Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, 22 september 2011, kl

Transkript

1 Tentamen i Matematik, HF9, septembe, kl 8.. Hjälpmedel: Endast fomelblad (miniäknae ä inte tillåten) Fö godkänt kävs poäng av 4 möjliga poäng (betygsskala ä A,B,C,D,E,FX,F). Betygsgänse: Fö betyg A, B, C, D, E kävs, 9, 6, espektive poäng. Den som uppnått 9 poäng få betyget FX och ha ätt att komplettea denna tentamen. Fullständiga lösninga skall pesenteas till alla uppgifte. Examinato: Amin Halilovic Undevisande läae: Jonas Stenholm, Elias Said, Bengt Andesson Följande uppgift (n ) gös av dem som inte klaat KS: Uppgift. Två punkte, A (,,) och B (,, ), ä givna. Bestäm: a) Vekton AB. b) En enhetsvekto i AB :s iktning c) En vekto som ä paallell med AB men baa en tiondel så lång som d) En vekto som ä vinkelät mot AB AB Uppgift. Givna ä vekton v (4,,-) och planet x+y+z. a) Dela upp v i två komposantvektoe: en som ä vinkelät mot planet ( v ) och en som ä paallell med planet ( v ). (Då gälle att v v + v ) (p) b) Bestäm längden av den vinkeläta komposanten Va god vänd.

2 Uppgift. a) Låt u (,, ) och v (,, ). Beäkna längden av u b) Bestäm t så att tiangeln, dä vektoena u (, t, ) och v (,, ) ingå som sido, få aean 6. c) Bestäm a, så att deteminanten till de två matisena A och B få samma väde. a a A a och B a (p) a a a Uppgift 4. a) Linjen ( x, y, (,, ) + t(,,) skä planet x + y + z i punkten P och planet x + y z i punkten Q. Bestäm koodinatena fö punktena P och Q. (p) b) Undesök om punkten A (,, 4) ligge på linjen ( x, y, (,, 6) + t(8, 6, 4) Uppgift. Bestäm (det kotaste) avståndet fån oigo till planet genom punktena (,, ), (,, ) och (,, ). (p) Bestäm också vinkeln mellan x-axeln och planet (anges med accos (.)) (p) (p) Uppgift 6. Lös följande matisekvation (X ä en obekant matis): AX + X B, dä A och 6 4 B 6 (4p) Lycka till!

3 FACIT Uppgift. Två punkte, A (,,) och B (,, ), ä givna. Bestäm: a) Vekton AB. b) En enhetsvekto i AB :s iktning c) En vekto som ä paallell med AB men baa en tiondel så lång som d) En vekto som ä vinkelät mot AB ) a) AB (, ) (,,) (, AB (, b) Enhetsvekto: v (, AB ( ) + ( ) + ( 7 AB 6 c) paallell, kotae vekto: (, (,, ) d) vinkelät vekto: AB s (, ( s, s, s ) s s 6s en möjlig sådan vekto ( bland oändligt många) ä t.ex. (,,) s (, Sva: a) (, b) 7 Rättningsmall fö a-d: Helt ätt ge p. 6 c) (,, ) d) t.ex. (,,) Uppgift. Givna ä vekton v (4,,-) och planet x+y+z. a) Dela upp v i två komposantvektoe: en som ä vinkelät mot planet ( v ) och en som ä paallell med planet ( v ). (Då gälle att v v + v ) (p) b) Bestäm längden av den vinkeläta komposanten a) Komposantvektoe fås med hjälp av pojektion. Pojicea v på planets nomalvektos iktning, så fås den mot planet vinkeläta komposanten. Fomel fö pojektion: poj a F ( F a ) a, dä a ä en enhetsvekto i pojektionsiktningen. (,,) Planets nomalvekto ä (,,). En enhetsvekto i nomalens iktning ä 7 Komposant vinkelät mot planet: (,,) (,,) (,,) v ( v a ) a ((4,, ) ) ((4,, ) (,,)) (,,)

4 {Anmäkning: Den ekvivalenta fomeln v a a a 7 v a (,,) } F a poj a ( F ) a a a ge samma esultat: Komposant paallell med planet: v v v (4,, ) (,,) (,, ) (,, ) (,, ) (64, 4, ) b) Stoleken av den vinkeläta komposanten: v Sva: a) v (,,) och v (64, 4, 4) b) Rättningsmall: a) Beäknat den mot planet vinkeläta komposanten koekt : p b) Koekt beäkning utgående fån esultatet i deluppgift a: p Uppgift. a) Låt u (,, ) och v (,, ). Beäkna längden av u b) Bestäm t så att tiangeln, dä vektoena u (, t, ) och v (,, ) ingå som sido, få aean 6. c) Bestäm a, så att deteminanten till de två matisena A och B få samma väde. a a A a och B a (p) a a a a) i j k u v i k. Längden av vekton u ä dämed u 8 Sva a)

5 b) Tiangelns aea ä A u. Vi beäkna i j k u v t ( t ) i j + ( t) k. Längden av vekton u ä dämed u ( t ) ( t) t 8t + 4 och aean A t 8t + 4. Fån aean A 6 ha vi t 8 t ( efte kvadeing) t 8t t 8t + 8 t 4t + 4 t, Sva b) t. c) det A det B a a a + a 6 och a + a a 4a a ± a + a ± ± 7 Sva: a) b) t c ) a och a Rättningsmall: a) Allt ätt: p b) Minde slavfel unde lösningsgång inga poängavdag. c) Rätt andagadsekvation ge p. Resten ä ätt ge p. Uppgift 4. a) Linjen ( x, y, (,, ) + t(,,) skä planet x + y + z i punkten P och planet x + y z i punkten Q. Bestäm koodinatena fö punktena P och Q. (p) b) Undesök om punkten A (,, 4) ligge på linjen ( x, y, (,, 6) + t(8, 6, 4) a)

6 Fö att få P och Q koodinate substituea vi x, y och z + t i ekvationen x + y + z esp x + y z och löse ut t. + + ( + t) t 7 P (,, ) + ( + t) t Q (,, ) Rättningsmall: p fö vaje punkts koodinat. b) Om punkten A ligge på linjen, innebä att det finns samma t-väde som bestäms så att punktens x-koodinat hamna på linjen. Då ska också fö samma t-väde både y- och z- koodinaten ligga på linjen. Alltså: + 8t t. Insättning av t-vädet i linjens ekvations y- och z- koodinat ge: y + 6( ) esp z 6 + 4( ) 4 vilket visa att y- och z- koodinaten hamna ätt. Punkten ligge alltså på linjen. Rättningsmall: Fel bevis p avdag Uppgift. Bestäm (det kotaste) avståndet fån oigo till planet genom punktena (,, ), (,, ) och (,, ). (p) Bestäm också vinkeln mellan x-axeln och planet (anges med accos (.)) (p) Om de givna punktena i planet kallas A, B och C, så få man en nomalvekto till planet med n AB AC AB (,,) (,,) (,) AC (,,) (,,) (, ) i j k n AB AC i ( ) + j ( ( ) ( ) ) + k ( ( ) ( )) i ( ) + j () + k ( ) (,, ) Nä man använde planets nomalvekto och punkten (,,) fås planets ekvation: ( x ) + ( y ) ( z ), d.v.s. x + y z elle x y + z Avståndet: ( Metod, fomelblad). (.) Avståndet d fån punkten A ( x, y, z) till planet Ax + By + Cz + D ä Ax + By + Cz + D + d A + B + C + ( ) + 9 Avståndet: ( Metod ).Bilda en linje utgående fån oigo som skä planet unde ät vinkel:

7 x t ( x, y, (,,) + t (,, ) t (,, ), d.v.s. y t z t --- dä ( x, y, ä koodinatena fö en punkt på linjen. Koodinate fö skäning mellan denna linje och planet fås genom insättning av linjens ekvation i planets ekvation: ( t ) + t ( t) 9t t 9 Skäningspunkten ligge då i: (,, ) 9 Vekton fån oigo till skäningspunkten ä: (,, ) (,,) (,, ) 9 9 Avståndet fån oigo till skäningspunkten ä: ( ) + + ( ) Altenativ lösning fö avståndet b) Vinkeln mellan x-axeln och planet fås genom att föst beäkna vinkeln mellan x-axeln och planets nomalvekto. En iktningsvekto fö x-axeln ä (,,). Skaläpodukt: u v u v cos θ u v cosθ u v (,, ) (,,) cosθ ( ) + + ( ) Cosinusvädet ä negativt. Då ä vinkeln stöe än 9 gade. Vinkeln mellan x-axeln och planet fås som: accos ( ) 9 9 Sva: a) b) accos ( ) Rättningsmall: a) Rätt tankegång ge p b) Beäknat vinkeln mot nomalen: -p Uppgift 6. Lös följande matisekvation (X ä en obekant matis): AX + X B, dä A och B 6 (4p) 6 4 Föst faktoisea vi ekvationens vänsteledet AX + X B ( A + I ) X B (ekv)

8 Matisen ( I) A ha deteminanten det(a+i) 6 4 och ä dämed inveteba. Däfö kan vi använda invesmatis och lösa (ekv) : B I A X ) ( + (*) Vi beäkna ) ( + I A ) 9 (elle / / 9 / / / / och substituea i (*) B I A X ) ( Sva: X Rättningsmall: Koekt faktoiseing B X I A + ) ( ge p Koekt invesen till ) ( I A + ge p allt koekt (4p)