Cartesisk produkt. Multiplikationsprincipen Ï Ï Ï

Transkript

1 Kombiatorik Kombiatorik hadlar oftast om att räka hur måga arragemag det fis av e viss typ. Sådaa kalkyler uderlättas om ma ka hitta relevata represetatioer av de ibladade arragemage ågot som illustreras edaför. Cartesisk produkt Ett ordat par Hx, yl är ett ekelt exempel på ett arragemag. Hur måga sådaa par det fis, givet att ma vet hur måga x respektive y det fis att välja mella? Svaret kommer sart. Först e defiitio Med de Cartesiska produkte A äa mella två mägder A, A avses mägde 8Ha, a L» a œ A, a œ A <. På motsvarade sätt defiieras e Cartesisk produkt mella godtyckligt måga mägder: A ääa = 8Ha,, a L» a œ A,, a œ A <. Det kaske mest käda exemplet på e Cartesisk produkt är! ä! (kortotatio! ). Elemete i dea produkt aväds som bekat för att beskriva plaets pukter med Cartesiska koordiater. Exemplet ger oss e förklarig till de första dele i amet Cartesisk produkt. Vi återkommer sart till e förklarig av de adra dele. Betrakta först e ekel illustratio med två ädliga mägder. De tolv spelkorte av type kekt, dam eller kug i "färgera" hjärter, klöver, ruter eller spader represeteras av 80,, < µ 8,, Ï, <, dvs av 8 H0, L, H0, L, H0, ÏL, H0, L, H, L, H, L, H, ÏL, H, L, H, L, H, L, H, ÏL, H, L< som i si tur represeteras grafiskt i två olika bilder edaför. Ï 0 0 Ï Ï Ï 80,, < µ 8,, Ï, <:s elemet dyker upp som puktbeskrivigar i det rektagulära puktmöstret och som vägbeskrivigar i trädet. Multiplikatiospricipe Puktbeskrivige fugerar som e förklarigsmodell för de adra dele i amet Cartesisk produkt: Atalet pukter i det rektagulära puktmöstret beräkas ju geom att multiplicera atalet pukter i rektagels ea sida med motsvarade atal i de adra sida, ågot som torde övertyga varje läsare om saigshalte i formel A äa = A ÿ A. Motsvarade resultat gäller äve för lägre Cartesiska produkter: A ääa = A ÿ ÿ A. De teoretiskt itresserade ombedes fudera över hur () ka bevisas för ett godtyckligt heltal >. () formuleras ofta på följade midre kompakta sätt: Kombiatorik Multiplikatiospricipe Om elemete a,, a ka väljas på k,, k sätt, så ka Ha,, a L väljas på k ÿ ÿ k sätt. Multiplikatiospricipe är emellertid ite ebart e omformulerig av (). Meda () uttalar sig ebart om Cartesiska produkter, så är ämlige ämda pricip tillämplig på alla arragemag som ka represeteras av vägbeskrivigar i träd där förgreigar på samma ivå är lika stora. Som exempel på arragemag av ämda slag som ite ka represeteras av e Cartesisk produkt, betrakta s.k. teckesträgar av lägd 4, som likt b a c och a c b 0, slutar på 0 eller och där de tre iledade positioera upptas av olika tecke ur 8a, b, c<. a b c b c c a a b c b a c b a De tolv vägara i ovaståede träd represeterar dessa strägar, så atalet strägar ifråga är lika med. Med multiplikatiospricipe som tillhygge, ka vi förstås äve beräka atalet strägar: Första tecket ka väljas på tre sätt, det adra på två sätt (Vi måste udvika det tecke som ()

2 3 Kombiatorik tillhygge, ka vi förstås äve beräka atalet strägar: Första tecket ka väljas på tre sätt, det adra på två sätt (Vi måste udvika det tecke som valdes yss.), det tredje tecket på exakt ett sätt, och det avslutade tecket på två sätt. Atalet strägar blir därför lika med 3 ÿ ÿ ÿ, dvs. Låt oss avsluta första avsittet med ågra ekla tillämpigar. EXEMPEL Hur måga tresiffriga tal fis det i tio-systemet, som ite är delbara med 5? Am. Vi tillåter ite tresiffriga tal att börja med 0. LÖSNING De tresiffriga tale ifråga ka represeteras av A äa äa 3 där A = 8,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9<, A = 80,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9< och A 3 = 8,, 3, 4, 6, 7, 8, 9<. Det följer av () att det sökta atalet är lika med A ÿ A ÿ A 3 = 9 ÿ 0 ÿ 8 = 70. EXEMPEL Betrakta alla teckesträgar av lägd k som sakar förekomst av två lika tecke i följd. (T.ex. är abba förbjude.) Hur måga tillåta strägar fis det om varje tecke väljs frå ett alfabet med olika tecke? LÖSNING Det första tecket ka väljas på sätt, det adra på - sätt. (Det gäller ju bara att udvika det tecke som valdes på föregåede positio.) Samma sak gäller för de återståede positioera. Det sökta atalet strägar blir därför ÿ H - L k-. EXEMPEL 3 Betrakta alla teckesträgar av lägd k som sakar förekomst av två lika tecke. (T.ex. är abca förbjude.) Hur måga tillåta strägar fis det om tecke tas (på samma sätt som i förra exemplet) frå ett alfabet med olika tecke? LÖSNING Det första tecket ka väljas på sätt. Och det adra på - sätt. (Det gäller ju bara att udvika det tecke som valdes på föregåede positio.) Det tredje ka väljas på - sätt. (Vi måste udvika de två tecke som valdes på de första två platsera.) Osv Det k:te tecket ka väljas på - Hk - L sätt. Sökta atalet blir ÿ H - L ÿ H - L ÿ ÿ H - Hk - LL. Fallade potes och fakultet Notera att ÿ H - L ÿ H - L ÿ ÿ H - Hk - LL är e produkt av k stycke faktorer där varje faktor till höger om de iledade faktor är e ehet lägre ä ärmast föregåede faktor. Ma brukar kalla produkte ifråga för e fallade potes och betecka de k. T.ex. är 8 3 = 8 ÿ 7 ÿ 6. De fallade potese = ÿ H - L ÿ ÿ har fått de ega beteckige! som uttalas -fakultet. Permutatioer E permutatio av e ädlig mägd är e uppräkig av mägdes elemet i e viss ordigsföljd. EXEMPEL 4 Här är alla (sex) permutatioer av 8,, 3<: H,, 3L, H, 3, L, H,, 3L, H, 3, L, H3,, L, H3,, L Atalet permutatioer SATS Om X =, så är atalet permutatioer av X lika med!. Kombiatorik 4 BEVIS: Varje permutatio av X är e -tupel Hx, x,, x L där elemete x, x,, x œ X. x ka väljas på sätt. Ty här har vi alla elemet att välja blad. x ka väljas på - sätt. Nu fis det ämlige bara - elemet kvar att välja blad. Osv När x står på tur fis det bara elemet kvar att välja. Atalet permutatioer är därför ÿ H - L ÿ ÿ. EXEMPEL 5 HULK Hur måga teckesträgar ka ma bilda geom att kasta om bokstävera i HULK? LÖSNING Varje teckesträg av omämt slag är e permutatio av de fyra bokstävera i HULK. Det följer att sökta atalet är 4! = 4 ÿ 3 ÿ ÿ = 4.

3 5 Kombiatorik Kombiatorik 6 EXEMPEL 6 HULL Hur måga teckesträgar ka ma bilda geom att kasta om bokstävera i HULL? LÖSNING Betrakta först bokstävera i HUL L. De ka permuteras på 4! sätt. Varje såda permutatio har e tvilligpermutatio som skiljer sig frå de förra ebart geom att de två L:e är omkastade. Härav följer att svaret på de giva fråga är 4! =. EXEMPEL 7 MAHNAHMAHNA Hur måga teckesträgar ka ma bilda geom att kasta om bokstävera i MAHNAHMAHNA? T.ex. är MAHNAHMAHNA och MANNHAHAHAM två sådaa strägar. LÖSNING Notera först att detta exempel är av samma typ som det förra. Rimligtvis fis det därför ågot ekelt sambad mella atalet strägar som ka bildas ur MAHNAHMAHNA och atalet strägar som ka bildas ur M A H N A H M A 3 H 3 N A 4. Atalet strägar av det seare slaget är förstås lika med!. Me vi ska se att det också är lika med x ÿ! ÿ 4! ÿ 3! ÿ!, om x atas betecka atalet strägar av det förstämda slaget. Detta förklaras kaske eklast med hjälp av trädet edaför vars vägar represeterar strägara som ka bildas ur M A H N A H M A 3 H 3 N A 4. De översta vägstumpara represeterar de x strägar w som det eligt atagadet går att bilda ur MAHNAHMAHNA. De efterföljade förgreigara represeterar för varje w permutatioer av de två M:e, de fyra A:a, de tre H:a. och de två N:e. Det följer att x ÿ! ÿ 4! ÿ 3! ÿ! =!. Härav, x = Permutera de två M:e Permutera de fyra A:a Permutera de tre H:a Tag w! = !ÿ4!ÿ3!ÿ! Biomialtal När e potes Hz + L av ett biom expaderas (utvecklas) får ma Hz + L 0 Hz + L z + Hz + L z + z + Hz + L 3 z z + 3 z + Hz + L 4 z z z + 4 z + Hz + L 5 z z z z + 5 z + Hz + L 6 z z z z z + 6 z + Hz + L 7 z z 6 + z z z 3 + z + 7 z + De resulterade s.k. biomialutveckligara har koefficieter kallas biomialtal som iehåller kombiatorisk iformatio. Avsitte edaför kommer att avslöja e del av detta. Pascals triagel Om ma i presetatioe av de expaderade biome ovaför skalar bort allt utom biomialtale framträder ett triagulärt möster som kallas Pascals triagel (efter Blaise Pascal 63 66) Måga itressata tal och möster dyker upp i Pascals triagel Permutera de två N:e

4 7 Kombiatorik Kombiatorik 8 Triageltale Fiboaccitale Ser du dem ite? Summera elemete lägs varje pildiagoal! Summeras istället elemete lägs varje rad får ma tvåpotesera Om varje jämt biomialtal bytes ut mot 0 och varje udda mot, träder ett itressat möster fram Kombiatioer Iom kombiatorike aväds ordet kombiatio syoymt med ordet delmägd. Och att kombiera k elemet ur e mägd med elemet betyder "att bilda e k-delmägd (e delmägd av storlek k) med hjälp av elemet frå e mägd av storlek " ma brukar också säga "att välja k elemet av elemet". Här får du åt att fudera över: Hur måga sätt fis det att välja tre av fem elemet? Svaret fis ågra stycke edaför. välj k Låt k betecka atalet sätt att välja k elemet av. Uttalas välj k eller över k. Amärkig Eftersom k stycke elemet valda ur X = 8,,, < bildar e k-delmägd av X, så är k lika med atalet k-delmägder av X. EXEMPEL 8 Här är samtliga 3-delmägder av 8,, 3, 4, 5<: {,, 3}, {,, 4}, {,, 5}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 4, 5}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 4, 5}, {3, 4, 5} De är 0 st. Således är K 5 3 O = 0.

5 9 Kombiatorik Några ekla idetiteter K 0 O = K O = BEVIS Det fis exakt e 0-delmägd av X = 8,,, <, ämlige de tomma mägde, och exakt e -delmägd, ämlige X själv. k = - k BEVIS Det fis lika måga k-delmägder av X = 8,,, < som det fis H - kl-delmägder. Varför? Jo, till varje delmägd (av X) hör exakt e komplemetmägd. Så ekelt är det! Illustratio: Låt X = 8,, 3, 4, 5, 6<. Till delmägde 8, 5< hör komplemetmägde 8, 3, 4, 6<. Två formler Först de klassiska kvotformel k = k k k = k k! = H-L H-LÿÿH-Hk-LL k Hk-L Hk-L ÿÿ Amärkig Lägg märke till hur ekelt det är att memorera kvote, eftersom de har lika låga fallade poteser i täljare och i ämare. Lägde är k, och i täljare börjar ma falla frå, i ämre frå k. BEVIS Formel följer (eller hur!) om vi ka visa att H - L H - L ÿ ÿ H - Hk - LL. beskriver samma sak som ÿ k Hk - L Hk - L ÿ ÿ k Me varför beskriver () och (3) samma sak då? Jo, därför att båda uttrycke beskriver atalet permutatioer av k elemet valda ur 8,, 3,, <. Att () beskriver det ämda atalet är e direkt kosekves av multiplikatiospricipe eftersom första elemetet i e såda permutatio () (3) Att () beskriver det ämda atalet är e direkt kosekves av multiplikatiospricipe eftersom första elemetet i e såda permutatio ka väljas på sätt, ästa elemet på - sätt, osv Att (3) beskriver samma sak följer också av multiplikatiospricipe. Ty varje permutatio av ämt slag ka skapas geom att ma (i) först tager e k-delmägd av 8,, 3,, <, (ii) och seda permuterar elemete i de taga k-delmägde. Tag e k-delmägd Permutera elemete i k-delmägde Eftersom (i) ka utföras på k multiplikatiospricipe. EXEMPEL 9 K 7 3 O = 7ÿ6ÿ5 3ÿÿ = 35 Seda rekursiosformel + k = k - + k sätt och (ii) på k! sätt, så följer reste av BEVIS Då ma skall kompoera e k-delmägd A av 8,,,, + < måste ma ta ställig till huruvida elemetet + skall vara med i A eller ite. Fall. + œ A. Här behöver vi bara komplettera sigelmägde 8 + < med ytterligare k - stycke elemet för att A skall bli e k-delmägd. Eftersom de kompletterade elemete måste väljas ur 8,,, < ka ma välja dem på k - sätt. Fall. + A. Nu måste A:s samtliga k elemet tas ur 8,,, <, vilket ka göras på k sätt. Kombiatorik 0 De två falle sammataga bevisar rekursiosformel.

6 Kombiatorik Kombiatorik Med hjälp av K 0 O = K O = och rekursiosformel ka ma frå K 0 O, K O,, K O beräka K O, K O,, K + O. Gör ma detta för det ea -värdet efter det adra återskapas de ea rade efter de adra i Pascals triagel. BINOMIALSATSEN Hz + L = K 0 O z0 + K O z + K O z + + K O z EXEMPEL 0 Expadera Ha + bl LÖSNING Ha + bl = b J a b + N = b KK 0 O + K O a b + K O J a b N + + K O J a b N O = K 0 0 O K 0 O K O K 0 O K O K O K 3 0 O K 3 O K 3 O K 3 3 O K 4 O K 0 O b + K O a b- + K O a b K O a EXEMPEL MAHNAHMAHNA ige Hur måga teckesträgar ka ma bilda geom att kasta om bokstävera i ordet MAHNAHMAHNA? LÖSNING Det gäller att välja positioer åt två M, fyra A, tre H och två N i e sträg av lägd. Eftersom det fis K O sätt att placera Biomialsatse Hur ka det u komma sig att att dyker upp i Pascals triagel? k Med adra ord, vad har "atalet sätt att välja k elemet blad elemet" med biomialtale att göra? Svar: Vid expasioe av Hz + L = Hz + L ÿ Hz + L ÿ ÿ Hz + L skall stycke paretesuttryck multipliceras ihop. Varje term som uppstår vid dea multiplikatio är e produkt av stycke faktorer e faktor frå varje paretesuttryck. Terme z k = z ÿ z ÿ ÿ z uppstår då z väljs ur exakt k st k stycke av de paretesuttrycke (och väljs ur de resterade paretesuttrycke). Därför kommer multiplikatioe att geerera just k stycke z k -termer. Vi har just bevisat två M, seda K 9 4 O sätt att placera fyra A, och K 5 O sätt att placera tre H, 3 samt K O sätt att placera två N. Det följer att sökta atalet strägar är lika med K O K 9 4 O K 5 3 O K O = EXEMPEL Poker, Ï,, Hur måga pokerhäder fis det där iga av de fem korte har samma valör (t.ex. ite två ettor eller tre åttor)? Am. E pokerhad är e kombiatio av fem kort taga ur e valig kortlek med 5 kort. LÖSNING Ett eskilt kort har e valör (av tretto möjliga), samt e "färg" av fyra möjliga:, Ï,,. Så varje pokerhad är bestämd efter att ma (i) har bestämt valörer på korte, och (ii) har satt färg på dem.

7 3 Kombiatorik Kombiatorik 4 Bestäm de fem kortes valörer Bestäm de fem kortes färger Eftersom det fis 3 valörer, fis det K 3 O sätt att välja 5 olika 5 valörer. (Notera att vi måste välja olika valörer för att förhidra att två kort får samma valör!) Vidare fis det 4 ÿ 4 ÿ 4 ÿ 4 ÿ 4 = 4 5 sätt att färga de fem korte eftersom varje kort ka färgas i vilke som helst av 4 färger. Av multiplikatiospricipe följer svaret K 3 5 O ÿ 45 = EXEMPEL 3 Mera poker Hur måga pokerhäder fis det av type "två par" (t.ex. två ettor och två åttor)? LÖSNING (i) Välj valör åt de två pare K 3 O sätt (ii) Välj valör åt det återståede kortet K O sätt (iii) Välj färger åt de två pare K 4 O K 4 O sätt (iv) Välj färger åt det återståede kortet 4 sätt Det sökta svaret blir K 3 O K O K 4 O K 4 O 4 = ÖVNINGAR. Visa de två slösaktiga fomlera k =! H-kL! respektive k =! k! H-kL! och förklara på vilket sätt de är slösaktiga.. Hur måga strägar av lägd 3 med samtliga tecke valda ur 8, X, < fis det (a) totalt, (b) som iehåller exakt två :or, (c) som iehåller mist två :or. 3. Hur måga strägar av lägd + kompoerade med bokstäver ur 8a, b, c< är (i) palidromer, (ii) palidromer där a förekommer på exakt fem av de + platsera. Amärkig Med palidrom meas e sträg som ite ädras om ma väder på de, ex.vis accbcbcca. 4. Hur måga ord med fyra bokstäver ka ma bilda med avädade av bokstävera i ordet SAMOVAR? 5. På hur måga sätt ka ma välja sex varma korvar om det fis tre olika sorter? 6. E kortlek (5 kort) är uppdelad i två butar med 0 respektive 3 kort. På hur måga sätt ka slutresultatet se ut är de två butara skjutits i i varadra? 7. Hur måga olika tärigar fis det om ma släpper på kravet att summa av atalet prickar på motståede sidor skall vara sju? 8. På hur måga sätt ka ma fylla e låda med tolv äpple om ma har fem olika sorter och vill ha mist ett av varje sort? 9. Bestäm koefficiete framför z 9 efter att Iz 3 + 3M 00 har expaderats. 0. Visa med kombiatoriskt resoemag: K 3 3 O! K O + 3 K 3 O. Förekla uttrycket 3 k k=0 k.

8 5 Kombiatorik Kombiatorik 6. Bevisa likhete k=0 k! K O. 3. På hur måga sätt ka ma välja tio bollar frå e hög med röda, blå och gula bollar om ma måste välja mist fem röda? Om ma ite får ha fler ä fem röda? 4. På hur måga sätt ka ma ställa tolv persoer i rad så att persoera A, B, C och D alltid har samma ibördes ordig? 5. Hur måga av tale mella 000 och 9999 iehåller exakt två ettor? 6. E brevbärare har femto brev, adresserade till femto olika adressater. På hur måga sätt ka ha läma breve så att exakt tre av dem kommer fel? 7. E samlig på tolv persoer skall delas upp i två grupper om vardera sex persoer. På hur måga sätt ka det ske? Samma fråga om ma istället skall dela upp de tolv i fyra grupper med tre persoer i varje? 8. Åtta idetiska föremål läggs i tre tomma skålar. Ige skål blir tom efteråt. Hur måga sådaa arragemag fis det? 9. Ma markerar födelsedagara för 3 persoer i si almaacka. Låt oss kalla almaackas utseede efteråt för e födelsedagsalmaacka. (a) Hur måga födelsedagsalmaackor är möjliga (för de 3 persoera)? (b) I hur måga av dessa är ågo dag markerad mist två gåger? (c) Hur stor är saolikhete att mist två persoer av 3 har samma födelsedag, om vi atar att alla födelsedagar är lika saolika? 0. Fyra kast görs med e tärig. (a) Hur måga kastserier är möjliga? (b) Hur måga av dessa iehåller mist e sexa? (c) Är det fördelaktigt att i ett vad hålla på att mist e sexa kommer upp?