vara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna

Transkript

1 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiitio (rigoometrisk serie Ett utryck v öljde orm [ cos( Ωx b si( Ω x är e trigoometrisk serie ] Amärkig: Först terme skriver vi som v prktisk skäl som vi örklrr ed Deiitio Låt (x vr e - periodisk uktio som är itegrerbr på itervllet [ /, /] Fourierserie ör (x är [ cos( x b si( x Ω Ω där Ω ] och Fourierkoeicieter och b ges v ormler ( x cosωx dx, b ( x si Ωx dx vå rågor dyker upp direkt eter deiitioe: För vilk x är Fourierserie koverget? Är series summ lik med (x i de pukter där serie kovergerr? Svret is i edståede kovergesstse v

2 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Deiitio 3 Vi säger tt e uktio (x är styckvis kotiuerlig på itervllet [,b] om öljde gäller: (x är kotiuerlig på [,b] örutom evetuellt i ädligt måg pukter Om c är e diskotiuitet i (,b då existerr västergräsvärdet lim ( x och högergräsvärdet lim ( x i de pukt (I ädpukte existerr högergräsvärdet och i x c b existerr västergräsvärdet v (x x c KONVERGENSSASEN ör Fourierserie Sts (h i Zill-Wright Låt (x vr e -periodisk uktio At tt både (x och (x kotiuerlig på [, ] och tt S ( x [ cos( Ωx b si( Ωx] är Fourierserie som hör till (x Då gäller öljde: är styckvis Fourierserie S (x kovergerr mot (x i vrje pukt där uktioe (x är kotiuerlig Om c är e diskotiuitet ör (x då kovergerr Fourierserie mot ( c ( c, där ( c lim ( x x c och c lim ( x ( x c Med dr ord gäller öljde (om villkore i stse är uppylld: S ( x ( x om (x är kotiuerlig i pukte x, ( c ( c S ( c om c är e diskotiuitet ör v

3 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Utvecklig v udd och jäm uktioer Om (t är e jäm uktio då är ( t si Ωt e udd uktio och därör är b ( t si Ωt dt ör ll I dett ll är ( t cosωt e jäm uktio och därör är ( t cosωt dt ( t cosωt dt Om (t är e udd uktio då är (smm resoemg som ov med b ( t si Ωt dt Smmttig ör utvecklig v udd och jäm uktioer: (t jäm ( t cosωt dt, b (t udd b ( t si Ωt dt, Amärkig: Hlvperiod betecks otst med L (ibld p som i Zill-Wright ÖVNINGAR: Uppgit Låt t, t < ( t, ( t ( t t, t < Låt S (t beteck Fourierserie till (t Rit gre till (t i itervllet [ 5, 5 ] och beräk ( 3 d S ( 3 b Bestäm Fourierserie till (t 3 v

4 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Lösig: ( 3, S ( 3 ( 3 ( 3 b, Ω, ( t dt ( t dt ( t dt ( t dt For we hve ( t cos Ωt dt ( t cos t dt ( t cos t dt ( t cos t dt (Prtil itegrtio cos cos 3 3cos 3 3( b ( t si Ωt dt ( t si t dt ( t si t dt ( t si t dt (Prtil itegrtio eller BEA v

5 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cos cos ( Svr b S 3 3( ( ( t cos( t b si( t cos( t si( t Uppgit Bestäm Fourierserie till öljde uktio med periode ( t t, t < ( t ( t b I vilk pukter kovergerr serie till (t? Lösig: Period, Ω E jäm uktio b ( t dt ( [ ] t dt t, ( t cos Ωt dt t cos t dt t cos t dt (BEA eller prtiellitegrtio [cost t si t] (( Alltså s( t (( (( cos( t 5 v

6 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Svr: s( t (( cos( t b Fuktioe är kotiuerlig och hr styckvis kotiuerlig derivt Därmed är ll krv ör kovergesstse uppylld Etersom (t är kotiuerlig i ll pukter så kovergerr serie mot (t ör ll t Alltså s ( t ( t ör ll t R Uppgit 3 Låt ( t t, t <, ( t ( t 9 i Bestäm (, b ( 3 c ( ii Bestäm Fourierserie s(t till uktioe (t iii Bestäm s ( b s (, s ( 3 5 Svr: i b c ii s( t ( si t iii Noter tt både uktioe och derivt är styckvis kotiuerlig (dvs vilkor ör kovergese är uppylld s ( ( etersom uktioe är kotiuerlig i pukte b Fuktioe är ite kotiuerlig i pukte, därör s( ( ( ( ( c s( 3 6 v

7 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Uppgit Låt ( t t, < t <, ( t ( t Bestäm Fourierserie ör (t b Bestäm summ Svr: S ( t (( cost eller cost cos3t cos5t t 3 5 S ( Substituer t i ovståede serie ( Svr: b 8 5 Uppgit 5 Låt ( t t, t <, ( t ( t Vis tt Fourierserie s(t till uktioe (t är s( t ( si t b Beräk summ S ips ör b-dele: substituer t i s( t ( si t Noter tt si(, si(, si( 3, si(, Svr: b 7 v

8 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Uppgit 6 Bestäm de Fourierserie till uktioe, t < ( t, ( t ( t 3t, t < Svr: S 3 ( t 3( 3 ( cost 3 ( si t Bestämig v Fourierserie ör e uktio som skiljer sig ör e kostt rå e udd eller e jäm uktio At tt ( x C g( x och tt vi hr bestämt Fourierserie S g (x ör uktioe g (x Då är uppebrt S ( x C S ( x, där S (x beteckr Fourierserie ör (x At tt vi k skriv g ( x C g( x, där g (x är e udd uktio Då sprr vi tid ( etersom vi beräkr edst e itegrl om vi örst bestämmer Fourierserie S g (x ör uktioe g(x och däreter dderr kostte C till resultt dvs om vi väder S ( x C S ( x g Uppgit 7 (KS 3 okt 6 Bestäm de Fourierserie till uktioe 8 v

9 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Lösig: Gre till S (x k vi kostruer geom tt periodisk utveckl (x Metod Vi ser tt uktioe är äst udd Om vi drr gre edåt ör ½ då blir gre symmetrisk i origo Med dr ord, om vi deiierr g ( x ( x då är 3/ om < x < g( x e udd uktio 3/ om x < Alltså utvecklr vi örst uktioe g (x och däreter dderr / [etersom g ( x ( x S ( x Sg ( x ] Här är lösige som is på ätet : 9 v

10 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Metod ör -dele: Vi beräkr direkt ll koeicieter Vi år självklrt smm svr som ov, me med mycket mer beräkig (kske 3- gåger lägre beräkigstid, Ω, ( x dx ( x dx dx dx For we hve ( x cos( Ωx dx ( x cos( x dx v

11 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cos( x dx cos( x dx si x si x b ( x si( Ωx dx ( x si x dx si( x dx si( x dx cosx cos x cos( cos( cos( (oter tt cos( cos( cos( 3 3cos( 3 3( Därmed hr vi S ( x cos( x b si( x 3 3( si( x (Självklrt smm resultt som med metod ov, me med lägre beräkigstid Svr S ( x b lösige is ov 3 3( si( x v