KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R 3. En kurva i R 3 beskrivs anges oftast på parameter form med tre skalära ekvationer:

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R 3. En kurva i R 3 beskrivs anges oftast på parameter form med tre skalära ekvationer:"

Eva Lund
för 7 år sedan
Visningar:

1 Amin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kuvo på pmeefom KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R En kuv i R beskivs nges ofs på pmee fom med e sklä ekvione: x = f, y = f, z = f, D R * Fö vje få vi en punk på kuvn P = f, f, f Omvän en given punk P,, ligge på kuvn * om och ends om de finns = så = f, = f och = f Mn kn nge kuvn * med en veko ekvion = f, f, f, D elle ekvivlen x f y = f z f elle x, y, z = f, f, f och även kos = Med nd od: Vi definie en kuv i R med hjälp v e eellväd funkione v en vibel elle ekvivlen med en vekofunkion v en vibel Definiionsmängden D ä vnligen e inevll på eell xeln En veko som ä pllell med ngenlinje ill kuvn = i punken P = f, f, f ä = f, f, f Om = vis posiion vid iden, fö en pikel som ö sig i ymden, då ä vekon lik med hsighesvekon v dvs v = = f,, f f Pikelns fen ä då v = f + f + f Acceleionsvekon = v = = f, f, f v 7

2 Amin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kuvo på pmeefom Uppgif Vi bek kuvn = +, +, sin Lå P v den punk på kuvn som sv mo = som Besäm en veko som ä pllell med ngenlinje i punken P b Besäm ngenlinjens ekvion i punken P Lösning : Vi beäkn T = =,, cos Om = h vi en iknings veko fö ngenlinjen T P =,, b Tngenens ekvion i punken P =,, bli då: x y = + z Uppgif Lå = 4sin, 4cos, cos, 4π v posiionen vid iden, fö en pikel som ö sig i ymden Besäm Hsighesvekon, cceleionsvekon och fen vid iden b Fö vilk, 4π ä fen sös/ mins Besäm fens sös / mins väde inom definiionsinevlle Hsighesvekon v dvs v = = 4cos, 4sin, sin Fen = = 6cos + 6sin + sin = 6 + sin Acceleionsvekon = = v = = f, f, f = 4sin, 4cos, cos b Efesom sin se vi fens sös väde ä 7 om sin = som ä uppfylld fö följnde -väden inom definiionsinevlle = π /, = π /, = 5π / och = 7π / 4π : Fens mins väde ä 6 om sin = som ä uppfylld v 7

3 Amin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kuvo på pmeefom fö följnde -väden inom definiionsinevlle =, = π, = π, = π och = 4π 4π : Uppgif 4 En kuv ä given som skäningskuvn melln vå yo x + y + z = 5 och x + y xy = Besäm kuvns ekvion på pmeefom Vi beeckn x = Fån nd ekvionen h vi + y y = y = = +, Insäning i fös ekvionen ge z = 5 x y = 5 = 4 Sv: =, +, 4 Uppgif 5 En kuv ä given som skäningskuvn melln vå yo: x + y + 4 z = 4 och x + 4y = 4 Besäm kuvns ekvion på pmeefom And ekvionen x + 4y = x 4 som kn skivs + y = h ends vå vible och 4 beskive en ellips i R Vi pmeise ellipsen genom x x = cos, y = sin då gälle + y = 4 Fån fös ekvionen h vi då z = 4 x y / 4 z = 4 cos sin 4 v 7

4 Amin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kuvo på pmeefom KURVOR I R EXPLICIT FORM y = f x IMPLICIT FORM F x, y = PARAMETER FORM = x, y Någ of föekommnde elemenä kuvo Cikeln med dien = och cenum i punken x, kn nges på : y i ii x = x + y y IMPLICIT FORM x = x + cos, y = y + sin π PARAMETER FORM iii elle med vå ekvione på EXPLICIT FORM som vi få genom lös i på y : x x y y + y y = ± = x x y y y = y = ± x x x x Dä y = y ä en ekvion fö öve hlvcikeln + x x och y = y ä en ekvion fö nede hlvcikeln x x Ellipsen med hlvxl,b och cenum i x, kn kn nges på : y x x y y i + = b IMPLICIT FORM ii x = x + cos, y = y + bsin π PARAMETER FORM iii elle med vå ekvione på EXPLICIT FORM som vi få genom lös i på y : y = y x x ± b y = y ± x x b En kuv på explici fom y = f x, kn enkel pmeises genom välj x =, och dämed y = f Då bli =, f 4 v 7

5 Amin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kuvo på pmeefom Uppgif 6 Beskiv med od och i kuvn y = 5 4 x 4 y = 5 4 x 4 y 5 + x 4 = 4 Vi se vje punk på kuvn sisfie också cikelns ekvion men de beyde ine vje punk på cikeln sisfie kuvns ekvion; cikeln kn h fle punke än kuvn och dämed ä kuvn en del v cikeln x 4 + y 5 = 4 Cikelns ekvion lede ill TVÅ explici ekvione y = 5 ± 4 x 4 som sv mo öve/ nede hlvcikeln Vå kuvn dien y = 5 4 x 4 ä nede hlvcikeln med cenum i 4,5 och TANGENTLINJE OCH NORMALLINJE I R 4 Lå = x, y En ikningsveko ill kuvns ngenlinje i punken P ä T = ' = x', y' Fö en nomlveko blnd oändlig mång ill kuvn = x, y kn vi välj då n = y', x' efesom T n = n T Anmäkning: Fö en given veko u =, b kn vi välj på e enkel sä en blnd oändlig mång nomlveko: n = b, Fö de vl bli skläpoduken u n = b + b = 5 v 7

6 Amin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kuvo på pmeefom Uppgif 7 Besäm ekvione fö ngenlinje och nomllinje ill kuvn y + = x x i punken, Vi beeckn x = Då ä =, + kuvns ekvion på pmeesfom Vi beäkn ' =, + och ' =, 5 Vekon T = ' =, 5 ä pllell med ngenlinje i punken, Tngenlinjens ekvion bli då x, y =, + s, 5 Fö en nomlveko kn vi nvänd ex n = 5, Vi änd pls och ecken i vekon T, då bli nt = Nomllinjens ekvion ä däfö x, y =, + s 5, 5 Om en kuv i R ä given på IMPLICIT FORM F x, y = n = F x ', Fy ' fom kn vi med följnde fomel beäkn en nomlikning ill kuvn i en given punk P Då ä T = F y ', Fx ' en veko blnd oändlig mång som ä pllell med ngenlinje i punken Uppgif 8 Besäm ekvione fö ngenlinje och nomllinje ill ellipsen x + y = 7 i punken P, b Ange ngenlinjens ekvion på explici fom Den hä gången implici fom ä de enkle beäkn en nomlveko ill kuvn i punken P Vi skive ekvionen på fomen F x, y =, dvs x + y 7 = och nvände fomeln n = F x ', F ' y I vå fll ä F x, y = x + y 7, 6 v 7

7 Amin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kuvo på pmeefom F x '= x, ' P = 4 F x F y '= 6y, ' P = 6 F y Däfö en nomlveko i punken P ä n = 4,6, [Vi kn även nvänd en pllell veko n =, ] Fö en veko blnd oändlig mång som ä pllell med ngenen kn vi ex välj T =, Nu h vi Tngenlinjens ekvion: x, y =, + s, Nomllinjens ekvion: x, y =, + s, Sv: Tngenlinjen: x, y =, + s, Nomllinjen x, y =, + s, b Fö nge ngenlinjens ekvion x, y =, + s, på explici fom elimine vi pmee s u x = s, y = + s x = s s = x / De insäes i y = + s y = + x / y = 7 / x / Sv b y = 7 / x / 7 v 7

Relevanta dokument

KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))

Kurvor på parameerform KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3 P=xyz T=x y z r=xyz En kurva i R 3 anges ofas på parameerform med re skalära ekvaioner: x = f 1, y = f, z = f 3, D R * För varje får vi en