11.7 Kortversion av Kapitel INTEGRALBEGREPPET

Transkript

1 INTEGRALBEGREPPET Defiitio R är e obestämd itegrl. De beteckr e primitiv fuktio till f(x). Vi smmfttr skillder mell bestämd och obestämd itegrler: Obestämd itegrl: itegrle skr gräser. De represeterr e fuktio: e primitiv fuktio till f(x). Efter itegrtio hr vi e fuktio med smm vribel som itegrtiosvribel (se Kpitel 12). Bestämd itegrl: itegrle hr gräser. De represeterr ett tl: re uder grfe till f(x). Itegrtiosvribel fis ite kvr efter itegrtioe (se Kpitel 13). Itegrtiosmetoder är mycket lik för obestämd och bestämd itegrler. Metoder som utveckls i Kpitel 12 väds regelmässigt i Kpitel 13. Mtemtisk fortsättigr: Vi hr sett tt det räcker med xelprllell rektglr för tt defiier itergrlbegreppet. Det fis situtioer där triglr är effektivre. Vi kommer i Del 4 tt behdl differetilekvtioer. De represeterr ut tvivel de främst vädige v mtemtik för fysik och tekik. Vi k här (dock ite i de bok) exempevis beräk med mycket litet fel hur tempertur sprider sig i e oregelbudet formd kropp, eller hur vågor i ett membr som är ispät i e metlltråd sprider sig. Oft k dett ite beräks exkt, br hur oggrt m vill. Det betyder tt om m vill h mycket stor oggrhet så kommer körige på dtor tt t mycket låg tid. Me det är möjligt. M delr då i området i små delr, eklst är triglr. M söker då e trigulerig v området. Vi k då lös problemet på vrje trigel, och vi k välj mycket små triglr (hög oggrhet) i de delr v området vi vätr oss problem, och stor triglr i oproblemtisk område. Metode är flexibel och effektiv. Dett är två grudidéer i de s.k. fiit elemetmetode. Det är ett stort mtemtiskt forskigsområde med måg tekisk tillämpigr exempelvis i mekik och byggtekik. Måg v de mjukvrupket som löser prtiell differetilekvtioer väder fiit elemetmetode. F 11.7 Kortversio v Kpitel 11 Vi börjr tt defiier itegrlbegreppet för följde klss v ekl fuktioer. Defiitio 11.1 E fuktio f(x) som är defiierd på ett itervll [, b] är e styckevis kostt fuktio om det fis e idelig v itervllet i ädligt måg delitervll (x k 1,x k ),såttf(x) är kostt i smtlig delitervll. I idelige är = x 0 <x 1 <x 2 <...<x = b. Således: om x (x k 1,x k ) så f(x) =h k.

2 11.7 KORTVERSION AV KAPITEL Are uder e styckevis kostt fuktio är e smlig rektglr. Det motiverr följde defiitio. Defiitio 11.2 Atg tt f(x) är e styckevis kostt fuktio där = x 0 < x 1 <x 2 <...<x = b är ädpukter för delitervlle. Beteck fuktioes värde iitervll(x k 1,x k ) med h k. Då defiiers itegrle v f(x) som tlet h k (x k x k 1 ). Det betecks med R b. Vi hr således per defiitio = h k (x k x k 1 ). För styckevis kostt fuktioer är ed skillde mell re och itegrl tt ll reor är positiv, med itegrle v e re söder om x-xel räks egtivt. För itegrler v styckevis kostt fuktioer hr vi följde räkeregler. De följer ll geom tt jämför rektglrs reor på olik sätt. Sts 11.3 Atg tt f(x) och g(x) är två styckevis kostt fuktioer, båd defiierde på itervllet [, b], tg tt c är ett reellt tl, och tt d b. Då gäller c = c (f(x)+g(x))dx = = Z d (I1: lijritet 1) + d g(x)dx (I2: lijritet 2, horisotell uppdelig) g(x)dx om f(x) g(x) i x [, b] + (I3, mootoicitet) (I4, vertikl uppdelig) Atg u tt f(x) är e begräsd fuktio på itervllet [, b]. Fuktioe ö(x) är då e överfuktio till f(x) om ö(x) är e styckevis kostt fuktio och ö(x)

3 INTEGRALBEGREPPET f(x) gäller för ll x [, b].fuktioe u(x) är e uderfuktio till f(x), om u(x) är e styckevis kostt fuktio och u(x) f(x) för ll x [, b]. Eftersom vi käer itegrle v ö(x) och u(x) k vi defiier itegrerbrhet för f(x). Fuktioe f är itegrerbr om re uder dess grf k uppsktts uppifrå och uderifrå så tt skillde mell dess uppskttigr är hur lite som vi öskr (ε). Defiitio 11.4 Atg tt f(x) är e begräsd fuktio på itervllet [, b]. Då är f Riemitegrerbr om det för vrje ε > 0 fis styckevis kostt fuktioer ö(x) och u(x) så tt 1. u(x) f(x) ö(x) för ll x [, b], och 2. R b ö(x)dx R b u(x)dx < ε. Eligt xiomet om existese om e mist mjort följer då tt det fis edst ett tl λ som ligger mell ll udersummor och ll översummor: Sts 11.5 Om f(x) är itegrerbr så fis det edst ett tl λ så tt u(x)dx λ ö(x)dx gäller för ll uderfuktioer u(x) och överfuktioer ö(x) till f(x). Dett tl λ defiierr vi som R b. Me vilk fuktioer är itegrerbr, utöver de styckevis kostt? Sts 11.6 Vrje fuktio som är kotiuerlig på ett itervll [, b] är itegrerbr. Kotiuitete betyder tt vvikelse på ett itervll k görs hur lite som helst, geom tt t e fi idelig. Dett är kärpukte i beviset. E ågot större klss ä de kotiuerlig fuktioer är de styckevis kotiuerlig fuktioer. Det är fuktioer som är begräsde, hr ädligt måg diskotiuiteter, me är kotiuerlig i itervlle mell diskotiuiteter. Äve dess fuktioer är itegrerbr. Sts 11.7 itegrerbr. Vrje fuktio som är styckevis kotiuerlig på ett itervll [, b] är Smtlig räkeregler för styckevis kostt fuktioer i Sts 11.3 gäller för itegrerbr fuktioer. Frå dess räkeregler följer också = Z b.

4 11.7 KORTVERSION AV KAPITEL Således: om vi byter plts på gräser får vi ett teckebyte. Speciellt är R = 0. Vi k också härled tt f(x) dx Häräst defiierr vi Rie- gäller. De egeskp klls tt itegrtio är mooto. Hittills hr vi sysslt med över- och udersummor. msumm: Defiitio 11.8 Atg tt vi hr e idelig = x 0 <x 1 <x 2 <...<x = b och tl y k [x k 1,x k ] för ll k. Dåär e Riemsumm till f(x). f(y k )(x k x k 1 ) E Riemsumm är e uppskttig v värdet för e itegrl. E Riemsumm kovergerr lltid mot itegrle: Sts 11.9 Atg tt P f(y k)(x k x k 1 ) är e Riemsumm och tt f är itegrerbr. Då gäller f(y k )(x k x k 1 ) då mx(x k x k 1 ) 0. Det ritmetisk medelvärdet v två tl och b är +b 2. Medelvärdet v värde är. Vi k beräk medelvärdet v e fuktios värde med e itegrl: är Sts Medelvärdet m för e itegrerbr fuktio f(x) på ett itervll [, b] m = 1 b. Kärpukte i dett bevis är likhete f( + b )+f( +2b ) f(b) = f( + k b ) 1. Här hr vi ett ritmetiskt medelvärde till väster och e Riemsumm v f(x) till höger.

5 INTEGRALBEGREPPET Frå stse om mellliggde värde (Sts 7.31) och itegrles mootoicitet k vi vis tt om fuktioe är kotiuerlig måste medelvärdet ts ågosts i itervllet. Sts (Itegrlklkyles medelvärdessts) i [, b]. Då fis det ett tl ξ [, b] så tt Atg tt f(x) är kotiuerlig f(ξ) = 1 b. Vi defiierr e refuktio till f som e fuktio R x f(y)dy, och e primitiv fuktio som e fuktio F så tt F 0 (x) =f(x). Alyses huvudsts säger tt de två skiljer sig högst med vseede på e dditiv kostt. Sts (Alyses huvudsts) Atg tt f(x) är e kotiuerlig fuktio på itervllet [, b]. Betrkt refuktioe Då gäller tt F 0 (x) =f(x). F (x) = Z x f(y)dy. Alyses huvudsts beviss geom tt ställ upp F 0 (x) som ett gräsvärde eligt derivts defiitio. Med itegrtioes lijritet och Sts k beviset slutförs. Slutlige ger vi e versio v lyses huvudsts som vi väder är vi löser bestämd itegrler: Sts (Isättigsformel) Atg tt f(x) är kotiuerlig på itervllet [, b] och tt F (x) är e primitiv fuktio till f(x). Då gäller = F (b) F (). Således spelr det ite ågo roll vilke primitiv fuktio vi väder, ty evetuell kostter försvier vid isättige. Beteckige [F (x)] b är prktisk för F (b) F () vid beräkig v bestämd itegrler. Frå isättigsformel följer också smbdet Z x d f(y)dy = f(x). dx I Kpitel 12 kostruers metoder för tt fi primitiv fuktioer F (x) frå motsvrde deriverigsregler (Kpitel 8). I Kpitel 13 väder vi dess primitiv fuktioer smt Sts för tt beräk bestämd itegrler R b.