n i 0 i x x i för k 1, 2,, n i 1 Något om några Grundbegrepp och Mathematica q i 1 q q 2 q n 1 qn 1 x a a,b n n k k n k n i 0 1 q

Transkript

1 HH/ITE/BN Grudegrepp och Mthemtic Något om ågr Grudegrepp och Mthemtic Bertil Nilsso p q p, q, q 0 i0 q i q q q q q k k k i0 i i för k,,,, siπ 0 \ i i c c i i, 0

2 Grudegrepp och Mthemtic HH/ITE/BN Förord På följde sidor preseters e elemetär streetwise guide till lite grudegrepp och krumelurer som kommer flitigt till vädig lägre frm. Frmställige är fåordig, fri frå pedteri me i ågo meig fullstädig och ågot lite kryddd med Mthemtic. Det m väsetlige ehöver vet om egrepp, termiologi, eteckigr och teori för tt modeller och lös prolem i frmtid kurser och yrkesliv som igejör, turvetre eller lärre klrläggs och typisk eempel ges. Iledig Ämet Mtemtik skll idr till tt utveckl kuskper i mtemtik och e mtemtisk eredskp för vrdgsliv, yrkesliv och fortstt studier. De mtemtisk eredskpe ieär tt förstå egrepp och egreppslig smd, tt hter prolem och modeller, tt ehärsk procedurer och rutiuppgifter, tt kommuicer och rgumeter smt tt förstå mtemtikes relevs och historisk utvecklig. Kuskper i mtemtik är v stort värde för tt ku lyser, värder och t ställig i frågor som är viktig för ett ktivt deltgde i e demokrti. Kommuiktio med hjälp v mtemtikes symoler och dr represettioer är likrtd över hel världe och kuskper är därför äve itertioellt vädr. Mtemtike iehåller e omfttde och stil teori- och metodildig och är i städig utvecklig. De hr e flertuseårig histori med idrg frå måg kulturer och hr utvecklts såväl ur prktisk ehov som ur mäisks yfikehet och lust tt utforsk mtemtike som såd. Mtemtike är e mäsklig tkekostruktio som utvecklts i smspel med turveteskplig, tekisk och smhällelig tillämpigr. Sed läge är mtemtike ett v turveteskpes främst verktyg, me idg är de också viktig iom ekoomi och smhällsveteskp. Mtemtike får e väde etydelse för kommuiktio i vid meig och för hur vi orgiserr smhället iom kväsede, trsportsystem, stdsplerig och hdel. Äve de ildmässig världe som utvecklr imtioer, simulerigr och virtuell miljöer lir lltmer eroede v mtemtisk modeller. Udervisige i ämet Mtemtik skll för e igejör stärk krktärsäme, me också ge mtemtike e ire meig geom tt främj upptäckrglädje, kretivitet och logisk förmåg. Vår tids tillgåg till tekisk hjälpmedel som dtorer och grfritde och symolhterde räkre hr delvis förädrt udervisige i mtemtik. Numerisk, grfisk och lgerisk metoder k utyttjs i udervisige på ett sätt som tidigre vrit omöjligt och y typer v mer komple prolem k ehdls. Dymisk progrmvr k väds för tt fördjup egreppsförståelse och lyser prolemställigr. I udervisige skll y möjligheter till udersökde, eperimeterde, upptäckde och prolemhterde retssätt utyttjs, vilket också ställer y krv på omdöme och kritisk grskig v förutsättigr, metoder och resultt, smt idr till e smld mtemtisk eredskp grudd på fem förmågor. Förmåg tt förstå och väd mtemtikes egrepp är grudläggde. I förmåg igår också förståelse v egreppes iördes smd utifrå ett smspel mell teoretisk kuskper och olik mtemtisk ktiviteter där vritio i udervisige leder till fördjupd egreppsförståelse. Förmåg tt hter prolem och modeller skpr självtillit, meig och relevs. Förmåg ieär tt lyser prolem, välj lämplig lösigsmetod och geomför och värder lösigr, åde med och ut tekisk hjälpmedel. I förmåg igår också tt modeller prolemsitutioer, vkod och värder modeller, formuler eg prolem och väd de mtemtisk kretivitete iför utmde prolem. Förmåg tt väd procedurer och lös rutiuppgifter främjr säkerhet, precisio och effektivitet smt smspelr med prolemhterig och egreppsförståelse. Förmåg ieär tt väd olik procedurer på ett fleielt och omdömesgillt sätt, åde med och ut tekisk hjälpmedel. Förmåg tt kommuicer och rgumeter efäster egreppsförståelse och smverkr med mtemtikes logisk uppyggd. Dett ieär tt tolk och väd mtemtikes språklig uttryck, symoler och dr represettiosformer som grfer och digrm smt tt för mtemtisk resoemg i tl och skrift, rgumeter och geomför evis. Förmåg tt kyt mtemtike till omvärlde ger vidgt värde och relevs. Förmåg ieär tt se mtemtike i ett yrkesmässigt, smhälleligt och historiskt smmhg smt hur de smverkr med krktärsäme. Det historisk perspektivet idrr till tt idetifier det eg retet i udervisige med de svårigheter och frmgågr som mäsklighete tidigre hft iom mtemtike. Mägder E mägd är helt ekelt e smlig ojekt, syoymt rukr elemet, medlem eller pukt väds, som vligtvis hr e eller fler egeskper gemesmm. Mägdegreppet är mycket cetrlt i moder mtemtik och ifördes v tyske Georg Ctor (845-98) i slutet v 800-tlet. E mägd k vr mycket kokret som eempelvis mägde v ll ilr som står prkerde på e viss gt uder e viss tt eller ågo mer strkt mtemtisk kostruktio.

3 HH/ITE/BN Grudegrepp och Mthemtic 3 E mägd k precisers geom tt m skriver upp dess elemet iom krullpreteser, 4, 5 3, 4, 6, Mägder och är ädlig då de iehåller ett ädligt tl elemet med, som estår v ll jäm positiv heltl, är oädlig. I dett sere fll hr vi äve utyttjt som vi skulle ku ersätt med och så vidre. Dett skrivsätt sk turligtvis r väds då skde elemet ekelt k lists ut frå de övrig. Eempelvis är,, 3,, 00 mägde v de hudr först hel tle. Noter tt det ite spelr ågo roll i vilke ordig vi väljer tt ge elemete, ite heller om vi råkr upprep ett eller fler elemet. Sålud är eempelvis, 4, 54, 5,, 5, 4, 5,, Ild k m preciser e mägd geom tt ge e eller fler krkteristisk egeskper för dess elemet. Vi skriver då P är mägde v ll såd tt P. P, Q är mägde v ll såd tt P och Q. De mägd som ite iehåller ågr elemet kllr vi för tomm mägde och reserverr eteckige, det vill säg. För tt ku gör opertioer med mägder, mägdlger, är det fudmetlt tt elemete är etydigt eskriv så tt m k vgör om de tillhör e give mägd eller ej. Vi skriver om elemetet tillhör mägde eller igår i. om elemetet ite tillhör mägde. Om vrje elemet i mägde också är elemet i mägde säger vi tt är e delmägd v och skriver eller. Det sist utläses som iesluter eller omfttr. Självklrt är vrje mägd e delmägd v sig själv, för ll mägder. Det är lik klrt, tt om och så är och smm mägd, vi hr likhet och skriver.då likhet ite råder skriver vi istället.omoch skriver vi och säger tt är e äkt delmägd v. Speciellt hr vi tt tomm mägde är delmägd v vrje mägd, eller kortre. Uioe eller föreigsmägde v två mägder och etecks och estår v de mägd vrs elemet tillhör mist e v och. Alogt k m ild uioe v v giv mägder,,, i i och defiiers som de mägd vrs elemet är medlemmr i mist e v de giv mägder i. Uio Sittet eller skärige mell två mägder och etecks och defiiers som de mägd vrs elemet tillhör åde och, det vill säg,. Nturligtvis k sittet vr tomt. M säger då tt och utesluter vrdr eller tt de är disjukt.om,,, är mägder så defiiers sittmägde i i som de mägd vrs elemet tillhör ll mägder i, eller mer formellt i i k för k,,,. Sitt Differese \ estår v de elemet som tillhör me ite. Formellt \,. \ Differes \

4 4 Grudegrepp och Mthemtic HH/ITE/BN Oft är ll de mägder, som m studerr i ett visst smmhg, delmägder i e viss turlig grudmägd. Vi kllr då \ för komplemetet till med vseede på och skriver c. c \ Komplemet c \ Produktmägde defiiers som mägde v ll ordde pr, där och. Eempelvis hr vi som mägde v ll ordde pr, y som är pukter i vårt vlig y-pl. På motsvrde sätt k vi utvidg för fler mägder. Eempel: I figure ser vi eempelvis tt, 4, 0, 7, 5 5, 3, 0, 0, 9 4,, 0, 4, 7, 5, 0, 0, 3, 9 5, 0 \, 4, 7 \0, 3, 9 \ \, 4, 7, 0, 3, 9 4, Mthemtic ligger är med med krullpreteser och si fuktiosm. Noter speciellt tt Mthemtic tr chse tt sorter elemete vid uio, sitt, 4, 5, 7, 0; 5, 0, 0, 3, 9; Uio, 3, 0,, 4, 5, 7, 9, 0 Itersectio, 5, 0 Complemet,, 4, 7 MemerQ, 9 Flse Tlsystem Vi erirr om de olik tlsysteme 0,,, 3,, 3,,, 0,,, 3, p q De turlig tle. De hel tle. p, q, q 0 De rtioell tle. Med klrr m v tt dder och multiplicer me äve i egräsd omfttig sutrktio såvid m ite ehöver hter egrepp som h skuld eller stå på mius, till dett krävs. Så här lågt klrr m också i mycket egräsd omfttig divisio, r de går jämt upp. Me tt del 7 i 5 lik stor delr kräver. Nu tycker m tt det räcker för tt få tlel tät, m k ju succesivt fyll ige mell två pukter i med medelvärdet v dem, och så vidre i ll evighet. Me, det visr sig tt det kommer lltid tt fis oädligt med tl som ite går tt skriv som ett rtioellt tl, eempelvis lägde v digole i e kvdrt med sid ett. Vi ehöver lägg till de irrtioell tle, och då hr vi e tät tlel! De irrtioell tle är lltså oumärlig, åtmistoe iom mtemtisk lys. De ges oftst med e symol. Vi käer ige Π, (turlig se) och som vlig eempel på irrtioell tl. Efter tillägg v dess får vi ett komplett tlsystem som omfttr ll de ov giv och klls för de reell tle och vi hr.

5 HH/ITE/BN Grudegrepp och Mthemtic 5 Att verklige tätr till tlel är ite självklrt, dett visdes v Richrd Dedekid (83-96). De reell tle rukr represeters geometrisk på e lije, klld reell tlel. 0 3 Π 4 Eftersom de irrtioell tle ite iehåller ågo iformtio om storleke v tlet måste m h möjlighet tt erjud e pproimtio. I prktike går dett utmärkt eftersom m k stäg i ett irrtioellt tl godtyckligt oggrt med tl som ligger i, som tur är för e prktiskt retde igejör eftersom det med stor säkerhet frmkllr e viss muterhet tt komm till ygghdel och fråg efter e plk som är m låg! Approimtioer rukr ges med decimltl, eempelvis.44 och Π Oft preseters äve rtioell tl på decimlform geom tt helt ekelt utför divisioe p. Skillde dem emell q visr sig då i det tt de rtioell tle hr e ädlig eller periodisk decimlutvecklig, eempelvis , med dett sks hos ett irrtioellt tl. Eempel: För tt eräk, det vill säg lös ekvtioe, rukr dtorer väd i i i, i 0,,, för tt med givet 0 geerer e tlföljd med llt ättre ärmevärde till. Dett klls itertio (upprepig). Försök tt list ut vrför medelvärdet är ett ättre ärmevärde till ä åde i och Uder tide låter vi Mthemtic prov receptet på i.4, med strt i 0.0. NestList &,.0, 4.,.5,.4667,.44,.44 Eempel: Vilket rtioellt tl hr decimlutvecklige ? Lösig: Låt Eftersom hr periodicitete efter först decimle ildr vi Så småigom visr det sig tt i viss smmhg duger ite riktigt till heller ut m hr fått itroducer de komple tle. Vi återkommer till dess. Pilr Uppyggde v e mtemtisk teori och för ll del prolemlösig sker med hjälp v logisk resoemg. För tt förtydlig och kort er tetmss väds oft impliktiospilr, och ekvivlespil. Dess pilr väds för tt uttryck smd mell utsgor eller påståede. A B eller B A Betyder tt om utsg A är s så är äve B s. Ild säger m tt A är ett tillräckligt villkor för B och tt B är ett ödvädigt villkor för A. Eller A gäller edst om B. A B Ieär tt åde A B och A B gäller. A och B är ekvivlet. A är ett ödvädigt och tillräckligt villkor för B. Eempel: Utsg Mi il är svrt k dels upp i utsgor A = mi il och B = ile är svrt. Då gäller upperlige A B me kppst A B eftersom det skulle medför tt jg är ägre till ll svrt ilr!

6 6 Grudegrepp och Mthemtic HH/ITE/BN Kvtifiktorer Det fis två så kllde kvtifiktorer som väds för tt uttryck utsgor v logisk/mtemtisk krktär. Eempel: siπ 0 eller si0. Allkvtifiktor Utläses för vrje. Eisteskvtifiktor Utläses det fis. Fält och ordigsiom Mtemtik är till si tur llmägiltig. Det först steget för tt uppå llmä resultt är tt läm sifferräkig och övergå till räkig med symoler, vligtvis okstäver, som får stå för icke preciserde tl eller ågo storhet. Vi kllr dett lgerisk räkig. Aiom, eller odiskutl sigr, klls själv grudvlr i mtemtik. Aritmetike vilr tugt på tt det fis två opertioer dditio och multipliktio så tt det för ll pr, y fis summ y och produkte y som är etydigt estämd v och y, och som för, y, z uppfyller y y, y y kommuttiv lge y z yz, yzy z ssocitiv lge y zy z distriutiv lge Lek med likheter hr också fått m refleivitet, y y symmetri, y och y z z trsitivitet Vidre förutsätter vi tt det eisterr e reltio som k vgör ordige mell reell tl. Vi kllr dem olikheter 0 är positivt yså tt yy. Ars 0 eller egtivt. y etyder y eller y. y etyder tt är strägt midre ä y eller tt y är större ä. y, y defiiers på motsvrde sätt. Så y 0 eller y är ett positivt tl. Ekt e v, och gäller i vrje eskilt fll. För, y, z gäller y och y z z y z y z y och z 0 z yz y och z 0 z yz y y trsitivitet OBS multipliktio med ett egtivt tl väder olikhete Nturligtvis gäller motsvrde för, och. Med de tidigre preseterde reell tlel får dess olikheter e ituitiv geometrisk ieörd. Då 3 5 säger m oft tt 3 ligger till väster om 5. De viktigste kosekveser vid råkräkig är, c c c, c c c, c d dc, d, c d d c Geom tt väd iehållet i de gul rutor ov k m systemtiskt omform lgerisk uttryck till öskd form. Dett är mycket viktigt tt ehärsk. M tlr om tt multiplicer ihop, fktoriser eller ryt ut. Vd som är de eklste forme på ett uttryck är ite etydigt, det eror på vd m sk h det till. Mthemtic hr e mägd fuktioer till hjälp, förutom det som görs direkt v Mthemtic själv i de estämmer sig för tt preseter ett resultt. Det hel är e fråg om prestd. Mthemtic gör lgom mycket utomtiskt. Det kske ite är så värdefullt tt h ett syggt lgeriskt uttryck om m ädå r hr täkt sig tt sätt i umerisk värde. M sk vet tt förekl ett givet uttryck k vr e mycket tidskrävde uppgift. y y y y y y y y y y y y Mthemtic tycker det verkr joigt och gör iget

7 HH/ITE/BN Grudegrepp och Mthemtic 7 Simplify y y y y y y y utom då vi er om det Fctor 3 Simplify Epd Aprt z z 3 4 z 3 4 z Itervll De del v reell tlel som svrr mot ll (oädligt måg) tl mell och med klls för ett itervll. Tle och klls för itervllets ädpukter och eroede på om dess ikluders i itervllet eller ej klls itervllet för slutet eller kompkt, vilket ges med hkpretes, respektive öppet som ges med rud pretes. Komitioe klls hlvöppet eller hlvslutet. Situtioe rukr åskådliggjörs på reell tlel med e för öpp sid och för de slut. Sålud Öppet, är ll reell så tt, det vill säg z z Slutet, är ll reell så tt, det vill säg z z Hlvöppet, är ll reell så tt, det vill säg z z Hlvöppet, är ll reell så tt, det vill säg z z Dess itervll klls ädlig. Det fis också motsvrde oädlig öpp och hlvöpp som r hr e ädpukt, eempelvis, och,. Oädlighetsymole som ite är ågot reellt tl represeterr just tt det ite fis ågo gräs åt dett håll. De sid måste lltid vr öppe. M k lltså ite räk med. Oft skriver m,. Summor För tt förekl uppskrivdet v summor väds summsymole. Dess fuktio är mycket ekel i k k ik vilket utläses summ i då i går frå k till. Här klls i summtioside med k som udre gräs och som övre gräs. M k se i som ett fuktiosuttryck i vilket m succesivt sätter i i k, k,, och slutlige dderr ll termer. Nturligtvis k m väd vilk eteckigr m vill och juster gräser efter ehg. Eempelvis är i p m j i p m0 j Eftersom det hdlr om ädlig dditio gäller turligtvis ekl lgr som ik där c är e kostt som ite eror v i. i i ik i ik i och ik c i c ik i

8 8 Grudegrepp och Mthemtic HH/ITE/BN Eempel: Vi tr ågr ekl eempel i , i i i , k 4 k k Mthemtic är mycket lättväd. Hel pketet med krumelurer och rutor tt fyll i hämts frå plette. 5 i i i i k k k Aritmetisk summ käetecks v tt skillde mell två på vrdr följde tl är kostt. Om de skilld är d hr vi i d i0 0 d 0 d 0 d 3 Så prototype v e ritmetisk summ är A i i 3. Eftersom ll ritmetisk summor k härleds ed till de är det lämpligt tt vi söker ett slutet uttryck för de. Lägg smm A med sig själv fst i omväd ordig!! Eftersom vi hr termer lir så A vrv A 3 A A De ritmetisk (prototyp)summ i i 3 På motsvrde sätt hr vi de geometrisk summ som käetecks v tt kvote mell två på vrdr följde tl är kostt. Om de kvot är q hr vi gi g 0 g g g 0 g 0 q i0 g g 0 q g 0 q g g g 0 q q q g 0 q i i0 Så prototype v e geometrisk summ är G i0 q i q q q. Eftersom ll geometrisk summor k härleds ed till de är det lämpligt tt vi söker ett slutet uttryck för de. Bild skillde G qg!! Så till slut G q q vrv G q q q q qg q q q q q G qg q De geometrisk (prototyp)summ i0 q i q q q q termer kvotetlet q kvote

9 HH/ITE/BN Grudegrepp och Mthemtic 9 Kvdrerigsregler och kojugtregel Geom tt utveckl och hr vi de viktig Kvdrerigsregler Kojugtregel För högre poteser hr vi iomilstse k0 k k k, där klls m-fkultet och eräks för m eligt m mm då m 0 och 0. k klls iomilkoefficieter och m k k Kvdrerigregler och kojugtregel kommer till vädig i tid och otid och sk käs ige åde frm- och kläges! Oft ehöver m gör kvdrtkompletterig, vilket som met tyder ieär tt kompletter ett uttryck så tt delr v det k skrivs som e kvdrt. M säger också tt m fktoriserr dess delr. Vi tr två eempel Eempel: Att kvdrtkompletter ieär tt m seglr på högr ledet i kvdrerigsregler och succesivt försöker omform sitt giv uttryck så tt e del v det får de öskde forme. Det är de kvdrtisk och lijär terme som tilldrr sig itresset, kostter häger r med. Häg mé 3 Låt och mek om till e : frmför de lijär terme. 3 Tydlige är 3, lägg till och dr ifrå Kä ige kvdrerigsregel Hyfs till Färdig å e gåg till Tydlige Låt och fi till e : frmför de kvdrtisk terme. Jo vidre i pretese och mek om till e : frmför de lijär terme. är 7 8, lägg till och dr ifrå i pretese. Kä ige kvdrerigsregel Hyfs Färdig E typisk vädig för kvdrtkompletterig är då m glömt formel för tt lös e drgrdsekvtio. Vi får res vilket är rötter eller ollställe till de giv drgrdsekvtioe. M säger ild tt lösigsmägde är,. Adrgrdsekvtioe 0 hr rötter,. Eempel: Lös drgrdsekvtioe 3 0. Lösigsförslg: Håll og koll på ll tecke, väd (), så får vi, 3. I först ledet sätter vi r i koefficieter med tecke och i det dr räkr och föreklr vi. Gör ite åd smtidigt!! Rötter är lltså 3 och. Vilke m väljer som eller vilke spelr turligtvis ige roll. För tt lös e stor klss v ekvtioer väds fuktioe Solve i Mthemtic. Lägg märke till två likhetstecke,, eftersom det är e ekvtio!

10 0 Grudegrepp och Mthemtic HH/ITE/BN Solve 3 0, 3 Solve , 9 4 När det ite går tt list ut vd vid vill lös ut måste vi tl om dett för Mthemtic. Här de välkäd pq-formel. Solve pq 0, p 4 q p, p 4 q p T för v tt lltid lös ut lik måg oekt som det är ekvtioer. Det är r tt sml i listor är m vill h ågot gjort för fler sker. Solve ky 5, 4 y 6,, y Simplify 3 k 5 k, y 7 k Lite om mtemtisk teori Mtemtikes formell struktur estår v edst tre kompoeter: defiitioer, stser och evis. De är mtemtikes yggster. Aiom är e sorts gruddefiitio, odiskutel sig. Terme rukr väds för de ursprugligste defiitioer, de som ite hävisr till dr defiitioer. M tlr också om lemmor (grekisk för hjälpsts) vilk är vlige stser v lite midre etydelse, eller påståede som är viktig steg för tt evis e sts. Både stser och lemmor är mtemtisk påståede som är särskilt viktig jämfört med dr påståede. Stser är oft de resultt som väds utför det specifik området. Det är lltså egetlige gsk mycket e fråg om tycke och smk och trditio vd som är så viktigt tt det ör utäms till e sts. De tre yggsters roller är: Defiitioer tlr om vd egreppe etyder på mtemtisk, oftst i termer v tidigre egrepp. Att gör de rätt defiitioer kräver låg erfrehet, god mtemtisk överlick och e rejäl käsl för vd m vill åstdkomm. M k säg tt mtemtiker är e sorts desiger v teori. Stser tlr om hur egrepp häger ihop: om vi tr ågot (förutsättig), så vet vi också ågot t (slutsts). Med defiitioer uppfis k m säg tt stser upptäcks. Bevise är rgumettioer som lämr utom llt tvivel tt stser är s. I evise väder m oft defiitioer kläges - m går oft tillk till tidigre defiitioer och retr med dess. Att evis ågot som hittills är oevist etyder tt hitt e kedj v omskrivigr som år frm till målet, så tt vrje steg i kedj är otstligt. Dett k mycket väl eskrivs som e (metl) ergsestigig. K vi fi ågo väg upp till de högst toppe? Vilke väg sk vi försök t? I örj rukr ll täkr vägr se ofrmkomlig ut. E väg är för rt, e för isig, e tredje ligger uder städig hård vid. I mtemtike, liksom vid ergsklättrig, visr det sig oft tt ågo sorts komitio v de olik vägr leder till målet. Frmgågsvägr är oft komitioer v olik delr v misslyckde försök. Studier och forskig i mtemtik är orieterig i e högst vrierde metl terräg. Oft hdlr det om ett svåröverlickrt ldskp som iehåller måg överrskigr. Prolem som är srlik k vr v mycket olik svårighetsgrd. Betrkt prolemet Hr c ågo lösig med positiv heltl, och c för heltl?. För är svret oädligt måg, vilket viss lätt. För 3 är svret ej. Dett sere fll hr trotst mtemtikers strägigr i över 350 år. Det är Fermts stor sts, som evisdes v Adrew Wiles 995. Dett evis är mycket lågt och kräver e hel driv med moder vcerd teori. Vi sk ge ågr eempel på evis v stser eller lite midre språkslös påståede. Sts: Om och är icke-egtiv tl så gäller för det ritmetisk medelvärdet. och det geometrisk medelvärdet tt Bevis: Eftersom och är icke-egtiv k vi ild och och utyttj tt kvdrte på ett reellt tl är icke-egtivt 0 0. Färdig! Först olikhete visr tt vi hr likhet edst då.

11 HH/ITE/BN Grudegrepp och Mthemtic Påståede: Kvdrte på ett jämt tl är jämt och kvdrte på ett udd tl är udd. Bevis: Eftersom ett jämt tl k skrivs k för ågot k får vi k 4k k m för ågot m. Alltså gäller först dele v påståedet. Nu över till ett udd tl som k skrivs k för ågot k. Vi får k 4k k k km för ågot m. Alltså gäller äve dr dele v påståedet och vi är färdig. Påståedet i e sts hdlr ite lltid om e likhet eller reltio. Ild uttlr stse tt ett visst mtemtiskt ojekt hr e estämd egeskp. Det k då häd tt eviset är v det slg som m kllr idirekt evis eller ett motsägelseevis. M visr därvid tt om ojektet ite hr de giv egeskpe så lir kosekvese e motsägelse. Av dett drr m slutstse tt egeskpe i fråg fktiskt måste föreligg. Vi skll väd dett på e klssisk prolemställig, som ekymrde grekisk mtemtiker red på 400-tlet f.kr. Fråg k med moder termiologi ställs så här: om är mätetlet för digole i e kvdrt med sid, är då ett rtioellt tl? Eligt Pytgors' sts gäller tt. Fråg är därför huruvid är ett rtioellt tl eller ite. Att vis tt ett tl är irrtioellt eller ej juder oft på rejält motståd me i dett speciell fll är det tämlige ekelt och svret ges v följde påståede. Påståede: Tlet är irrtioellt. Bevis: Atg tt vore ett rtioellt tl. Det skulle då h forme p q där p och q är hel tl och q 0. Vi k dessutom förutsätt tt råket p q är förkortt så lågt det går, det vill säg tt p och q skr gemesmm fktorer förutom. Geom kvdrerig erhålles p q p q q p Dett visr tt p är ett jämt tl. Eftersom kvdrte på ett udd tl lltid är udd måste därför äve p vr ett jämt tl. Det hr lltså forme p för ågot heltl. Sätter vi i dett får vi tt q q 4 q Me här vläser vi som ov tt q är jämt och därmed äve q jämt. Då u åde p och q är jäm hr de de gemesmm fktor. Dett strider mot vårt tgde tt p är fullstädigt förkortt. Vi hr fått e motsägelse. Alltså k ite vr ett rtioellt tl, q med dr ord är irrtioellt och eviset är klrt! Påståede: Vis tt 9 8 är delrt med 64 för vrje heltl,, 3,. Bevis: I vi går igåg på llvr stärker vi oss med e umerisk prövig., 9 8. Rge Ser ju lovde ut me som evis räcker det ite med tt prov ldrig så måg. För de typ v påståede är ågot sk viss för,, är det vligt tt gör ett så kllt iduktiosevis. Jämför domiorickor Fller de först, fller ll! eller Det orde vr förjudet tt ret dg efter ledig dg! Beviset geomförs i 3 steg.. Vis först tt påståedet är st för det först :et i följde. Alltså vilket är delrt med 64.. Vis sed tt om det är st för så är det st äve för. Vi får 9 8 Poteslg Hyfs Om 9 8 delrt med 64, så k så tt k. 64k Hyfs 64k k Vilket upperlige är delrt med Så påståedet är st för ll. Färdig 3 3 +