Tvillingcirklar. Christer Bergsten Linköpings universitet. Figur 1. Två fall av en öppen arbelos. given med diametern BC.

Transkript

1 villingcikla histe Begsten Linköpings univesitet En konfiguation av cikla som fascineat genom tidena ä den sk skomakakniven, elle abelos I denna tidskift ha den tidigae tagits upp av Bengt Ulin (005 och Kaen Sofie Ronaess (007, dä bla de akimediska tvillingciklana diskuteats Figuen nedan visa skomakakniven med dessa två minde cikla som ä konguenta obeoende av den elativa stoleken mellan de två ine tangeande halvciklana I denna atikel betaktas skomakakniven då dess två minde halvcikla inte tangea vaanda, dvs skä vaanda elle sakna gemensamma punkte Denna figu kalla jag en öppen abelos (se Figu Den gemensamma tangenten esätts då med de ine halvciklanas potenslinje Jag komme i det följande att visa att en motsvaighet till de tvillingcikla som Akimedes intoduceade då föbli tvillingcikla, dvs ä konguenta Jag komme att utgå fån en geometisk konstuktion med vilken man kan konstuea dessa cikla och ta fam fomle fö dessa ciklas diamete och medelpunkte Avslutningsvis peka jag på ytteligae en intessant cikel som tangea tvillingciklana Endast gundläggande klassisk geometi komme att användas Fö att föenkla notationen komme en cikel med medelpunkt i A och med B som en punkt på cikelns peifei att betecknas Figu vå fall av en öppen abelos Ett konstuktionspoblem I Figu ä cikeln Nomalen genom en punkt F på B skä tangea given med diameten B ikeln ha sin medelpunkt D på B i Uppgiften ä att konstuea en cikel som, och stäckan F (på dess vänsta sida; F kan även skäa cikeln

2 B D A F Figu Att konstuea en cikel som tangea cikeln Konstuktion Utgå fån Figu Da stäckan B som skä, cikeln och stäckan F i H Da nomalen fån H till F som skä Föläng stäckan DH tills F i J Bestäm mittpunkten K på stäckan HJ Rita cikeln HK den skä cikeln HK i L edelpunkten i den sökta cikeln fås nu som skäningen mellan cikeln DL och nomalen till B genom K Stäckan D skä i N ikeln N ä den sökta cikeln Bevis fö konstuktion ikeln N ha konstueats så att den tangea nomalen F och cikeln Fö att visa att den även tangea cikeln infö jag följande längdbeteckninga: B, BE och BF a Konstuktionen ä inte beoende av elationen mellan och a Fö beviset hänvisas till Figu 3 Då vinklana BHE och B båda ä äta (peifeivinkla i halvcikla ä HE och paallella och flea likfomiga tiangla kan lätt identifieas an få då diekt att BH ' BH HE BE F a( a och att, som då ge BH ' a och dämed BF B B HK ( a a Av detta fås B ' a ( a a ( a + a Av Pythagoas sats följe sedan att ' D D ' + ( a a ( a + a a( a ikeln N tangea nu cikeln om A ( a a Detta följe diekt av Pythagoas sats eftesom A A ' + ' ( a + a + a( a ( a a VSB

3 H K P J B D A H' E ' F Figu 3 Likfomiga tiangla fö bevis av konstuktionen villingciklana Den fösta genealiseingen av skomakakniven ä fallet nä de två minde halvciklana och R i Figu 4 skä vaanda i en punkt Q (i det klassiska fallet hos Akimedes ä Q tangeingspunkt på B mellan halvciklana enom punkten Q das nu nomalen F mellan B och den stoa halvcikeln Såväl till vänste som till höge om F kan en tangeande cikel inskivas med den metod som beskivits i Konstuktion och ä medelpunkt i espektive cikel H Q S V B D A U F E R Figu 4 villingcikla och tangenten HS Lemma De två inskivna ciklana i Figu 4 ä tvillingcikla, dvs ha samma diamete Bevis Da stäckona HE och SU, dä U ä skäningen mellan cikeln R och B (se Figu 4 Dessa stäcko skä vaanda i V Fyhöningen HVS ä en ektangel eftesom vinklana B, BHE och US ä äta Da linjen genom H och S iangeln HS ä då likfomig med 3

4 tiangeln B Om Q ä den anda skäningspunkten mellan F och cikeln (och med ä nämligen enligt kodasatsen S Q Q' H B (, som medfö att R S H B Eftesom det finns en gemensam vinkel vid följe likfomigheten Punkten V måste då ligga på F då även tianglana SV och F ä likfomiga med B Diagonalen HS till ektangeln HVS delas då av F på mitten, vilket innebä att punktena H och S ha samma vinkeläta avstånd till F Enligt ovan innebä detta att ciklana med medelpunkte i espektive ha samma diameta, dvs ä tvillingcikla VSB Då punktena E och U sammanfalle fås som ett specialfall de klassiska Akimedes tvillingcikla Lemma Linjen genom H och S ä gemensam tangent till de båda ciklana BD och R Bevis Vinkeln DHS ä summan av vinklana DHE och EHS en vinklana DHE och DEH ä lika och då enligt ovan lika med vinkeln B Eftesom också vinklana EHS och B ä lika, så ä vinkeln DHS lika sto som summan av vinklana B och B, dvs ät Analogt ses att vinkeln RSH ä ät VSB Kodasatsen medfö också utifån ( ovan att fån punkten (och fån vilken annan punkt som helst på linjen genom F och ä det lika långa tangente till båda ciklana och R Linjen genom skäningspunktena Q och Q ä potenslinjen till och R Potenslinjen kan också enkelt konstueas då ciklana inte övelappa, vilket utgö det anda fallet av den genealiseade abelosfigu jag kalla en öppen abelos Samma esultat fö tvillingciklana gälle även i detta fall, om F ä på denna potenslinje som i Figu 5 Detta följe också med samma agument dä mellanledet i ( då esätts med de gemensamma längdena av tangentena Eftesom diagonalen HS i ektangeln HVS delas på mitten av F kan potenslinjens läge diekt konstueas med hjälp av mittpunkten på HS (se fotnot nedan Resultaten ovan kan sammanfattas i följande sats: Sats I en öppen abelos, dvs den genealiseade abelosfigu som fås då de minde halvciklana inte tangea vaanda och deas gemensamma tangent esätts av deas potenslinje, ä de inskivna ciklana tvillingcikla (dvs ciklana med medelpunkte espektive i Figu 4 espektive 5 4

5 H S B' ' B D A F R V Figu 5 villingcikla vid potenslinjen Fö att bestämma potenslinjens läge BF och tvillingciklanas diamete använde jag följande beteckninga: B, BB', BF a, B', och tvillingciklanas espektive adie och Hä ä och båda mellan 0 och och obeoende av vaanda (dvs även fallet med de minde ciklana enligt Figu 4 ä möjligt Sats villingciklanas diamete ä halva hamoniska medelvädet av och (dvs stäckona ( B och B i Figu 5, vilket kan uttyckas genom fomeln ( + Bevis ed egenskapen att tangenten fån till espektive cikel och R ä lika ge ( Pythagoas sats, efte föenklinga, att a +, a( och a ( illsammans ge detta även att villingcikelns diamete ä alltså ( + halva hamoniska medelvädet av och (dvs stäckona B och B i Figu 5 ed fås fallet med abelos (dvs B och sammanfalle med F i Figu 5 och fomeln ovan visa att tvillingcikelns diamete då ä halva hamoniska medelvädet av de givna ine ciklanas diameta VSB Konstuktionen ovan av tvillingciklana kan alltså genomföas även i abelos Jag visa emelletid i Figu 6 en enklae konstuktion av dessa Se Appendix fö detaljena 5

6 Konstuktion enom att ita vad jag i Begsten (006b kallade den magiska cikeln få man diekt tangeingspunkten N som skäningen mellan och Fölängningen av BN skä F i P och fölängningen av DN skä nomalen till F genom P i, tvillingcikelns medelpunkt villingcikeln kan itas Konstuktionen av den anda tvillingcikeln genomfös analogt med hjälp av den magiska cikeln B Fö ett bevis av konstuktionens giltighet hänvisas till Begsten (006b P N B D A F R Figu 6 Konstuktion av en tvillingcikel i abelos 3 Ett tangeingspoblem Konstuktione och obsevatione som de som pesenteas i denna atikel kan med födel göas med hjälp av sk dynamiska geometipogam som funnits på maknaden sedan 980- talet, dvs datapogam dä man kan ita och da i geometiska figue fö att undesöka deas egenskape (se tex Begsten, 006a En sådan obsevation ä att om den gemensamma tangenten till ciklana och R i abelos skä B:s fölängning i punkten X, så tangea cikeln med diamete AX de båda tvillingciklana (se Figu 7 B D A F R Y X Figu 7 ikeln med diamete AX tangea tvillingciklana i abelos 6

7 Vid en undesökning med ett dynamiskt geometipogam upptäcke man att denna tangeingsegenskap även gälle i en öppen abelos Jag fomulea detta som Sats 3 Punkten X ä den sk likställighetspunkten till ciklana och R Figu 8 illustea denna punkt i en öppen abelos Fö att bestämma likställighetspunktens läge i detta fall ä hä och båda mellan 0 och med + > men i övigt obeoende av vaanda Detta innebä att båda fallen med de minde ciklana enligt Figu ä möjliga och att punkten X ligge till höge om ciklana H S B D B' ' R X Figu 8 Likställighetspunkten X till ciklana i en öppen abelos Lemma 3 Fö likställighetspunkten X i Figu 8 ä och + > BX +, dä och båda ä mellan 0 och Bevis Låt X x Likfomigheten av tianglana RXS och DXH ge att som diekt ge esultatet då BX + x VSB ( x + (, x + Då likställighetspunkten lätt kan konstueas kan den användas fö att da den gemensamma tangenten till ciklana och R ed hjälp av dessa tangeingspunkte kan potenslinjen konstueas då den måste passea mittpunkten mellan dessa tangeingspunkte (se Figu 5 Sats 3 Den gemensamma tangenten till ciklana och R i en öppen abelos skä B:s fölängning i punkten X ikeln med diamete AX tangea då båda tvillingciklana (se Figu 9, dä F ligge på potenslinjen till och R Nomalena till B genom D espektive R skä i P och R i P (dvs på öve halvciklana Linjen genom P och P skä då B:s fölängning i X Det finns också anda enkla konstuktione av potenslinjen 7

8 H S B D A B' F ' R Y X Figu 9 ikeln YX tangea tvillingciklana vid potenslinjen i en öppen abelos Bevis I Appendix visas att följande fomle ge tvillingciklanas medelpunkte ( x, y och x, y : ( ( x, y ( +, ( + ( + (3 ( ( ( x, y, ( + + ( Fö tvillingciklanas adie visas även dä att ( + Av Lemma 3 följe att cikeln YX ha adien Y och att punkten Y dämed ( + 4 ha x-koodinaten x Y + ed hjälp av Pythagoas sats på tianglana Y 4 ( + och Y (se Figu 0 följe nu Sats 3 om likhetena y + ( xy x ( Y + och + ( xy x ( Y ä uppfyllda, vilket enkelt veifieas genom en diekt algebaisk y kalkyl VSB A B' ' B D ' F ' R Y X Figu 0 Rätvinkliga tiangla Y och Y fö beviset av Sats 3 8

9 Denna algebaiska kalkyl gaantea alltså esultatet att cikeln YX tangea båda tvillingciklana men ge inte, som Descates kanske skulle ha uttyckt det, någon insikt i vafö det föhålle sig så Kanske kan någon läsae hitta en ent geometisk föklaing till detta esultat, dvs ett agument som inte bygge på algebaisk kalkyl Att tangeingsegenskapen i Sats 3 även gälle i en abelos följe diekt genom att välja med 0 < < Att bevisa denna egenskap diekt i detta enklae fall med en abelos kan vaa en lämplig utmaning i en gymnasieklass Refeense Begsten, (006a Euklides i nya kläde om dynamiska geometipogam edlemsutskicket, maj 006, Svenska matematikesamfundet Begsten, (006b agic cicles in the abelos LiH-A-R-006-, Depatment of athematics, Linköpings univesitet Ronaess, K S (007 Akimedes abelos Nomat, 55, 8-85 Ulin, B (005 Pappus en popotionenas jonglö Nomat, 53, 3-0 9

10 Appendix Fö att bestämma potenslinjens läge i den genealiseade abelosfiguen används Pythagoas sats på de ätvinkliga tianglana i Figu, dä Z Z d ä lika långa tangente fån till espektive cikel Då D espektive R ä hypotenusa i två olika tiangla fås ekvationssystemet nedan med B, BB', BF a, B', och att F a( a Potenslinjens läge a kan dä enkelt lösas ut till a + + d a + a( a + + d a + a( a Z Z' B D B' F ' R Figu Potenslinjens läge Fö att bestämma tvillingciklanas diamete använde jag Pythagoas sats på de ätvinkliga tianglana D och A espektive R och A i Figu Detta ge diekt följande två ekvationssystem (det vänsta fö den vänsta tvillingcikeln, det höga fö den höga Hä ä y ' och y ' Obsevea att samma ekvationssystem fås även då de minde halvciklana i den genealiseade abelosfiguen skä vaanda (som i Figu 4 + a + y a + y + + (a + a + + y + y Det vänsta ekvationssystemet ge att a ( och det höga att ( a En ( insättning hä av uttycket fö a ovan bekäfta att Enligt ovan ä ( + ' a( a, vilket av symmetiskäl ge a( a( edelpunkten fö den ' 0

11 vänsta tvillingcikeln få däfö koodinatena (, ( ( och i den höga + + ( (, ( (3 A B D R F ' ' ' B' Figu Rätvinkliga tiangla fö bestämning av tvillingciklanas adie