REDOVISNINGSUPPGIFT I MEKANIK

Transkript

1 Chiste Nbeg REDVISNINSUIFT I MEKANIK En civilingenjö skall kunna idealisea ett givet vekligt sstem, göa en adekvat mekanisk modell och behandla modellen med matematiska och numeiska metode I mekaniken lä man sig att veklighetens sstem motsvaas av teoetiska modelle och med natuens pincipe kan man ställa upp en öelseekvation fö sstemet Med numeiska metode kan man hitta och gafiskt åskådliggöa lösninga även till ekvatione, som inte gå att lösa diekt analtiskt esentation av poblemet Motoe och maskine alsta oftast icke önskväda vibatione Tänk dig en moto med oteande dela som stå på ett golv i ett um Föutom ljudet i luften geneeas vibatione i golvet och i ummet Vilken fekvens ha dessa vibatione? Bestäms den av motons vavtal, ummets fjäding och dämpning elle av anda egenskape hos ummet? Hu stoa bli vibationena fö olika vavtal och olika um? Hu kan vibationena dämpas? Betakta ett hjul som otea king en ael, som hålls upp av ett stativ på ummets golv Hjulet, som en clinde, ä inte pefekt så att masscentum ligge lite utanfö clindens geometiska centum Rummet stå på ett fjädande och dämpande undelag och antas baa kunna öa sig vetikalt Att hjulets masscentum ligge utanfö aeln kan sägas motsvaas av en punktmassa på ett avstånd fån aeln Eftesom denna patikel vid cikelöelsen också ha en vetikal acceleationskomponent måste det finnas en vetikal kaftkomponent på hela sstemet, hela ummet I patikelns övesta läge kävs alltså en neåtiktad kaft fö att hjulaeln skall vaa i vila Utföande Du abeta dig igenom alla föbeedelse och huvuduppgiften och skive en lösning till samtliga Huvuduppgiften käve också att du skive ett matlabpogam Den skiftliga appoten ställs det höga kav på Allt abete få gäna göas i gupp men individuellt ansva fö vaje lösning gälle Den individuella muntliga edovisningen innebä att det ställs föståelsefågo på den skivna lösningen och matlabbeäkningen

2 Uppgiften ä fö enkelhets skull uppdelad i deluppgifte Fullständig edovisning av alla föbeedelse och huvuduppgift skall inlämnas Föbeedelse l 0 jämviktsläge En kopp med massan m kan öa sig utan motstånd i ett vetikalt spå Den hänge i en lätt fjäde, som ha fjädekonstanten k och den natuliga längden l Det betde att om fölängningen av fjäden äknat fån den natuliga längden ä l, så ä den åteföande kaften k l Vi vill skiva upp kaftekvationen (elle öelseekvationen) fö koppens öelse Den vetikala koodinataelns oigo kan läggas på olika sätt Innan man skive upp kaftekvationen måste en filäggningsfigu itas a) Rita en filäggningsfigu med oigo i den punkt dä koppen befinne sig då fjäden ha sin natuliga längd Koppens läge ges då av koodinaten Skiv upp kaftekvationens -komponent Acceleationen betecknas b) Vid jämvikt, alltså då koppen ä i vila, ä acceleationen noll Vilket ä då jämviktsläget 0? Kaftekvationen i a) gälle föstås även vid jämvikt c) Rita en filäggningsfigu med oigo ' i den punkt dä koppen befinne sig då den ä i jämvikt Koppens läge ges av koodinaten bsevea att inte ä fjädefölängningen Skiv föst upp sambandet mellan koodinatena och Bestäm sedan sambanden mellan ẏ och ẋ samt och d) Skiv upp kaftekvationen med som vaiabel Utnttja sambandet mellan 0, mg och k fö att sedan föenkla kaftekvationen I denna na föenklade ekvation sns inte de statiska kaftena, dvs kaftena vid jämvikt Man kan alltså edan fån böjan botse fån dessa kafte och baa ita in de dnamiska kaftena i filäggningsfiguen Vilken ä den dnamiska kaften?

3 Föbeedelse l k 0 c älle föegående esonemang även om sstemet också innehålle en s k viskös dämpae med dämpningskonstanten c? En sådan dämpae ge en motståndskaft, som ä popotionell mot faten opotionalitetskonstanten ä c ö alltså om och edovisa lösningen till föegående uppgifte a), b), c) och d) fö detta na fall! Du ha föhoppningsvis nu visat att de statiska kaftena mg och k 0 inte behöve tas med i öelseekvationen fö detta sstem, om lägesändingen mäts fån jämviktsläget Fö fjädekaften ä det baa den dnamiska delen, den del som uppstå på gund av avvikelsen fån jämviktsläget, som skall vaa med Den viskösa kaften ä ju helt och hållet en dnamisk kaft Föbeedelse z θ En liten kula med massan m sitte fast i en oelastisk tåd med längden Tådens anda ände ä fastsatt i en fi ögla, så att kulan kan beskiva en cikelöelse på ett glatt hoisontellt bod Vi vill bestämma den kaft S vamed tåden påveka öglan Låt tådens vidningsvinkel äknad fån en efeenslinje ( -aeln) vaa θ Vinkelhastigheten θ kan kallas ω a) Rita cikelöelsen sett uppifån, filägg kulan och infö de vekande kaftena på kulan b) Infö i samma figu basvektoena e t, e n och e b i det natuliga koodinatsstemet! c) Ställ upp kaftekvationens komponente i det natuliga sstemet! å öve till vaiabeln θ! Vad kan man säga om vinkelhastigheten θ? Hu sto ä tådkaften? Hu sto ä kaften på öglan?

4 Föbeedelse m 2 Betakta nu ett hjul som otea med en konstant vinkelhastighet ω king en fi hoisontell ael Aeln ä undestödd av ett stativ, vas massa kan fösummas Hjulets massa ä m 2 Stativet stå hela tiden på ett hoisontellt bod å hjulet, på avståndet fån aeln, finns en patikel med massan Bestäm hu nomalkaften N fån det hoisontella bodet på stativet vaiea med tiden genom att följa nedanstående poblemuppdelning i a), b) och c) a) Rita en filäggningsfigu dä hela sstemet hjul + patikel + stativ filagts fån bodet De tte kaftena skall inföas Eftesom nomalkaften N ä en tte kaft bode den kunna bestämmas med kaftekvationen fö hela sstemet, F = ma dä F ä den tte kaftsumman, a masscentums acceleation och m den totala massan m + m 1 2 b) Lägg en -ael vetikalt uppåt med oigo i samma nivå som otationsaeln Skiv patikelns koodinat uttckt i vinkeln Tidsdeivea fö att få ẋ och Använd masscentums definition och bestäm acceleationen uttckt i vinkelhastigheten ω och tiden t c) Sätt in i kaftekvationens -komponent och bestäm ett uttck fö nomalkaften N Ange nomalkaftens stolek fö = 0, = π/2, = π samt = 3π/ 2 d) Filägg hjulet fån stativet Kävs det något kaftpasmoment M 1 fö att otea hjulet med den fastsatta patikeln med en konstant vinkelhastighet ω? I så fall, vilket kaftpasmoment kävs? Vafö sns inte detta kaftpasmoment i kaftekvationen? Ett kaftpasmoment ha ju sitt uspung i kafte e) Behövs det någa vetikala vägga fö stativet? Ha sstemet någon hoisontell acceleation?

5 Huvuduppgift m 2 jämviktsnivå Ett hjul med massan m 2 otea med en konstant vinkelhastighet ω king en hoisontell ael Aeln ä undestödd av ett lätt stativ som i sin tu stå på ett sstem av fjäda och dämpae Fjädana ha samma vekan som en fjäde med fjädekonstanten k och dämpana kan i äkningana esättas av en dämpae med dämpningskonstanten c Hela sstemet stå på ett hoisontellt bod å hjulet, på avståndet fån aeln, finns en patikel med massan Bestäm öelseekvationen fö hjulets (otationsaelns) vetikala öelse! a) Låt -aeln peka vetikalt uppåt Lägg oigo dä otationsaeln befinne sig vid jämvikt Koodinaten betde alltså aelns avvikelse uppåt äknat fån jämvikt Låt vaa koodinaten fö patikeln Uttck föst i koodinaten och vinkelvidningen Tidsdeivea sambandet fö att få ett uttck fö acceleationen b) Rita en filäggningsfigu fö sstemet hjul (inklusive patikel) + stativ, dä alla tte vetikala kafte ä inföda Endast de dnamiska kaftena behöve beaktas! c) Ställ upp kaftekvationens -komponent dä acceleationen fö sstemets masscentum ingå Utnttja definitionen av masscentum fö att skiva acceleationen uttckt i och d) Skiv svängningsekvationen på standadfom: + c m + k m = f() t e) Skiv ett matlabpogam fö svängningsöelsen Låt t e m = 10 kg, = 001 kg, = 010 m, ω = 30 ad/s Du ska kunna edovisa (plotta och diskutea) lösningens utseende fö olika val av fjädekonstant k och dämpningskonstant c