Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Transkript

1 Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 904 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskivninga av svaens innehåll och oängsättninga som ges hä ä inte bindande fö studentexamensnämndens bedömning Censoena besluta om de kiteie som används i den slutgiltiga bedömningen Av en god estation famgå det hu examinanden ha kommit fam till svaet I lösningen måste det finnas nödvändiga utäkninga elle anda tilläckliga motiveinga och ett slutesultat I bedömningen fästs umäksamhet vid helheten och vid de te stegen stat, mellansteg och slutesultat Räknefel som inte väsentligt ända ugiftens natu ge ingen betydande sänkning av antalet oäng Räknefel och fel i den matematiska modellen som ända ugiftens natu kan däemot sänka antalet oäng avsevät I ovet ä äknaen ett hjälmedel, och dess oll bedöms seaat fö vaje ugift Om symboläknae använts i en ugift ska det famgå av estationen I lösninga av ugifte som käve analys äcke det inte enbat med ett sva som ehållits med hjäl av äknaen utan öviga motiveinga Däemot äcke ett sva som examinanden fått med äknaen i allmänhet i utinbeäkninga Detsamma gälle utinmässiga dela av mea omfattande ugifte Exemel å sådana ä omskivning av uttyck, ekvationslösning och deiveing och integeing av funktione a) 7( x ) x ( x ) 7x 0 7x 0 x 0 b) Positivitetskavet ä x( x ) 0 Nollställena fö uttycket i vänsta ledet c) ä x 0 x Enligt ett teckenschema ufylls villkoet då x a b a b ( a b)( a b) ( a b)( a b) a b a b a b a b 7 0 ( a b) ( a b) a Tabellen ä f( x ) gx ( ) hx ( ) 4 Matematikov, lång läokus 904

2 4 4 a) Vi få aean genom att integea diffeensen 6x x x 6 x, x x vavid den eftefågade aean ä 6x dx / x ln x 4 ln 4,69 x b) ( ) ( ) g x f x f ( x ) Eftesom f ( x) x ä g( x) ( x) x Alltså ä g() 9 4 Om a 0 ha ekvationen fomen x 0, som ha exakt en lösning Om a 0, ä ekvationen en andagadsekvation, och den ha exakt en lösning nä diskiminanten D a0, dvs då a Ekvationen fö nomalen till linjen x4y 0 som gå genom unkten (,6) ä y 6 4 ( x ) x y Cikelns medelunkt ligge å nomalen Om 4 cikelns adie ä 4, ha avståndet till den usungliga linjen Vi få då villkoet I fallet 0 tangea cikeln den negativa x-axeln Den eftefågade adien ä alltså 0 och medelunkten 0, 0, så måste medelunkten 6 Anta att ( ) n n f x ( x a k ), vavid f ( x) ( x ak ) nx n a k Deivatans nollställe ä x n ak Det ä fågan om ett minimiställe, eftesom ga- k k k n k fen av funktionen f ä en uåtvänd aabel Matematikov, lång läokus 904

3 7 Vi gö en tabell öve alla möjliga summo av ögontal: Det totala antalet utfall ä a) Med stöd av tabellen få vi sannolikhetena: n P( X n ) /4 /4 /4 4/4 4/4 4/4 /4 /4 /4 b) Summans vänteväde ä ( ) 4 Väntevädet kan också beäknas å följande sätt: väntevädet fö ögontalet fö en vanlig täning ä, och väntevädet fö ögontalet fö en tetaedetäning ä, Det eftefågade väntevädet ä summan av dessa vänteväden 6 Stålana skä vaanda om ekvationen OA su OB t v ufylls fö något a s0, t 0 Då ä ( s) i ( s) j ( s) k (9 t) i ( t) j ( t) k Genom att jämföa komonentena få vi ekvationssystemet s 9 t s t s t U de två fösta ekvationena löse vi ut t och s Vi mäke att också den tedje ekvationen ufylls fö dessa väden Då skä stålana vaanda och skäningsunkten ä (7,, 6) Matematikov, lång läokus 904

4 9 a) Vi få som skäningsunkte A(6,0,0), B (0,,0) och C (0,0,) Då ä tiangeln OAB tetaedens basyta, och stäckan OC tetaedens höjd Kantenas längde ä OA 6, OB och OAOB 6 OC 6 b) Vektoena u AB 6i j och v AC 6i k ä två sido i tiangeln Fö vinkeln mellan dessa sido gälle uv 6 6 cos u v Anta att h ä den av tiangelns höjde som utgå fån hönunkten C Eftesom sin h, ä v 6 4 h 40 sin 40 0 Aean av tiangeln ABC ä u h 4 OC Tetaedens volym ä 0 Ostbitens tväsnitt vid den lodäta linjen x t ä en ektangel vas bas ä H h a t Rektangelns höjd H få vi med likfomighet: t H h t Tväsnittets aea ä h Ostbitens volym ä A( t) a H t t, 0 t t A( t) dt ( t) t dt h / h h x, 0 x a) f ( x), x x, x 4 x C, 0 x b) Genom integeing få vi f ( x) x C, x x x C, x 4 Matematikov, lång läokus 904

5 Eftesom f (0) 0 och integalfunktionen ä kontinuelig ä C 0 C C C C 4 Vi få som lösning C 0, C och C Då ä x, 0 x f ( x) x, x x x, x 4 x x x c) Funktionen f ä deiveba i intevallet 0 4 och f( x) 0 endast nä Möjliga extemställen i intevallet 0 4 ä alltså 0, och 4 Eftesom f (0) 0, f () och minsta väde 0 f (4), ä funktionens stösta väde och Nämeväden fö deivatan med äknaen TI-6: nämeväde absoluta felet 0, , ,779,4 0 0,7706 6, ,77 7, ,776, 0 0,77 7 4, , , ,776,7 0 cos(0,) 0,7769 Vädet 7 ge det bästa nämevädet Det ätta svaet kan vaa beoende av den äknae som används Matematikov, lång läokus 904

6 a) Det ä fågan om en aitmetisk summa vas väde ä ( ) ( k ) n n k ( k )( n k ) Vi få alltså ekvationen ( )( ) 007 k n k ( k )( n k ) 04 b) c) Med stöd av de föegående delugiftena kan uttycket,, 9,, 9,, 9 och 9 Genom att undesöka alla altenativ mäke vi att endast följande udelninga i faktoe ge ositiva heltalslösninga k k , nä nk 007 n 0 k k 7 04, nä nk n k 9 k , nä nk 06 n 44 k anta vädena 4 a) Kuvan som itas utgös av två cikelbåga Cikelns adie ä längden av tiangelns sida, och stoleken av den medelunktsvinkel som svaa mot 9 bågen ä Den eftefågade längden ä 4 b) Ritade figue c) Den eftefågade kuvan utgös av te cikelbåga av vilka den fösta och den tedje ä lika långa Den fösta cikelbågens adie ha samma längd som kvadatens sida 4 kvadatens diagonal 4 och den anda cikelbågens adie ha samma längd som Medelunktsvinkeln som svaa mot vaje båge ä Den eftefågade längden ä ( ) 4 4 d) Den eftefågade kuvan utgös av fem cikelbåga av vilka den fösta och den femte esektive den anda och den fjäde ä lika långa Den fösta cikelbågens adie ha samma längd som sexhöningens sida 6, den anda cikelbågen ha en adie som ha samma längd som sexhöningens kotae diagonal 6 och den tedje ha en adie som ha samma längd som sexhöningens länge diagonal ä Den eftefågade längden ä Medelunktsvinkeln som svaa mot vaje båge ( ) Matematikov, lång läokus 904

7 a) Eftesom g 0 ( x ), g * f xdx 0 och g 0 f x dx,, 0 ( ) 0 g( x) x x Eftesom g f x x dx 0 och g g x xdx ä g x x x x b) Eftesom g g dx, ä g0* g xdx 0, g 0 g ( x ) dx 0 4 ( ) / x x 4 6 och g g x x dx x x dx 0, gälle otogonalitet c) Vi beäkna de skaläa oduktena: 4 h g0 x ax bx cdx / a b 4 x x x cx a, c 4 h g x ax bx c xdx / a 4 b c 4 x x x x b h g x ax bx c x dx x ax bx cx dx, 4 a b c ( ) ( ) 6 4 / a b ca b c x ax b x c x x dx x x x x x x a 6ca c 9 4 a Funktionena ä otogonala nä a c b a 0, u vilket 4 ac 0 och b Matematikov, lång läokus 904

8 Peliminä oängbedömning a) 7( x ) x ( x ) 7x x 0 x b) Villko: x( x) 0 Nollställena fö uttycket i vänsta ledet: x 0 x 0 x 0 x c) Eftesom gafen fö uttycket ä en nedåtvänd aabel ufylls villkoet då 0x a b a b ( a b)( a b) ( a b)( a b) Faktoiseing:, a b a b a b a b genom fökotning: ( a b) ( a b) a f( x) gx ( ) hx ( ) Funktion Deivata 4 a a) Diffeensen mellan kuvonas uttyck: y y 6x, x vavid den eftefågade aean ä A 6x dx / x ln x x 6 ln ln 4 ln 4,69 4,69 g( x) f ( x) ( x) ( x) 4x x, fån vilket följe att g( x) x, vilket ge g() 9 ELLER: g( x) f ( x) f ( x) Eftesom f ( x) x, ä g() f() 9 b) Matematikov, lång läokus 904

9 4 Om x, som baa ha en lös- ning a 0 få ekvationen fomen 0 x a 0 Om, ä ekvationen av :a gaden och den ha exakt en lösning då diskiminanten D a 0, dvs då a [då ä x 4 ] Ekvationen fö den nomal till linjen s: x 4y 0 y x som 4 gå genom unkten (,6) ä y 6 4 ( x ) x y 4 Den eftefågade cikelns adie Då måste dess medelunkt (, ) vaa å avståndet fån linjen s Vi få villkoet: , av vilka det senae vädet inte duge (cikeln tangea då den negativa x-axeln) Den eftefågade adien ä alltså 0 och medelunkten 0, 0 6 Uttycket vilket ge n k, k f ( x) ( x a ) n n f ( x) ( x ak ) nx ak k k n Nollställe: f( x) 0 x a [= medelvädet av konstantena n k a k ] Det ä fåga om ett minimiställe eftesom gafen av funktionen f( x ) ä en uåtvänd aabel k Matematikov, lång läokus 904

10 7 a) Poängsumman x få vädena,,4,,0 De gynnsamma utfallen fö dessa väden ä,,,4,4,4,,, till antalet Det totala antalet utfallet ä st Resultat =, sannolikhet = Resultaten i tabellen nedan: 64 4 x i i Utgående fån tabellen få vi sannolikhetena x i i /4 /4 /4 4/4 4/4 4/4 /4 /4 /4 b) Väntevädet fö summan ä ( ) 4 6 ELLER: Väntevädet kan beäknas diekt:,, 6,0 Stålana skä vaanda, om st, R: OA su OB tv ( s) i ( s) j ( s) k (9 t) i ( t) j ( t) k s 9 t Detta ufylls då s t s t t De två fösta ekvationena ge, s och dessa väden ufylle också den sista ekvationen, vilket betyde att stålana skä vaanda Genom att sätta in vädena fö s och t få vi skäningsunkten (7,, 6) Matematikov, lång läokus 904

11 9 a) Genom att nollställa två vaiable i taget få vi tetaedens hönunkte O, A(6,0,0), B (0,,0) och C (0,0,) Anta att OAB ä tetaedens bas och OC dess höjd Kantenas längde ä OA 6, OB och Då ä tetaedens volym OAOB OC 6 6 b) Vi använde som tetaedens basyta Eftesom tetaedens volym ä V, ä basytans aea A h Vi ha beäknat oigo till basytan, dvs h Den eftefågade aean ä dämed A V ABC Ah OC V 6 Höjden h ä densamma som avståndet fån ELLER med kyssodukt: AB 6i j u och AC 6i k v i j k u v 6 0 6i j k 6 0 u v AABC 4 ELLER med skalä odukt uv 6, u 6 9 Vektonv :s vektoojektion å vekton u u u i j v u vu u u u Den höjdvekto som ä vinkelät mot basen ä då 6 h v v u i j k, u vilket h Dämed ä A ABC uh 70 4 Matematikov, lång läokus 904

12 0 Vi skä ostbiten med ett lan som ä aallellt med basytans diamete å avståndet x fån basytans diamete (0 x ) Tväsnittets ä en ektangel, vas bas a Vi få ektangelns höjd H med ekvationen Tväsnittets aea:, dä H x h h 0 0 a x h h H x A( x) a H x x, 0 x A x dx x x dx Ostbitens volym ä dämed ( ) ( ) / x h h 0 0 h Matematikov, lång läokus 904

13 a) Eftesom den butna linjens fösta del ä en del av linjen anda delen en del av linjen y x, C C f (0) 0 y x y och den tedje en del av linjen C, den x, 0 x ä deivatafunktionen f ( x), x x, x 4 b) x C, 0 x Genom integeing få vi: f ( x) x C, x x x C, x 4 C C Då integalfunktionen ä kontinuelig måste C C 4 Vi beteckna Då ä C C och C C Begynnelsevillkoet ge: C 0, C och x, 0 x Dämed ä f ( x) x, x x x, x 4 c) Funktionen f ä deiveba i intevallet 0 x 4 och f( x) 0 endast i unkten x Extemvädeskandidatena ä dämed: f (0) 0, f () och f (4), av vilka det stösta vädet ä och det minsta vädet ä 0 Matematikov, lång läokus 904

14 Vi beäkna deivatans nämeväde med gafäknaen TI-6: Vädet uttyck Felets absolutbelo 0, , ,779,4 0 0,7706 6, ,77 7, ,776, 0 0,77 7 4, , , ,776 cos(0,) 0,7769,7 0 7 ge det bästa nämevädet Det ätta svaet kan beo å den använda äknaen Det ä fåga om en aitmetisk summa an, dä a n, an n k och a) temena ä k till antalet Med summafomeln få vi n ( n k) Sk ( k ) ( Eftesom ( )( ) 007 n k, ä( )( ) 04 b) c) Utgående fån föegående delugifte kan k få vädena,, 9,, 9,, 9 och 9 Genom att undesöka alla altenativ obsevea vi att endast följande faktoudelninga ge ositiva heltalslösninga: , då k k nk 007 n 0 04, då k nk k 7 n , då k 9 nk 06 k n 44 Matematikov, lång läokus 904

15 *4 a) Tiangelns sida = s Då ä s s Kuvan utgös av två identiska cikelbåga med adien s, och fö vilka medelunktsvinkeln = 0 9 Kuvans längd 4 b) Ritade kuvo c) Kuvan utgös av te cikelbåga, av vilka den fösta och den tedje ä lika långa Den fösta cikelbågens adie = kvadatens sida andas adie = kvadatens diagonal svaa mot bågana ä vadea Kuvans längd 4 och den De medelunktsvinkla som ( ) d) Kuvan utgös av fem cikelbåga av vilka den fösta och den femte esektive den anda och den fjäde ä lika långa Den fösta cikelbågens adie = sexhöningens sida 6, den anda bågens adie = sexhöningens kotae diagonal och den tedje bågens adie = sexhöningens länge diagonal Medelunktsvinkeln som svaa mot vadea bågen = 6 Kuvans längd = ( ) 9 9 Matematikov, lång läokus 904

16 * a) Eftesom b) g0( x) 0 ä g( x) x x Eftesom g g x dx ä Eftesom, g0* f xdx 0 och g0 f x dx, g f xx dx 0 och, 0 g ( x) x x x g0* g xdx 0, g 0 g x dx g g x( x ) dx x x dx / 4 x x g0 g0 dx, och, gälle otogonalitet c) Vi beäkna de skaläa oduktena: 0 ( ) 0 4 a b / x x x cx h g x ax bx c dx a c, 4 4 h g x ax bx c xdx / 4 x a x b x c x 4 b, 4 a b c ( ) ( ) 6 4 / a b ca b c h g x ax bx c x dx x ax b x c x x dx x ax bx cx dx x x x x x x a 6ca c 9 4 a Funktionena ä otogonala då a c b a 0, 4 vilket ge ac 0 och b Matematikov, lång läokus 904