LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN"

Per-Olof Pettersson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN INLEDNING LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER E DE är lijär om de är lijär med avseede å de obekata fuktioe oc dess derivator Detta betder att e lijär ODE ka skrivas å forme a a a a a f ekv ) Om öger sida i ekv) är oll ar vi e lijär omoge DE, a ) ) ) ) a a a a ekv ) Notera att vi ka betecka :te derivata å olika sätt d d ) D d d Oftast beteckar vi västerledet i ekvatioe med L ) oc därmed själva ekvatioe med L ) f ekv) Om a ite är idetiskt oll då är ekvatio då ar ekv) ordig Geom att dela ekv) med a skriver vi ekvatioe å sk stadardform eller ormalform ) Lijär kombiatio av lösigar till e omoge ekvatio är också e lösig till ekvatioe L ) L ) L )) Bevis L ) a ) a ) a ) k ) k ) k ) { Vi aväder deriverigsregler ) ) ) oc därefter gruerar uttrck som ieåller ) res ) } Sida av

2 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 [ a [ a ) ) a ) a a = L ) L )) VSB ) a )] )] På likade sätt visar ma att oerator L ar följade egeskaer: L ) L ) L ) L )) k k L C ) CL )) oc därmed L C C C ) C L ) C L ) C L )) k k k Härav följer direkt följade sats Sats Om,,, k ) är lösigar till omogea DE ekv ) så är också lijära kombiatioe C C C ) e lösig till samma DE Bevis: k k L C C Ck k ) CL ) CL ) CL k ) = eftersom,,, k ) är lösigar ar vi L ) =,, L k ) ) C C C Med adra ord är C C C ) e lösig till ekv) k k Sats Om Y H är de allmäa lösige till omogea ekvatioe ekv ) oc e artikulär lösig till icke omogea ekv ) så är Y H de allmäa lösige till icke omogea ekv ) Bevis i) Ata att är e lösig till ekv) oc att är e lösig till ekv) Då gäller L ) oc L ) f Låt z Vi ar L ) L ) L ) f f Sida av

3 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 Alltså är e lösig till ekv ii) Ata u att är e godtcklig lösig till ekv) Vi ka skriva ) *) Eftersom L ) L ) L ) f f Alltså är e lösig till omogea ekv ) Om vi beteckar visar *) att e godtckligt lösig till ekv ) ka skrivas som Vi ar visat i) att summa är e lösig till ekv ) oc ii) att varje lösig till ekv ) ka skrivas som summa av e lösig till omogea ekv ) oc e artikulär lösig till ickeomogea ekv) Därmed ar vi bevisat satse Defiitio Begelsevärdesroblem av ordig är roblemet att itta e lösig till ekv) som ufller följade villkor begelsevillkor) i e ukt :, ) ),, ) B) Fuktioe f är e lösig till ovaståede begelsevärdesroblem å itervallet a, b) som kallas lösiges eistesitervall) om f satisfierar ekv) för alla a, b) oc dessutom f ), f ),, f ) Sats 4 EXISTENS OCH ENTYDIGHETSSATS FÖR EN LINJÄR DE AV -te ORDNINGEN T 4 Eistece of a Uique Solutio, Zill, Wrigt) Ata att koefficietera a k oc f i differetialekvatioe a a a a a f ekv) Sida av

4 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 är kotiuerliga fuktioer i ett öet itervall I a, b) oc att a i detta itervall Låt vara e ukt i itervallet a, b) oc låt,,, vara godtckliga kostater begelsevärde) Då eisterar å itervallet a, b) e oc eakt e lösig till begelsevärdesroblem, ) ),, ) Amärkig: Eligt ovasåede satse är lösige defiierad å ela itervallet a, b) om alla koefficietfuktioer är kotiuerliga där Eemel Visa med ovaståede eistes- oc etidigetssats att begelsevärdesroblem ) si, ), ) 4 ar eakt e lösig oc age lösiges eistesitervall Lösig: Vi kollar om det fis ett itervall som ieåller ukte = där gäller att V: alla koefficieter är kotiuerliga oc V ledade koefficiet är skild frå Villkor : Alla koefficieter dvs a ), f si a a oc är kotiuerliga om Villkor : De ledade koefficiete a ) är skild frå oll om Alltså är villkore i satse ufllda i ett itervall rut ukte = om itervallet ite ieåller ukte De största sådat itervall rut ukte = oc som ufller de två villkore för eistes- oc etidigetssatse är I, ) Svar: Det största eistesitervallet är I, ) Radvärdesroblem för e lijär DE av adra ordige Sida 4 av

5 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 För e lijär DE av adra ordige ar vi oftast villkor giva i två olika ukter = a oc =b, dvs i ädukter =radukter) till ett itervall a,b) Sådaa villkor kallas radvillkor Hår är ågra eemel å radvillkor i raduktera a oc b: i) a) 5, b) ii) a), b) iii) a) 5, b) iv) a) a), b) b) Problem att lösa e DE tillsammas med radvillkor kallas för radvärdesroblem Eemel: Bestäm de lösig till ekvatioe som ufller följade två radvillkor ) oc ) Lösig: Först bestämmer vi som valigt) de allmäa lösige till väldigt ekel ekvatio; adra derivata är give, bestäm ): som är e Första itegratioe ger C Vi itegrerar e gåg till oc får C C de allmäa lösige) Villkor dvs ) ger C C dvs C Villkor ger 7 C C oc därmed är 7 lösige till radvärdesvärdesroblemet Sida 5 av

6 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 Amärkig: Till skillad frå begelsevärdesroblem ka ett radvärdesroblem a oädligt måga lösigar trotts att alla koefficietfuktioer är kotiuerliga som vi ser i följade eemel Eemel Lös följade radvärdesroblem 9, ), ) Lösig: Ekvatioe är e omoge lijär DE av adraordige Lösigsmetode för sådaa ekvatioer ar ma lärt sig i kurse evariabelaals Vi aväder asatse r e Detta ger de karakteristiska ekvatioe r 9 som ar två komlea lösigar r i, Med jäl av de komlea lösigara defiierar vi två baslösigar fudametal lösigsmägd) e si si oc e cos cos Därmed är de allmäa lösige C C C si C cos Nu bestämmer vi vilket/ vilka lösigar blad C si C cos ufller radvillkor Villkor ) ger C si C cos C Därmed C si ufller villkor Nu aväder vi villkor : C si ) C si ) som är uflld för alla C Därmed satisfierar alla fuktioer C si radvärdesroblemet Alltså ar vårt radvärdesroblem oädligt måga lösigar, trots att koefficietfuktioer som är kostater, oc 9) är kotiuerliga fuktioer Sida av

Relevanta dokument

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process. Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk