Partikeldynamik Problemsamling Lösningar

Transkript

1 Patikeldynamik Poblemsamling Lösninga a Chiste Nybeg MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas

2 Patikeldynamik Poblemsamling LÖSNINGAR TILL PROLEM I KAPITEL 6 LP. Acceleationen söks. Vi utnyttja definitionena a hastighet: ẋ d dt och acceleation: d dt Hä ä läget en funktion a tiden. 3 = a + bt + ct ẋ = + bt + 3ct = b + 3ct = b + 6ct LP. O Vi utnyttja definitionena på hastighet: ẋ d dt och acceleation: d dt Hastigheten fås genom integeing a acceleationen. Läget fås genom integeing a hastigheten. De unde integationsgänsena bestäms a begynnelseillkoet: Vi integea hä aje tem fö sig: t = = = = k + pt ẋ = k t pt + 3 d = t + kt + pt 3 = d + t + kt + pt 6 3 ẋ = + kt + pt Kontollea esultatet genom att deiea! MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas

3 LP.3 O h egynnelseillkoet ä giet: t = = = Acceleationen (=tyngdacceleationen g ) ä också gien. Hastigheten fås genom att utnyttja definitionen på acceleation: d dt Vi utnyttja begynnelseillkoet id integeingen: ẋ = g = gt + = gt + h = h ge tidpunkten t = och sluthastigheten = gt = gh. g Stenana ö sig på samma sätt. Tidsinteallet mellan plasken ä däföτ. Sluthastigheten ä = gh LP.4 O Om hastigheten ä gien kan acceleationen fås med deieing. Läget fås med integeing och då behös också en integationskonstant. egynnelseillkoet ä: t = = a) Acceleationen fås genom att utnyttja definitionen a acceleation: d dt ẋ = kt + ct = kt + c b) Läget fås genom att utnyttja definitionen på hastighet ẋ = d d t. ẋ = kt + ct 3 = kt + ct + 3 MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas

4 LP.5 d Station s O Det kan aa natuligt att studea agnens och tågets öelse a fö sig. Vi lägge oigo id stationen, beteckna tågets fat och anta att agnens acceleation ä = a. Tågets -koodinat fås enkelt i den höga kolumnen men aken faten elle tiden t då agnen nå stationen ä kända. = a Vagn ẋ = at + = at + t d ẋ = at + = = at + t d = t = a + a = d a a d a = ad = t = = d a Tåg = ẋ = = t d = t d = d d = d etydligt enklae bli lösningen om man föst studea hastighet-tid-diagammet fö öelsena. Hastighet agn tåg t Tid Vagnen bomsas med konstant acceleation. Hastigheten ata då ätlinjigt. Tågets hastighet ä konstant. Aean unde hastighetskuona ä detsamma som stäckan. Tåget ha däfö kommit dubbelt så långt nä agnen nå stationen. MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 3

5 LP Acceleationen ä gien: = µ g. d Hastigheten fås genom integeing a acceleationen. Läget fås genom integeing a hastigheten. De unde integationsgänsena bestäms a begynnelseillkoet: t = = = Vi lägge alltså oigo i den punkt dä stenen ä id t =. Vi få = µ g ẋ = µ gt ( ) ẋ = µ gt = ( t ) µ gt = t gt µ Med åt al a oigo motsaas glidstäckan a lägeskoodinaten då hastigheten ä noll. Denna tidpunkt kallas t ( ẋ = ) µ gt = t = µ g Läget id denna tidpunkt ä då = t µ gt = = µ g µ g g g µ µ µ g = d µ g µ g = Detta ä en onödigt kånglig metod som i ett allmännae fall bli mödosam. Det gälle hä i stället att inse att tiden ä helt ointessant. Den finns inte på något sätt med i poblemfomuleingen. Vi söke ju i pincip läget som funktion a hastigheten. Med beteckningen ẋ kan acceleationen skias = d t = d d t = d d d d d Alltså, lösningen bli d g d = µ d = µ gd d = µ g d = µ g ( ) Läget då hastigheten = ä då = µ g MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 4

6 LP A A d d O Vi betakta föst bilanas öelse a fö sig. Vi lägge oigo dä den bake bilen ä id omköningens böjan. Omköningen antas aa aslutad efte tiden t. A = a A ẋ = A at + = A at + t + = ẋ = = t + d = t d Vid tiden t = t gälle alltså = d. Insättning ge A at + t t d= d at = d t 4d = a 4d d ( A) = a t t a + 4 = ( A) = d+ t= t a d a Något enklae bli lösningen om man studea den elatia öelsen, den omköande bilens öelse elatit den omköda. +at Hastighet t Tid ( el) A = a ( ẋel) A = at ( el) = at d A ( ) = d ge el A at = d A ha köt stäckan d länge än. Denna stäcka motsaas a tiangelaean i diagammet. Då tiden t alltså ä känd kan den totala stäckan fö A också bestämmas u diagammet. MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 5

7 LP Acceleationen ä gien: = g. egynnelseillkoet ä h O t = = h = åde hastigheten och läget fås genom integeing. egynnelseillkoet ge integationskonstantena = g ẋ = gt + = gt + t + h Vid ilken tidpunkt intäffa ändläget? ẋ = ge t =. g Insättes detta fås läget elle den maimala höjden g = h g + g + = + h g Vid ilken tidpunkt nå hissen botten läget? = ge gt + t + h = t t gh = ± + g g g Sätt in detta i hastighetsuttycket ẋ = gt +! g t h g h = ẋ g gh = + + g g g + ẋ gh = + På uppägen liksom neägen ä faten id fitt fall fån höjden h ä gh. = h. Hastighetstillskottet efte d Altenatit utnyttjas att acceleationen kan skias g d = d = gd = + gh =± + gh MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 6

8 LP Hastigheten ä gien: ẋ = e kt Vi utnyttja definitionena a hastighet: ẋ d dt och acceleation: d dt a) Acceleationen fås genom tidsdeieing: d kt = ( k) e = ke dt b) Läget fås med integeing. egynnelseillkoet ä: t =, =. kt d dt = e kt kt d = e dt t = t+ k e kt t = t+ ( k e kt ) = t+ k e kt LP LP. 6. egynnelseillkoet ä giet t = = = ä hastig- Unde tidsinteallet,τ heten konstant: d ẋ = = = t τ t=τ Efte denna tid ä etadationen konstant: = Vid t = t ä = d d = ( t ) τ + ( t )+ τ τ d = t τ t + Om eaktionstiden ä τ = t så bli aståndet d = t t Om eaktionstiden ä τ = så bli aståndet d = +t MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 7

9 LP LP. 6. A Hylsans läge ges a koodinaten = acos () O a a Hastigheten bli d = ( acos )= dt d asin = asin dt () Detta ä hastigheten som funktion a tiden. Vid den aktuella tidpunkten fås = aωsin (3) Obseea att ω ä ett ögonblicksäde på inkelhastigheten. Nä hastigheten tidsdeieas få i inte anta att inkelhastigheten ä konstant. Vi deiea helle uttycket () dä ä en tidsfunktion. Acceleationen bli d = ( asin )= acos asin (4) dt = acos ω asin α (5) = a ω cos + αsin (6) Kommentae: Att stången OA ha en inkelhastighet king aeln id O behöe inte betyda att den gå hela aet unt. Den kan t e sänga fam och tillbaka någa gade king en iss inkel. Om inkelhastigheten ä konstant isa (3) att en cikelöelse hos A motsaas a en ätlinjig sinusfomad sängning hos hylsan. MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 8

10 LP O Acceleationen ä gien som funktion a hastigheten: d dt = k 3 () egynnelseillkoet ä t = = = Det gå inte att integea högeledet i ek () med aseende på tiden, eftesom det foda att hastigheten ä en känd funktion a tiden. Sepaea aiable! d 3 = kdt () Tidsintegation ge d t = k dt 3 (3) = kt (4) + = kt (5) = + kt (6) = + kt (7) b) Med definitionen på hastighet få i in lägeskoodinaten och (7) bli d = + kt dt Ekationen gå att tidsintegea diekt: t d = +kt dt = + kt k = + kt k t (8) (9) () () Vid t = ä = och ẋ =. egynnelseillkoet ä alltså satisfieat. Med tidsdeieinga a saet kan man också få en kontoll. MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 9

11 LP Acceleationen ä gien som funktion a hastigheten: d dt = a k () egynnelseillkoet ä t = = = Det gå inte att integea högeledet i ek () med aseende på tiden, eftesom det foda att hastigheten ä en känd funktion a tiden. Eftesom tiden inte ä intessant i poblemet älje i att utnyttja det altenatia uttycket fö acceleation: d d () dt d Ek () kan då skias d a k d = (3) Sepaea aiable och integea! d = d (4) a k Multiplicea med k så att täljaen ä nämnaens deiata! Integationsgänsena ä = och kd = k d (5) a k = samt = och =. ln a k a = k (6) k = ln k a MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas

12 LP d A O Acceleationen ä gien som funktion a hastigheten: d dt = k () egynnelseillkoet ä = d/ t = = a) Det gå inte att integea högeledet i ek () med aseende på tiden, eftesom det foda att läget ä en känd funktion a tiden. Med beteckningen kan acceleationen med kedjeegeln emelletid skias d t d d t d d d d d () Insättning i () ge d k d (3) d = kd d = kd (4) d/ k k d = d = 4 (5) = d ge d d = k d 4 3 k (6) b) Ek (5) kan skias d d = k dt 4 (7) Sepaea aiable! d t d = dt (8) d/ d k 4 d d t = (9) k d/ d 4 Integaltabell ge d d t = ln + k 4 d/ () t = 3 d d+ d k 4 ln ln () 3 d+ d t = ln 4 k d () Sa: t = ln( + k 3) MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas

13 LP. 6. O Acceleationen ä gien som funktion a läget: k k = m () egynnelseillkoet ä: Vid t = ä = = Vi söke den maimala fjädefölängningen. Då fjädens längd ä maimal ha agnen ett ändläge, ds hastigheten måste aa noll. Lösningsmetod bli alltså att bestämma läget som funktion a hastigheten och sedan bestämma läget då hastigheten ä noll. Det ä anligt men ej nödändigt att inföa beteckningen ω = km /. På det sättet slippe man bl a otuttyck i själa lösningen. Alltså, giet ä = ω () ilda en fösta integal! Multiplicea med ẋ = ω (3) Tidsintegea! ẋ = ω (4) Omskining ge ẋ = ω + (5) Vändläge innebä att ẋ =. Insättning i (6) ge = ẋ = ω (6) ω = ω = ω Med de uspungliga beteckningana fås = m k Kommenta: m m Enligt ek () ä dim = T -, afö dim LT T L k k = =. Resultatet isa att den maimala fölängningen bli stöe om Vagnen ha sto massa, ds sto töghet mot hastighetsändinga, Fjäden ä mjuk, ds fjädekonstanten k liten. MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas

14 LP y Vid fitt fall ä acceleationen a = ge y dä g ä tyngdacceleationen. h d Med figuens koodinatsystem bli begynnelseillkoet t =,, = =(,, ) = = Komponentis tidsintegation, med hänsyn taget till begynnelseillkoet, a den gina acceleationen ge: = () y = g (4) ẋ = () ẏ = gt + (5) = t + (3) y = gt + (6) Nä säcken nå golet ä y = h. Den tid det ta att falla till golet fås då u ek (6): h = gt t h = (7) g Det sökta aståndet d fås då om tiden t h = sätts in i ek (3): g h d= t d = g (8) MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 3

15 LP y allongens koodinate ä gina: = t () y = k () Läget som funktion a tiden ä då känt, eftesom i () ges a () och samt k ä konstante enligt teten. a) Lägeektons komponente motsaas a ballongens koodinate: b) Enligt definitionen på hastighet = (, y, z)= ( t, k, )= ( t, k t, ) = d dt fås (3) = (, y, z )= (, k t, ) (4) c) Enligt definitionen på acceleation a = d dt fås d a = (, k t, )= (, k, ) dt (5) Om koodinatsystemet ä angiet kan man saa med ektoena i komponentfom. Om minsta teksamhet föeligge, te om flea koodinatsystem ha anänts, ä det bätte att ange esultatet med basektoena: Sa: a) = te + k t e y b) = e + k te c) a = k e y y MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 4

16 LP y Vi ska äkna på säckens öelse. Vid fitt fall utan luftmotstånd ä acceleationen a = ge y dä g ä tyngdacceleationen. egynnelseillkoet ä giet i teten. Säcken ha samma läge och hastighet som ballongen, då den släpps. Med figuens koodinatsystem bli begynnelseillkoet t = = (, h, ),, = h Komponentis tidsintegation, med hänsyn taget till begynnelseillkoet, a den gina acceleationen ge: = () y = g (4) ẋ = () ẏ = gt + (5) = t + (3) y = gt + t + h (6) Säcken nå maken då y =. Detta illko i ek (6) ge tidpunkten t : gt + t + h = (7) Vi löse andagadsekationen: t g t h = t g t h = ± g g + g gh = + + (8) g Säckens fat ä = + y Insättning a () och (5) ge = + gt + Vid tidpunkten t ä faten = + + (9) () ( t= t ) = + gt + g t gt () Med ek (7) fås ( t= t ) = + + gh () estämningen a faten kan göas enklae. Vi et ju att y bestäms som funktion a läget enligt dy y g d = g y yd y = d Fö y = fås då = + gh. y = y = gy gh ä konstant, medan MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 5

17 LP y Giet: ẏ = () y = () ankuans ekation ä + y = (3) A a P Sambandet mellan ẋ och ẏ kan fås med diffeentieing a ek (3): + yy = (4) elle y = y (5) y ẋ (6) Faten ä = y + y = y + = + = = y (7) (I stället fö diffeentieingen kan man utnyttja inkeln och skia = sin, dä = cos och tan = y) / Fö att bestämma acceleationen tidsdeiea i ek (6). Vi et ju att y = Sätt in () och (5) och utnyttja (3)! = y + y (8) y / + y = = = 3 3 y 3 (9) Acceleationens stolek ä a= + y men eftesom y = ä a= a = ( y ) 3 / MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 6

18 LP y a e t Infö det natuliga koodinatsystemet med koodinaten s = id tiden t = då bilen stata, och basektoena e t och e n enligt figu. e n s egynnelseillkoet ä O ρ t = s = s = Acceleationen ges a det allmänna uttycket s a = set + en () ρ Den tangentiella acceleationen ä gien i teten: a = s s = d t a t = d t d dt = () Acceleationen i nomaliktningen bestäms enligt () a faten och kökningsadien ρ. Faten fås genom integeing a (): = t at + (3) Insättning i () med utnyttjande a () och (3) ge at t a atet e a e e ρ ρ = + = + n t n (4) Acceleationens stolek ä alltså a t a= at + a a t = + ρ ρ 4 (5) Speciellt fö t = 6 s, ρ = 6 m och a = m/s fås a = 44. m/s 3. m/s. MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 7

19 LP ω Acceleationen i det natuliga systemet ges a det allmänna uttycket s a = set + e ρ n () I det hä fallet ha i en cikelöelse med adien (kökningsadien). Eftesom båglängden ä s=, så kan faten och fatökningen pe tid uttyckas i inkelhastigheten: s =, s =. Acceleationens nomalkomponent kallas ofta fö centipetalacceleationen: s a = = n = () ρ a) Vid en iss inkelhastighet = ω bli centipetalacceleationen lika med den föeskina acceleationen a= g. Insättning i () ge g = ω (3) g ω = (4) Enheten fö inkelhastighet ä ad/s. Vatalet fås genom att diidea med π och multiplicea med 6. Alltså, antalet a pe minut bli 6 π g (5) Nämeädet fö =. 5 m och g = m/s bli 9 pm b) Om inkelacceleationen ä konstant = α fås med integeing a definitionen på inkelacceleationen dω α dt = (6) ω = αt (7) Vinkelacceleationen bli alltså α α = g t ω = t. Insättning a inkelhastigheten oan ge elle α 33. ad/s MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 8

20 LP Det allmänna uttycket fö acceleationen i det natuliga systemet ä 8 s a = set + e ρ n a 4 Faten fö aje del a bandet måste aa en och densamma. Eftesom inkelhastigheten ä känd fö den undesta cylinden ä faten ṡ = 5 ω () Konstant fat ṡ = () ω 5 Acceleationen (i nomaliktningen) ä alltså stöst då kökningsadien ρ ä minst, ds fö den minsta cylinden a ma s ρ min 5ω = = = 5ω Numeiskt fås a ma = m/s 3.4 m/s MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 9

21 LP Det allmänna uttycket fö acceleationen i det natuliga systemet ä s a = set + e ρ n () P A R d P dt R a A Tummans inkelhastighet ä = = R R Vinkelacceleationen ä A a A A = a A R (men aa a eftesom också ha en acceleation inåt) Faten fö punkten P ä A P = = R d dt P a A = = R (men d dt P a, eftesom P också ha en centipetalacceleation) P Insättning i ek () ge a = e e R a + R P A t A n a = e e R a + R P A t A n MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas

22 LP e t Acceleationen i det natuliga systemet ges a det allmänna uttycket e n s a = set + e ρ n () a Hä antas tågets fat aa konstant så att ρ och ṡ = = 36 km/h () ṡ = (3) Acceleationen ä då enligt ek () ṡ a = en = e ρ ρ n (4) Acceleationens stolek få enligt teten ej öestiga ädet g. Detta illko kan skias g ρ < elle g < ρ (5) ilket ge en minsta tillåten kökningsadie ρ min = g (6) Numeiskt fås 36 km/h m/s ρ min = = = = g m/s m/s m (7) Sa: Kökningsadien måste aa stöe än ρ min = g elle ρ min = km MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas

23 LP y a e t e n b Acceleationen ges i det natuliga systemet a det allmänna uttycket s a = set + en () ρ Hä ä emelletid bankuans ekation gien i det katesiska koodinatsystemet så att i böja med att bestämma uttyck fö hastighet och acceleation i detta system. Vi et att den hoisontella hastighetskomponenten L ä konstant: ẋ = () Det betyde att acceleationen i -iktningen ä noll, =, ds koppens acceleation ä alltså etikal, a = y e y! Vi utnyttja detta y = bsin (3) L π π bπ π y = bcos = cos (4) L L L L bπ π π bπ π y = sin = sin L L L L L (5) Nu ä b = L/3 och läget ä giet: = L/3. Vi få alltså fö detta läge Lπ π π y = cos = (6) 3L 3 6 Lπ π 3 π y = sin = (7) 3L 3 6L Faten kan skias = + y = + = + π π = 36 + π (8) Hastighetsekton bilda i detta läge inkeln med -aeln. y y π tan = = = 6 sin = π π + 36 och cos 6 = π + 36 (9) Pojicea nu acceleationen på tangential- och nomaliktningen: 3 3 π π 3 π at = a et = y sin = = 6L π L π π 6 3 π an = a en = y cos = = 6L π + 36 L π + 36 () () Kökningsadien kan nu ehållas u (), (8) och () a = ( 36 + π ) n ρ = = ρ a 36 3 π 3 / n L MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas

24 FARA 5 - LP ρ e n e t ω Vid fitt fall ä koppens acceleation lika med tyngdacceleationen g. Vid en cikelöelse med konstant fat ä acceleationen iktad in mot cikelns centum. Acceleationen i det natuliga koodinatsystemet skis s a = set+ e ρ n Kökningsadien fö bankuan ä ρ. Faten ä konstant så att ṡ =. Acceleationen kan då skias a = en ρ Att siktlinjen ändas betyde att hastighetsekton ända iktning. Hastigheten ä inkelät mot nomaliktningen e n och ids alltså med samma inkelhastighet = ω som lägeekton fån cikelns centum. Vid cikelöelse ä faten lika med adien gånge inkelhastigheten. Faten kan alltså skias s = = ρ. Insättes detta i acceleationsuttycket fås a /ω n = Vid fitt fall ä denna acceleation lika med tyngdacceleationen g. g /ω ω = g ω = g = MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 3

25 LP Hastigheten i cylindekoodinate ä id plan öelse = e + e () e e Fö komponentena fås då med hänisning till figuen = sin () = cos (3) Fö det gina ögonblicket gälle då espektie = sin β (4) = Rω cosβ (5) e a Acceleationen i det planpoläa koodinatsystemet skis + ( + ) a = e e (6) e Fö komponentena fås då med hänisning till figuen (i et att acceleationen ä iktad etikalt uppåt) asin = (7) acos = + (8) Fö det gina ögonblicket gälle då (utnyttja ek (4) och (5)) asin β = a Rω Rω sin β acosβ = Rα + cosβ Det fösta a dessa samband äcke fö att bestämma acceleationens stolek a = a Rω sin β MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 4

26 LP O ω P e e Röelsen ske i ett plan så att den kan beskias med planpoläa koodinate. I de allmänna uttycken fö hastighet och acceleation i planpoläa koodinate ingå koodinatena och samt deas tidsdeiato. Vi böja alltså med att bestämma dessa tidsdeiato. Vinkelhastigheten ä konstant: = ωt = ω = () ankuan ä gien: a b = acosh (a) elle a e a e e ωt e ωt = ( + )= ( + ) (b) Tidsdeieing ge om () utnyttjas: aω ωt ωt = ( e e )= aωsinhωt aω ωt ωt = ( e + e )= aω coshωt (3) (4) a) Det allmänna uttycket fö hastigheten i cylindekoodinate ä Insättning a sambanden (-3) ge = e + e + z e (5) z = aωsinhωte + aωcosh ωte (6) b) Det allmänna uttycket fö acceleationen i cylindekoodinate ä Insättning a sambanden (-4) ge + ( + ) + a = e e z ez (7) + ( + ) a = aω coshωt aω coshωt e aω sinh ωt e (8) a = aω sinhωte c) Ek (a) ge b = acosh cosh = b b a sinh = a a ty sinh + cosh = b a Insättning i (8) ge a = aω e a = ω b a e a MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 5

27 LP e P Röelsen ske i ett plan så att den kan beskias med planpoläa koodinate, ett specialfall a cylindekoodinatsystemet. Vinkelhastigheten ä konstant: e = ω = () ankuan ä gien = c bcos () O Tidsdeieing ge om () utnyttjas = = b sin bωsin (3) cos = bω = bω cos (4) Det allmänna uttycket fö hastigheten i cylindekoodinate ä = e + e + z e (5) z Insättning a sambanden (-4) ge = bωsine + ( c bcos ω ) e (6) och faten bli = = + = b ω sin + c bcos ω (7) = ω b + c bccos (8) Det allmänna uttycket fö acceleationen i cylindekoodinate ä Insättning a sambanden (-3) ge + ( + ) + a = e e z ez (9) [ ] + ( + ) a = bω cos c bcosω e bωsin ωe = ( bcos c) ω e + bω sine () Stoleken a acceleationen ä då a= a = a + a = bcos c ω 4b ω sin () a = ω 4b + c 4bccos () Fö = fås = ( c b)ω ; a = ω 4b + c 4bc Fö = π fås = ( c+ b)ω ; MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 6

28 LP L A Faten begänsas a illkoet att acceleationen inte fö någon bil få öestiga a = 8 m/s. estäm den tid det ta fö bilana att klaa a hela kuan som begänsas a linjen CC. A A - Det allmänna uttycket fö acceleationen i det natuliga systemet ä A A a n e t e n L s a = set + e ρ Hä ä faten konstant så att n A A ṡ = () Acceleationen i nomaliktningen ä fö A: ( a ) = n A A A () fö : ( a ) = n (3) Den maimala faten ges då a sambandet fö A: A ma = a A = Ama a A (4) fö : = a = ma a (5) ma Tiden fö hela stäckan ä t t A π A = = π a A Ama = + π + A = π a a ma A (6) (7) Numeiskt fås 7 t A = π s. s t = + 3 3π s.6 s 6 MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 7

29 LP P Vi ska bestämma ṙ och som funktion a samt bestämma acceleationens stolek. P Det allmänna uttycket fö hastigheten i planpoläa koodinate ä O e e = e + e Figuens geometi ge = sin () P b = cos () P Men aståndet ä en funktion a! b = cos (3) Insättning i () ge cos = P b (4) Det allmänna uttycket fö acceleationen i planpoläa koodinate ä + ( + ) a = e e (5) Hä ä enligt (-4) d Pcos = = P cos = dt b cos b 3 P b = cos P cos b 3 P = cos b d b = = dt cos = sin P P P cos sin P cos sin = b b cos b Insättning i (5) ge a =, men det a ju giet! Hastigheten a konstant! MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 8

30 LP y estäm inkelhastigheten fö stången så att faten fö hylsan bli konstant = P! a O e P e ankuans ekation ä gien = b () och kallas Akimedes spial. Hastigheten i planpoläa koodinate bestäms med den allmänna fomeln = e + e () P Fö att bestämma hastigheten måste alltså de ingående tidsdeiatona a och bestämmas. Utgå fån de gina uttycken fö läget! = b = b = b (3) Insättning i ekationen () ge nu = b e + b e (4) P Det gina illkoet ä att faten ska aa konstant: b b = b + (5) = + = b ( + ) =± b + Ha P någon acceleation? Ja fö att bestämma den behöe i baa bestämma inkelacceleationen och sätta in i det allmänna uttycket Efte en del äkninga fås + ( + ) ap = e e [ ] + ap = e + e b + MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 9

31 LP ankuans ekation ä O y e P e = a+ bcos Hastigheten och acceleationen hos koppen P skall bestämmas som funktion a inkeln fö det fall att inkelhastigheten ä konstant = ω. Hastigheten och acceleationen i planpoläa koodinate bestäms med de allmänna fomlena = e + e () P + ( + ) ap = e e () Vi måste alltså föst bestämma de ingående tidsdeiatona a och. = ω = (3) Utgå fån de gina uttycket = a+ bcos fö läget! = bsin = bωsin (4) = bωcos = 4bω cos (5) Insättning i ekationen () ge nu P = bωsin e + a+ bcos ωe (6) Insättning i ekationen () ge nu (Obs att i inte deiea P!) [ ] + ap = 4bω cos a+ bcosω e 4bω sin e (7) ap = a+ 5bcosωe 4bω sin e Fö numeiska äden, eempelis a = dm, b = dm, = 3, ω = ad/s fås a 45e 35e m/s P ( ) MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 3

32 LP z Röelsen beskis som funktion a tiden i cylindekoodinate a e e z A e R = R = ω t z = h π y h estäm banets fat och acceleation efte ett halt a! Hastigheten och acceleationen i cylindekoodinate bestäms med de allmänna fomlena = e + e + z e () P z + ( + ) + ap = e e z ez () Vi måste alltså föst bestämma de ingående tidsdeiatona a, och z. = ω t = ω t = ω (3) = R ṙ = = (4) z = h π hω z = h = t π π z h = ω π (5) Insättning i ekationen () ge hω P = e + Rω te tez (6) π Insättning i ekationen () ge nu (Obs att i inte deiea P!) 4 hω ap = ( 4Rω t ) e + ( Rω + ) e ez (7) π Tidpunkten då banet åkt ett halt a bestäms u ek (3a ) π = ω t t = π ω hω Insättning i (6) och (7) ge P = Rω π e ez π hω a = 4πRω e + Rω e e π P z (8) MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 3

33 LP z ω β e z b P e estäm fö kulan P faten och acceleationens stolek om β = 3. Det allmänna uttycket fö hastigheten i cylindekoodinate ä = e + e + z e z O Figuens geometi och tidsdeieinga ge = bsin β = b sin β = sin β = () = ω = () z = bcos z = b cosβ = cosβ z = (3) Faten ä allmänt = +( ) + z (4) Insättning a (-3) ge fö β = 3 sin β bsin β ω cosβ = + + = + bω (5) Det allmänna uttycket fö acceleationen i cylindekoodinate ä + ( + ) + a = e e z ez (6) Insättning a (-3) ge a = bω sin β e ( ω sin β) e + ez (7) + + Acceleationens stolek fö β = 3 ä alltså b a= ( b ) + ( ) = ω ω sin β ω sin β + ( ω ) åde faten och inkelhastigheten ω ä konstanta. Vafö bli det i alla fall en acceleation? MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 3

34 LP P z Giet ä att läget som funktion a tiden ges a koodinatena = ωt () z = kt Koodinaten ändas också men just i det betaktade ögonblicket ä = R () Fö hastighetena och acceleationena gälle då att = V = ω z = kt = = (3) z = k Det allmänna uttycket fö hastigheten i cylindekoodinate ä = e + e + z e (4) Insättning ge = V e + Rω e + kte (5) Faten ä = V + Rω + 4kt (6) Numeiskt fås då = m/s = 5 m/s (7) Det allmänna uttycket fö acceleationen i cylindekoodinate ä + ( + ) + z z a = e e z ez (8) Insättning ge a = Rω e R Vω e ke (9) z a = Rω e + V e + ke () ω z Acceleationens stolek ä 4 a= a = R ω + 4V ω + 4k () Numeiskt fås då a = m/s = ( )+ m/s = m/s. 43 m/s MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 33

35 CHEROKEE LP e N4FL e Röelsen ske i ett plan så att den kan beskias med planpoläa koodinate. Sambandet mellan dessa ä giet eftesom höjden h ä känd: h = sin () h Eftesom flygplanet id tiden t = passea akt oanfö O och hastigheten ä gien kan man också skia O t = cos () Sambanden () och () tillsammans med Pythagoas sats ge som funktion a tiden: = h + t (3) Det allmänna uttycket fö hastigheten i cylindekoodinate ä = e + e + z e (4) Pojicea nu hastighetsekton på basektoenas iktninga. Figuens geometi och ek (4) ge tillsammans med sambanden (-3) z = cos ṙ = h t + t (5) = sin sin = = h h + t (6) Det allmänna uttycket fö acceleationen i cylindekoodinate ä + ( + ) + a = e e z ez (8) Men acceleationen ä enligt teten noll! Komponentena ä alltså a fö sig noll och om (5) och (6) utnyttjas fås h = = / h + t 3 (9) + = = 3 h t ( h + t) () MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 34

36 Patikeldynamik Poblemsamling LÖSNINGAR TILL PROLEM I KAPITEL 7 LP. 7. Hissen komme uppifån och bomsas så att acceleationen ä iktad uppåt. N Filägg pesonen fån hissgolet. Infö nomalkaften N som golet påeka föttena med. Tyngdkaften ä. Kaftekationen F = m a () ge fö pesonen i den etikala iktningen ma = + N () N= ( + a) (3) Man kan känna sig "tynge" id en acceleation uppåt. Man tycks mot hissgolet. Enligt Newtons tedje lag, lagen om ekan och motekan, ä kaften fån pesonen på golet lika sto och motiktad, alltså N= ( + a) MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 35

37 LP. 7. Acceleationen söks. Den bestäms med kaftekationen om kaftena ä kända. N YAMAHA N Vid staten, då faten ä liten, kan luftmotståndet fösummas och ekipaget påekas a tyngdkaften, nomalkafte N = id bakhjul, () 3 N = id famhjul. () 3 f och fiktionskaft. akhjulet spinne. Det betyde att fiktionskaften ä fullt utecklad så att f = µ N (3) Vi föutsätte hä att famhjulet ha makkontakt. Fö stot gaspådag komme ju det att lätta och poblemställningen bli en annan. Fiktionskaften id famhjulet kan fösummas. Det finns hä egentligen en liten fiktionskaft bakåt som få famhjulet att otea snabbae men detta behandlas inte hä i baskusen. Alltså, masscentums acceleation ges a kaftekationen as komponent i öelseiktningen ä F = ma G (4) Insättning a (3) ge Ek () ge då Sa: Acceleationen ä F = m (5) G µn = m G (6) N = µ g G m = µ µ = 3m 3 = G g 3 µ (7) Kommenta: Eftesom fiktionstalet i detta fall knappast ä stöe än ett och nomalkaften N inte öestige kan acceleationen inte bli stöe än g. MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 36

38 LP Unde den betaktade öelsen föflyttas baa skistången. N m g N m g Filägg tyngdlyftaen fån hissgolet. Tyngdkaftena ä och. Infö den totala nomalkaften N = N + N som golet påeka föttena med. eteckna föst skistångens acceleation a. Masscentums lägeskoodinat G ges a definitionen m = m + G m. Masscentums acceleation G ges alltså a m G = m + m. aa den del ma som ha acceleation komme alltså med i kaftekationen. Kaftekationen F = ma G () ge fö hela systemet i den etikala iktningen ma = N () N= ma + + (3) Den totala nomalkaften ä alltså lika med tyngden +massan gånge acceleationen fö den del som ha acceleation. Nu åtestå att bestämma acceleationen a. Kinematiksamband fö skistången ge med begynnelseillkoet ila id =. = a ẋ = at at = = h h= a( t) a h Nomalkaften ä N= + m g+ ( t ) h = ( t ) = Numeiskt äde ä N = N. 4 kn MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 37

39 LP N P β Filägg lådan fån golet. Infö föutom dagkaften P tyngdkaften ä, nomalkaften N som golet påeka lådan med samt fiktionskaften f. Fiktionskaften ä id glidning f = µ N. f Kaftekationen F = m a () ge fö lådan i komponentfom : ma = Pcosβ µ N () : = Psin β + N (3) Ek (3) ge nomalkaften N = Psin β. Insättning i ek () ge ma = Pcosβ µ Psin β (4) ma ( + µ g)= P( cosβ + µ sin β) (5) ma+ µ g P = cosβ + µ sin β Täljaen ä en kaft. Nämnaen ä dimensionslös. ma Om fiktion saknas ä P = cosβ MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 38

40 LP a Den elatia acceleationen söks. Den absoluta, elatit ett inetialsystem, kan bestämmas med kaftekationen om kaftena ä kända. β N β Kulan påekas a tyngdkaften och kontaktkaften fån stången. En kontaktkaft kan delas upp i en nomalkaft N och en fiktionskaft f. Hä ä stången glatt så att fiktionskaften ä noll. Kulans totala absoluta acceleation ges alltså a kaftekationen F = m a () Om i nu ta kaftekationens hoisontella och etikala komponent komme nomalkaftens komponente med i ekationena, fastän den kaften ej eftefågas. Det ä en ba egel att edan fån böjan ta sådana pojektionsiktninga att en del kafte elimineas diekt. Vi skie däfö upp kaftekationens komponent i stångens iktning snett neåt. Kulans acceleation elatit agnen antas aa a el neåt längs stången. Kaftekationen bli då sin β = m acosβ + a el () a gsin β acosβ (3) el = Sa: Den elatia acceleationens stolek ä a gsin β acosβ el = Kommenta: Sambandet (3) isa att kulans acceleation ä gsin β om agnens acceleation ä noll. Detta ä ju tyngdacceleationens komponent i stångens iktning. Om agnens acceleation ä a= gtan β så bli den elatia acceleationen noll. Om agnens acceleation ä stöe bli a el negati. På gund a kulans töghet, ds det faktum att den inte ill ända sin hastighet, komme den att åka uppåt längs stången fö en tilläckligt sto acceleation hos agnen. MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 39

41 FARA 5 - LP L Hela systemet påekas a tyngdkaften och lyftkaften L. Kaftekationen F = ma fö ballongen skis : + L = ma () Antag att massan m måste kastas fö att acceleationen skall bli a uppåt. Detta påeka inte lyftkaftens stolek nämnät. + = ( ) : m m g L m m a () Eftesom lyftkaften ä okänd eliminea i den genom att subtahea ek () fån ek (). Detta ge = ( ) + m m g ma m m a m g = ma + ma = g + a m ma Massan m = ma g+ a skall kastas. LP L F D β T Flygplanet påekas a dagkaften T, tyngdkaften, lyftkaften L och motståndskaften F D. Vi kalla den uspungliga totala kaften (elle nettokaften) i den hoisontella iktningen fö ( Fnetto). Kaftekationen F = ma fö flygplanet skis i den hoisontella iktningen : F ma = netto () Piloten öka nu dagkaftens stolek med T utan att de anda kaftena ändas. Antag att den nya hoisontella acceleationen bli a. Då bli kaftekationens komponent i den hoisontella iktningen : ( Fnetto) + T cosβ = ma () Dag nu ek () fån ek() T cosβ = ma ma T a = a + cosβ m MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 4

42 LP S S S Filägg mannen med den lätta nedesta tissan. Dagkaften antas aa S. Eftesom den öe tissan ä lätt och lättölig ä kaften S äen på den anda (höga) sidan tissan. A samma anledning ä kaften i tåden S på båda sido a den unde tissan. Alltså, te kafte S eka uppåt och tyngdkaften eka neåt. Kaftekationen F = ma fö mannen skis i den etikala iktningen : 3S = ma m S = g+ a 3 MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 4

43 LP. 7. A A c N S m A g d S S S S S S m g b Filägg koppana! Antag att tådkaften ä S. Den ä lika sto i alla dela a tåden, eftesom tissona ä lätta och lättöliga. Antag att föflyttningen fö ä då föflyttningen fö A ä A. Kaftekationen F = ma fö koppana skis espektie : S= m A A () : 3 S= m () Vi ha te obekanta S, A och så att i behöe en till ekation. Kinematiken ge denna ekation enligt följande. Sambandet mellan föflyttningana A och ges a tångsillkoet som säge att tåden ha konstant längd L. Vi teckna föst tådens längd och tidsdeiea sedan. L= c A + d+ + b+ + b+ +konstant (3) Konstanten beo på att tåden gå unt tissona och att A ha en iss stolek. Tidsdeieing ge hastighetssambandet = + 3 A A = 3 (4) och acceleationssambandet A = 3 (5) Sätt in (5) i () och ()! Multiplicea ek() med te och addea ek () 3S= 9m A 3S= m = 9m + m A = 9m + m A Nu ge ek (4) A = 3 9m + m A och ek () ge S = 3m A 9m + m A MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 4

44 LP a 8a y A 3a S S S C D S S S a Antag att tådkaften ä S. Den ä lika sto i alla dela a tåden, eftesom tissan id C ä lätt och lättölig och dubben id ä glatt. Kaftekationen F = ma fö säcken skis : S = my () Tådkaften kan alltså bestämmas om acceleationen y kan bestämmas på annat sätt. Eftesom acceleationen a ä gien och tåden ä oelastisk kan man få ett samband mellan y och a. Tådens hela längd ä L= a+ 7a+ 8a= 44 a () Den kan också skias L= + 7a 8a y + + (3) Tidsdeieing ge hastighets- och acceleationssambanden ( 7 ) a = + + y 7a 8a = + ( ) + + ( 7 ) ( 7 ) a a ( 7a) + ( 8a) ( 7a) + ( 8a) [ ] 3 / + y (4) (5) I fösta ögonblicket ä = a och ẋ = samt = a Insättning i ek (5) ge 5 = + + a a a + y (6) 7a y = a (7) 3a y = 7 (8) 3 Ek () ge då tådkaften S= m g+ a 7 MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 43

45 LP. 7. R N β e n e b β e t Om kulan ä i ila elatit cikelbågen ö den sig i en cikelbana med adien Rsin β. Kulans hastighet ä inkelät mot den gina figuens plan. Vi infö de natuliga koodinatsystemet. Tangential- och nomaliktningen ges a basektoena e t och e n. inomaliktningen ä neåt och ges a e b. Kulan påekas a tyngdkaften och nomalkaften, som delas upp i komponentena N och N i tangentialiktningen. Det allmänna uttycket fö acceleationen ä s a = set + e ρ n () Kaftekationen F = m a bli i komponentfom: e t : ms = N () e n : m s = N sin β (3) Rsin β e b : = N cos β (4) Eftesom faten (adien gånge inkelhastigheten) s = = Rsin β ω ä konstant bli ṡ = och N = enligt ek (). Ek (4) ge nomalkaften N = cosβ (5) som kan sättas in i ek (3). Vi sätte också in faten s = Rsin β ω. m R sin β ω Rsin β = sin β cosβ (6) mrsin β ω = sin β cosβ ω = g Rcosβ cosβ = g Rω MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 44

46 LP y Om satellitens massa ä m ge kaftekationen F = m a sambandet mellan gaitationskaften och acceleationen. R a e n e t s Infö i en godtycklig punkt på bankuan basektoena e t och e n i det natuliga koodinatsystemet. Det allmänna uttycket fö acceleationen ä s a = set + en () ρ Gaitationskaften ä F = G Mm en () Detta ä Newtons allmänna gaitationslag. Hä ä G den allmänna gaitationskonstanten och M ä jodens massa. Dessa konstante gå att finna i tabelle. Poblemteten ge emelletid tyngdacceleationen g id jodytan och då kan i skia tyngdkaftens stolek id jodytan på tå olika sätt: G Mm = GM = gr R Faten ä konstant. Kaftekationens komponent i nomaliktningen ä då (3) m s R ρ = (4) Kökningsadien ρ ä lika med cikelbankuans adie. Satellitens fat kan alltså bestämmas: m R = g R = (5) Nu lägge i på illkoet att satellitens fat motsaa att lägeekton ha en inkelhastighet som måste aa densamma som jodens: ω = Insättning a (5) ge ω = g R (6) (7) U denna ekation bestäms : ω = g R 3 3 gr gr = = ω ω Insättning a numeiska äden: g = 9. 8 m/s, R = 637 km och inkelhastighet π på ett dygn ge en adie 66. R. 3 (8) MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 45

47 LP etakta föst cikelöelsen. N4FL CHEROKEE Flygplanet påekas a tyngdkaften och lyftkaften L. Luftmotståndet kunde fösummas. Infö i en godtycklig punkt på bankuan basektoena e t och e n i det natuliga koodinatsystemet. L e t e n CHEROKEE N4FL h h Kaftekationen F = m a bli i komponentfom e t : ms = F t e n : m s F n ρ = ms = cos () m s = L sin (3) h Ek () säge att faten öka ända ne till läget = π/. Ek (3) säge att kaften L ä maimal då = π/, eftesom både ṡ och sin = ä maimala dä. Denna maimala kaft ä gien i poblemteten. Fö = π/ bli ek (3) m h = 5 h 4g = Om du edan läst om enegiekationen ä det nu enkelt att bestämma faten = i den nedesta punkten. Lyftkaften gö inget abete. Tyngdkaften ä konseati. Med potentiella enegin V = i nedesta punkten fås (4) T + V = T + V m m + = + h (5) = + gh (6) Resultatet fås om denna fat i kadat sätts in i ek (4). h h = + 4g MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 46

48 LP ω y O N f e n e t P s Så länge tättplagget ligge an mot tumman påekas det a tyngdkaften och kontaktkaften. Kontaktkaften kan delas upp i en nomalkaft N och en fiktionskaft f. Infö i en godtycklig punkt på bankuan basektoena e t och e n i det natuliga koodinatsystemet. Det allmänna uttycket fö acceleationen ä s a = set + e ρ n () Om tättplaggets massa ä m ge komponenten a kaftekationen F = m a i nomaliktningen m s = N sin () ρ Kökningsadien ρ ä lika med cikelbankuans adie. Hastigheten kan skias på olika sätt. Speciellt ill i uttycka den i inkelhastigheten ω : s = = = ω (3) Fö en iss inkel = β upphö kontakten med tumman. Det matematiska illkoet fö detta ä kontaktillkoet: N = (4) Om i nu sätte in (3) och (4) i huudekationen () fås m ω = sin β (5) ω = gsin β (6) Sa: β ω = g sin MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 47

49 LP N e n ρ e t f ilen påekas a tyngdkaften, nomalkaften N och fiktionskaften f = µ N. Infö basektoena e t och e n i det natuliga koodinatsystemet. Kaftekationen F = m a bli i komponentfom e t : ms = F t e n : m s F n ρ = ms = µ N () m R = N () Lös ut nomalkaften u () N m = R och sätt in i ()! ṡ = µ g R LP ρ N ilen påekas a tyngdkaften, nomalkaften N och fiktionskaften f = µ N. Infö basektoena e t och e n i det natuliga koodinatsystemet. Kaftekationen F = m a bli i komponentfom f e n e t e t : ms = F t e n : m s F n ρ = ms = µ N () m R = N () Lös ut nomalkaften u (): N m = + R och sätt in i ()! ṡ = µ g+ R MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 48

50 LP O etakta föst jämiktsfallet. Jämikt foda att kaftsumman ä noll i den etikala iktningen: T b β S : S sin β = () S = sin β () A Nä den hoisontella tåden klipps a få kulan en acceleation i det fösta ögonblicket efte klippet. Kulan böja en cikelöelse och fö att bestämma tådkaften pojiceas kaftekationen F = m a på nomaliktningen: A e n b β e t S O e n : m s F n ρ = (3) I nomaliktningen ä dock acceleationen noll i det fösta ögonblicket, eftesom hastigheten ṡ ä noll då. Insättning i (3) ge = S sin β (4) S = sin β (5) a) Vid jämikt ä kaften i ajen S = = sin β b) I fösta ögonblicket efte klippet ä kaften i ajen S = sin β = 5 MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 49

51 LP b e t a Pucken påekas a tyngdkaften, nomalkaften N och fjädekaften. Tyngdkaften och nomalkaften ä inkeläta mot öelsens plan och behöe inte beaktas. c e n k(r-l) Om utgångsfaten ä mycket sto fås bankuan a, om utgångsfaten ä liten fås bankuan c. Fö en iss fat fås den cikuläa bankuan. k R Infö basektoena e t och e n i det natuliga koodinatsystemet. Fjädekaften, as stolek ä k l eka i nomaliktningen Kaftekationen F = m a bli i komponentfom e t : ms = F t mṡ = () e n : m s F n ρ = m s = R kr l Ek () säge att faten ä konstant: ṡ () =. Sätt in detta i ek ()! m R = kr l = kr m R l MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 5

52 Shell LP N ilen påekas a tyngdkaften och nomalkaften N. Någon fiktionskaft skall inte behöas om man kö med en äl anpassad fat. e b β β R e n Infö basektoena e t och e n i det natuliga koodinatsystemet. Tangentialiktningen e t peka i hastighetens iktning medan nomaliktningen e n peka in mot kökningscentum. inomaliktningen e b definieas med kysspodukten eb = et en Kaftekationen F = m a bli i komponentfom e t : ms = F t mṡ = () e n : m s F n ρ = m R = N sin β () e b : = F b = N cos β (3) Ek () säge att faten ä konstant: ṡ=. Detta utnyttjas i ek (). Lös ut nomalkaften u ek (3) och sätt in det i ek ()! m R = sin cos β β gr = tan β MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 5

53 LP f e t Infö det natuliga koodinatsystemet med koodinaten s = id tiden t = och basektoena e t och e n enligt figu. ilen påekas a tyngdkaften, nomalkaften och fiktionskaften. Eftesom baa fiktionskaften ligge i öelsens plan måste den aa lika med massan gånge acceleationen. R e n egynnelseillkoet ä s = t = s = Vi anände beteckningen ṡ fö hastigheten och beteckna fiktionskaftens komponente f t och f n. Kaftekationen F = m a bli i komponentfom d e t : ms = F t m f t d t = () e n : m s F n ρ = m = f n () R Fiktionskaftens stolek ä alltså f f f m m = t + n = m a t + 4 d = + (3) d R R Giet i poblemtet: d d = a a dt d s = d = a ds = as = as (4) Obseea att det ä samma samband som fö fallhastigheten i tyngdkaftfältet ( = gh ). Insättning i (3) ge sambandet fö hu fiktionskaften äe med stäckan. 4a s f = m a + R (5) Den maimala fiktionskaften som kan poduceas a ytona ä f = µ ma N = µ. Det ge illkoet s m a 4a s + = µ a R 4a s + = µ g R R g a R = µ s= µ g a s 67 m 4a a MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 5

54 LP ω Pesonen beskie en cikelöelse med adien. Det ä fiktionskaften som hålle pesonen uppe. Den maimala fiktionskaften som kan poduceas ges a f = µ ma N. f Infö basektoena e t, e n och e b i det natuliga koodinatsystemet. N Kaftekationen F = m a bli i komponentfom e t : ms = F t m = F t () e n : m s F n ρ = mω = N () e b : = F b = f (3) N e n e t Den maimala fiktionskaften som kan poduceas ges alltså a f = µ ma N. Ek () och (3) ge mω = µ ω = g µ ω = g µ MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 53

55 FARA 5 - LP L e t e n D T De ytte kaftena på flygplanet ä tyngdkaften, dikaften T och motståndskaften D i hastighetens iktning samt lyftkaften L inkelät emot. Om kafte skall bestämmas ä det natuligt att skia upp kaftekationen. Föutom tangential- och nomaliktningen nämns också bankuans kökningsadie ρ i poblemteten. Det ä däfö kaftekationen F = m a pojicead på det natuliga systemets basektoe som ge lösningen. Det ä hä acceleationen hos flygplanets masscentum som ases. Infö i en godtycklig punkt på bankuan basektoena e t och e n i det natuliga koodinatsystemet. Det allmänna uttycket fö acceleationen ä I komponentfom fås s a = set + e ρ n () e t : ms = T D sin () e n : m s = cos L (3) ρ I teten ä faten gien: ṡ= liksom fatökningen pe tid: ṡ = a t. Insättning i ek () och (3) ge ma = T D sin (4) t m = cos L (5) ρ och de sökta kaftena bli D= T sin + a t (6) L= m gcos ρ (7) Ek (6) säge att motståndskaften ä lika sto som dikaften om hastigheten ä konstant och hoisontell. Om flygplanet dyke etikalt utan luftmotstånd och dikaft ä acceleationen lika sto som tyngdacceleationen. Om flygplanet dyke etikalt utan dikaft med konstant hastighet ä luftmotståndet lika med tyngdkaften. Ek (7) säge att lyftkaften ä lika sto som tyngdkaften om bankuan ä ätlinjig och hoisontell. MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 54

56 LP y ankuan ä gien = R cosωt = β 5 sinωt () estäm, som funktion a tiden t, den adiella och tansesella komponenten a den kaft som eka på den lilla koppen. Kaftekationen F = m a ha i cylindekoodinate komponentena: F = m F = m + () Fö att kunna bestämma kaftkomponentena måste i bestämma alla tidsdeiato i högeledet. Vi stata med den gina bankuan () = Rω( sinωt)= Rωsinωt = βω cosωt (3) Ett biesultat ä att koppens hastighet ä = e + e = Rω sinωte Rβω cosωt cosωt e (4) Ytteliggae en tidsdeieing a (3) ge = Rω cosωt = βω ( sinωt)= βω sinωt Insättning i kaftekationen () ge [ ( ) ] F = mr t R ω cosω cosωt βω cosωt F = mr( cosωt) βω sinωt+ Rω sinωt βω cosωt [ ] Föenkling ge slutligen F = mr t ω cosω 4β cos ωt cosωt F = mrβω sinωt( 3cosωt) [ ] (5) (6) (7) MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 55

57 LP y N e n e t N e n et De ytte kaftena på motocykeln ä tyngdkaften och nomalkaften N. Nomalkaften skall bestämmas och det ä natuligt att skia upp kaftekationen. Kökningsadien ρ nämns i poblemteten och den ingå i acceleationen i nomaliktningen. Kaftekationen F = m a pojicead på det natuliga systemets basektoiktninga ms = Ft m s = F ρ n ms = m s =± m L ρ () Öe tecknet fö den högsta punkten på bankuan, som ges a y bsin π / L () = ( + y ) Kökningsadien bestäms u ρ = y 3 / (3) Deiatona bestäms u (3): y = b ( π L) L π cos / (4) = π y b sin ( π/ L) (5) L Fö ma och min på kuan () gälle y = (6) = π + L y b ρ = L = π 4π b b L Insättning i ek (b) ge fö högsta espektie lägsta punkten 3 / (7) m m 4 π b = N N m b = 4π L L 4 π b = + N N m b = + 4π L L MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 56

58 LP N e t β β e b f e n b ω Så länge koppen ä i ila elatit den koniska ytan beskie den en cikelöelse med adien b och inkelhastigheten ω. Fö en liten inkelhastighet kan fiktionskaften hålla ka koppen. Fö en tilläckligt sto inkelhastighet anta fiktionskaften sitt maimala äde f = µ N. Det ä detta gänsfall som skall studeas. Fö cikelöelse spela det ingen oll om man anände det natuliga koodinatsystemet elle cylindekoodinate. Hä älje i det föa. Pojicea kaftekationen F = m a () på tangential- nomal- och binomaliktningen: e t : ms = F t () e n : m s F n ρ = (3) e b : = F b (4) Om inkelhastigheten öka mycket långsamt ä ṡ = och ek () isa att det inte käs någon kaft F t. Insättning i (3) och (4) ge e n : mbω = N sin β + µ N cos β (5) e b : = N cosβ + µ N sin β (6) Ek (6) ge N = cosβ + µ sin β (7) β µ β Insättning i (5) ge mbω = sin + cos cosβ + µ sin β Efte föenkling fås esultatet (8) bω ( cosβ + µ sin β)= sin β + µ cosβ g (9) µ = gsin β + bω cosβ gcosβ bω sin β MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 57

59 LP b S l Unde en iss tid då inkelhastigheten ä konstant beskie aje ban en cikelöelse i ett hoisontalplan. anet påekas a tyngdkaften och tådkaften S. estäm inkelhastigheten då linan bilda inkeln med etikalen. Kaftekationen F = ma bli pojicead på det natuliga koodinatsystemets basektoe: S e n e b ms = Ft m s = Fn ρ = Fb Insättning ge ms = mb ( + lsinω ) = Ssin = Scosβ Ingen kaft i tangentialiktningen betyde att faten s = b+ lsinωä konstant. Kökningsadien ρ ä densamma som cikelns adie. Om tådkaften S elimineas genom att (3) insättes i () fås ekationen Vinkelhastigheten ä = mb+ lsinω ω = g tan β b+ lsin sin β cosβ ω = g tan β b+ lsin MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 58

60 LP N e b β e n e t S O h Pulkan med banet beskie en cikelöelse i ett hoisontalplan. Systemet påekas a tyngdkaften, nomalkaften N och tådkaften S.estäm nomalkaften då inkelhastigheten fö tåden ä = ω. Infö hjälpstoheten β som inkeln mellan tåden och hoisontalplanet. Kaftekationen F = ma bli pojicead på det natuliga koodinatsystemets basektoe: ms = Ft m s = F ρ = Fb n ms = m = Scosβ = N + Ssin β () () (3) Ingen kaft i tangentialiktningen betyde att faten ṡ= = ω ä konstant. Kökningsadien ρ ä densamma som cikelns adie. Om tådkaften S elimineas genom att (3) insättes i () fås ekationen m ω N = cosβ sin β mω tan β = N N = mω tan β Men inkeln β bestäms u sambandet tan β = h. Insättning ge N = mhω MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 59

61 LP y f De ytte kafte som eka på mannen ä tyngdkaften och nomalkaften i etikal iktning samt fiktionskaften f i kausellens plan. f e β f Kaftekationen F = ma ä i planpoläa koodinate skis allmänt e m ( )= F m ( + )= F (-) Antag att fiktionskaften ha komponentena f och f. Nu et i fån poblemteten att ṙ = ; = (3) = α; = ω = αt (4) Insättning ge m( t ( αt) )= f m ( α + αt)= f f = 3 mα t f = mα + αt Tiden kan elimineas eftesom i et att t = m f = α f = 3mα 3 (3) Vinkeln mellan fiktionskaften och adialiktningen ges a tan β = f tan β = 3 f α Kommenta: Minustecknet säge att fiktionskaften egentligen bilda en tubbig inkel med adialiktningen, eftesom den adiella komponenten ä iktad inåt. Det behös ju en centipetalkaft inåt fö att ge en acceleation inåt. MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 6

62 LP Kaftekationen F = ma ä i cylindekoodinate y N H m ( )= F m F e e + ( )= (-3) mz = Fz = egynnelseillkoet ä t = = Tyngdkaft och kontaktkaft ä de enda kaftena. Det finns ingen kaft i öets iktning. Kontaktkaften som hä baa ä en nomalkaft eftesom öet ä glatt kan uppdelas i en hoisontell och en etikal komposant. Insättning i kaftekationen ge m ( )= m ( ω )= (' ) m ( + )= NH m ω = NH (' ) mz = NV = NV ( 3') Ek ( ) och (3 ) anänds fö att bestämma nomalkaftens komposante. ankuans ekation bode då kunna bestämmas med ek (): ω = (4) Vi gö en ansats, ds i gissa att ekationen satisfieas a tidsfunktionen ωt = Ae + e ωt (5) dä A och ä (integations-) konstante. Fö att kunna utnyttja begynnelseillkoet tidsdeieas ansatsen: ωt ωt ṙ = ω( Ae e ) (6) egynnelseillkoet ge nu med (6) och (7) = A + (8) = ω( A ) (9) Vilket betyde att = A= () ωt ωt Lösningen ä alltså = ( e + e ) () Eftesom inkelhastigheten ä konstant så ä ωt = och bankuans ekation kan skias = ( e + e ) elle = cosh MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 6

63 Patikeldynamik Poblemsamling 3 LÖSNINGAR TILL PROLEM I KAPITEL 8 LP Vi anta föst att den gina bomsande kaften F = k ä den enda kaft som påeka öelsen och dämed också O intängningsdjupet. Men eka ingen kaft i öelseiktningen? Fastän man i talspåk kunde ha sagt att kulan kom med en åldsam kaft mot målet ä k det inte fågan om en kaft i fysikalisk mening. Kulan ha däemot fån böjan en öelsemängd p= m som minska till noll id inbomsningen. Det ä föändingen pe tid a denna öelsemängd som enligt kaftekationen F = p ä detsamma som nettokaften = på kulan. egynnelseillkoet ä t = = Vi ska bestämma faten som funktion a läget. En enegiekation ä just en sådan ekation dä tidsbeoendet elimineats. Vi älje hä lagen om den kinetiska enegin: U = T T () Den kinetiska enegin fån böjan ä gien: T = m () Abetet U, som den bomsande kontaktkaften gö, bestäms genom integeing enligt definitionen U = F d (3) C åde kaften och föflyttningen ha hä komponent endast i -iktningen. Kaften ä motsatt iktad föflyttningen så att ett minustecken uppstå i skaläpodukten. Insättning i (3) ge U = kd = k Insättning i huudekationen () ge k = m m (4) ẋ = k m (5) Vi et att intängningsdjupet ä d. Det betyde enligt ek (5) att k m d m = k = d Insättning i (5) ge esultatet ẋ = d MEKANIK Patikeldynamik Lösninga Chiste Nybeg och Libe A Få kopieas 6