SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP"

Simon Magnusson
för 6 år sedan
Visningar:

1 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE Sid v 6 SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP Iehåll: Mrisorm Begyelsevärdesprobleme Eises- och eydighessse ör lijär sysem Fudmel lösigsmägd ill e ill e homoge sysem Här berr vi e sysem med lijär DE v örs ordige d d d d d d sys,,, är obe uioer v vribel Ovsåede sysem sriver vi os på mrisorme F A sys,, A och F Eempel: Sriv syseme

2 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE d d d d 4 3 på mrisorme si cos Lösig: Vi hr, 4 si A, F 3 cos Syseme srivs som 4 si A F dvs 3 cos Sysem sys är HOMOGENT om ll eller evivle F= i mrisorme Allså är A e homoge sysem Ss Om h är de llmä lösige ill homoge syseme p e priulär lösig ill ice-homoge A F då är A och H p de llmä lösige ill ice-homoge A F BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEMET E begyelsevärdesproblem besår v sys och begyelsevillor b, b,, b är giv begyelsevillor På mrisorme sriver vi begyelsevärdesprobleme som A F, IV och b b b Sid v 6

3 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE Ss Eises- och eydighessse ör sys Om ll oeicieer ij och är oiuerlig uioer på e öppe iervll I och I så hr begyelsevärdesproblem IV e e lösig: Lösige är deiierd på hel iervlle I Uppgi Besäm de sörs eisesiervll ör öljde begyelsevärdesproblem d 4 d 3, d 4 3, 43 3 d b c 34 Lösig: Noer ll oeicieer är deiierde och oiuerlig om och 3 Frå eises- och eydighessse öljer öljde svr: I, b I,3, I 3, Uppgi Besäm de sörs eisesiervll ör öljde begyelsevärdesproblem d 3 4 d, d 3, 43 cos d Lösig: Noer ll oeicieer är deiierde och oiuerlig på, Därmed hr IV e e lösig som är deiierd på, ovse hur vi väljer Svr:, SUPERPOSITION ör homoge sysem Ss 3 Lå,,, vr lösigr ill A Då är vrje lijärombiio v de lösigr, c c c, ocså e lösig Bevis Beec z c c c Eersom, både, deriv och mrismulipliio är lijär operorer hr vi VL c c c elig gde c A c A A c c c A HL VSB c A Sid 3 v 6

4 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE Deiiio Lijär beroede/ oberoede lösigr Lå,,, vr lösigr ill A Vi säger,,, är lijär beroede lösigr på iervlle I om de is oser c, c,, c, mis e os är sild rå, såd c c c ör ll I Ars är,,, lijär oberoede lösigr Deiiio Fudmel lösigsmägd Vi säger,,, bildr udmel lösigsmägd ill de homoge syseme A sys,, A om,,, är syce lijär oberoede lösigr ill sys Els sä vgör om,,, är e udmellösigsmägd ill sys är med hjälp v WRONSKIS mris Koloer i Wrosis mris är själv veorer,,, Om,, så är W illhörde Wrosis deermi Noer vi hr ie derivor i Wrosis mris ör e örsordiges DE sysem ill silld rå Wrosis mris ör e DE v :e ordige Följde gäller: W= ör ll I lösigr,,, är beroede W ör mis e I lösigr är oberoede Sid 4 v 6

5 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE DEN ALLMÄNNA LÖSNINGEN ill sys ges v h c c,, c, är e udmellösigsmägd ill syseme Uppgi 3 Vis och e är e udmellösigsmägd ill syseme d y d dy 4y d b Age de llmä lösige ill syseme Lösig: Syseme på mrisorme är A, y och A y 4 i Förs orollerr vi om är e os lösig ill syseme A VL d d d d, HL A, 4 Allså VL=HL, dvs är e lösig ill syseme ii Nu ollr vi på smm sä om e e är e lösig ill syseme e VL d d d e e, d e e HL A e 4e e e, Sid v 6

6 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR, SF676 Sysem v lijär DE Därmed är ocså e lösig ill syseme iii Med hjälp v Wrosis deermi olr vi om lösigr är lijär oberoede W e e lösigr är oberoede e Därmed bildr syseme och e e udmellösigsmägd ill e b De llmä lösige är h e c c = c c e Alleriv vi ge lösigr på slärorme: c ce y c c e Sid 6 v 6

Relevanta dokument

FOURIERSERIER. Definition 1. (Trigonometrisk serie) Ett utryck av följande form. är en trigonometrisk serie.

FOURIERSERIER. Definition 1. (Trigonometrisk serie) Ett utryck av följande form. är en trigonometrisk serie. Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiiio. rigoomerisk serie E uryck v öljde orm [ cos x b si x ] är e rigoomerisk serie. Amärkig: Förs erme skriver vi som v prkisk skäl som vi örklrr ed. Deiiio.