåg tt derivt i e pukt är smm som tgetes lutig i de pukte. Tecketbell Om m r e uktio oc vill vet ur de ser ut så k det vr br tt väd e tecketbell. Tgete till e etrempukt är lltid orisotell, dvs dess lutig är oll så

6 derivt i e etrempukt är oll. Dett väder m ör tt å rm etrempukter geom tt deriver si uktio oc sätt lik med oll. Receptet ör tt gör e tecke tbell är: Deriver uktioe Sätt derivt lik med oll Hitt etrempukter, geom tt lös ekvtioe. Räk rm derivt rut etrempukter. Positiv derivt väde uktio, egtiv derivt vtgde uktio. Age tp ör etrempukter m/mi/terrss pukt Beräk -värde till etrempukter. Störst oc mist värdet Derivt k lltså väds till tt i ett loklt mimum eller miimum. Me om m r e uktio där m tittr på ett visst itervll v, e begräsd deiitiosmägd, så måste ite etrempukter vr störst oc mist värde. Det är viktigt om m r e deiitiosmägd med st gräser eller ite. Hr ett mist värde me ite ett mist. b Hr både ett mist oc störst värde, där mimumet är det störst värdet.

7 Epoetiluktioe oc logritme Deiitioe Precis som si oc cos är två uktioe som beskriver ur stor viklr i e rätviklig trigel är i jämört med trigels sidor. Så beskriver uktioe lg ur m beskriver ett -värde i e gr till. M deiierr logritme geom öljde sätt. Om m tr e -värde så r de ett -värde. Om m u tr ett -värde så r de -värdet log. Om m u sätter dess två pukter till smm pukt så blir det: log log Deiitioe ov är ör bse, me m k egetlige väd vilke bs m vill. Om m väder bse e.78 väder m de turlig logritme l. Geometrisk summ Deiitio Allmä ormel ör :te elemetet i e geometrisk tlöld. k Geometrisk summ: s k k