Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 3

Transkript

1 levaiabelanals I Vinten 9 Övesikt föeläsninga läsvecka Det teje kapitlet i kusen behanla ubbel- och tippelintegale. Den integalen vi känne till fån envaiabelanalsen, f ( ) b a, kan ju ofta ses som aean une = f ( ) mellan = a och = b funktion av två vaiable och me f (, ) beteckna volmen une z f (, ). Det te sig å natuligt att utviga begeppet till en = öve omået i (, ) planet. Detta låte sig natuligtvis inte göas lättvinigt; et ä inte självklat va man skall mena me f, måste volmen av ett oegelbunet omåe i ummet och ubbelintegalen ( ) efinieas me liknane esonemang som fö enkelintegalen. Men tolkningen av ubbelintegalen som en volm kan änå vaa ett stö fö en intuitiva föståelsen. Pecis som fö enkelintegale visa sig ( ) f, vaa ett välefinieat tal fö en ganska vi klass av funktione; till eempel uge alla kontinueliga funktione. Man beäkna oftast ( ) f, genom så kalla iteea integation. Det bete enkelt uttck att man integea föst me avseene på en ena vaiabeln och sean me avseene på en ana. I et enklaste fallet ä omået en ektangel. empel: Beäkna e ä ges av Lösning: Vi integea föst me avseene på. (Vi kan välja vilken vi vill, men äkningana bli i etta fall enklae om vi böja me.) [ e ] = e e =. Det innebä att e = e = e = = Om ä mine egelbunet kan integationen bli besväligae. Helst vill man kunna beskiva θ ( ) ϕ( ) omået på följane sätt: (et gå föstås ba om och bte olle ). a b Man integea å föst me avseene på och sean på, och et ä viktigt att man ha konstanta gänse fö.

2 empel: Beäkna e ä D ä omået,, + 6 Lösning: Vi beskive omået som 6 östa integalen: = e e = ( e e ) = 6 6 Däfö bli e = e e = ( 7e ) = 6 Iblan kan man beskiva omået på två olika sätt, ä man på et ena sättet fösta integea me avseene på, och på et ana föst me avseene på. Det kan vaa en smaksak vilket man föea men et finns många fall ä et ena sättet lee till betligt enklae äkninga, och et föekomme att en beskivning lee till en omöjlig integal. empel: Beäkna e ä ä tiangeln me hön i punktena (,), (, ) samt oigo. Lösning: Hä måste vi beskiva omået så att vi föst integea me avseene på ; annas ställs vi infö uppgiften att hitta en pimitiv funktion till e.

3 Alltså: ges av = = e = e = = e och äfö bli östa integalen: [ ] e = [ e ] = e = = e I envaiabelanals använe man sig av vaiabelsubstitution fö att klaa vissa besväliga integale. Man kan bta vaiable även i ubbelintegale, men sftet ä i fösta han att skapa ett enklae omåe. Det vanligaste btet ä att inföa poläa kooinate. Då man infö na vaiable, säg u och v, måste man även bta aeaelementet, enligt (, ) v) uv = ä (, ) v) (, ) v) ä beloppet av en så kallae funktionaleteminanten u v = cosθ =. ö poläa kooinate gälle att = sinθ u v (, ) (,θ ) =

4 empel: Beäkna + + ä ä et ine av enhetscikeln. = cosθ Lösning: Vi bte till poläa kooinate, och få = sinθ sin θ = + + θ ä ges av + θ < π Den na integalen kan beäknas som poukten av två enkelintegale: π sinθ θ = sin + + π θ θ = ( ln ) Me te vaiable få man föga öveaskane tippelintegale, och såana beäknas enligt samma pincip, alltså iteea integation. Hä kävs följaktligen te integatione efte vaana. Man kan själv välja vilken oning vaiablena integeas bot, men i e alla flesta fall ä integanen och omået såant att man böja me z. fte en fösta integalen uppstå en ubbelintegal och et omåe som en ubbelintegalen skall beäknas öve ä pojektionen av et uspungliga omået på (, ) planet. Det gälle alltså att ha en kla bil av et uspungliga omået, en uppgift som inte allti ä tivial. empel: beäkna z ä ä tetaeen me hön i (,,), (,, ), (,,), (,,) Lösning: tetaeen begänsas av e fa planen =, =, z = samt z = 6, ä man hitta et sista planet tack vae goa kunskape i linjä algeba. 4

5 Om vi nu integea föst i z-le få vi intevallet z och integalen Alltså bli z = z = 6 6 (integanen ä ju konstant).. Omået ä pojektionen av ne på (, ) planet. bli å en tiangel som begänsas av linjena =, = samt =. Den ana integalen bli äfö 6 6. Resultatet bli ett uttck i som till sist skall integeas fån till. Räkningana ä enkla men ga. 5