9 Rörelse och krafter 2

Transkript

1 9 Röelse och afte Kastöelse 9.1 Just då stenen ä i banans hösta punt och ände fö att böja öa si nedåt ä den still i etialled. Stenens acceleation ä noll i hoisontalled unde hela öelsen. Sa: Sant 9. a) Koppens hastihet ha, i aje punt, samma itnin som dess bana. b) I och med att i fösumma luftmotståndet ä aften på oppen hela tiden tyndacceleationen och den ä alltid itad at mot joden. c) Koppens acceleation ha alltid samma itnin som den esulteande aften, ilen hä ä lia med tyndaften och den ä hela tiden itad at mot joden. 9.3 y α En astöelse an ofta behandlas som tå samtidia öelse. Utånshastihetena i fö esp. öelse fås som cosα

2 a) Stäcan föemålet fädas fås som t cosα t m/s α 3 och tiden fö öelsen, t, behöe bestämmas. Den fås enom att titta i öelsens anda itnin. äden ä slut då föemålet landa. Hä landa det på samma höjd som det astas fån ilet betyde att y då det landa. Läet i y-led besis a t y yt ilet e oss t enlit y t t t y y t sinα sin 3 9,8 s,37 s Denna tid anänds sedan till att beäna fö stäcan som föemålet fädas i -led. cosα t cos3,37 m 35,3 m b) öemålet ha sin minsta öelseenei då dess hastihet ä som minst. Detta intäffa i banans hösta punt eftesom y då ä noll. Detta e oss föemålets minsta öelseenei som E,min ( cosα ) m m, m ( cos3 ),15 J,5 J Sa: a) 35 m och b) J

3 9.4 Specifit fö denna astöelse ä: Då ulan täffa maen ha den föflyttats 1,55 m i neati y-itnin. Utånshastiheten i -led ä 95 m/s. Utånshastiheten i y-led ä m/s., 95 m/s y Kulans läe i y-led es a t y yt y 1,55 m och y y -15 m t ilet e 1,55 u ilet den söta tiden fås som t 1,55 9,8 s,56 s Sa:,56 s 9.5 I astbanans hösta punt ä hastiheten /4 och ilet e y, cosα 4 u ilet den söta ineln fås enlit Sa: 76 cosα cos α ( 1 4) α cos 1 75,5

4 9.6 y y -,3 m 38 14,5 m Kulan föflytta si 14,5 m i -led t cosα t, ilet e tiden fö fäden som t cosα 14,5 m α 38 14,5 18,43 ilet e t cos38 Då ulan föflyttat si 14,5 m i -led ha den samtidit föflyttat si,3 m i neati y-itnin: och t t y,yt sinα t y,3 m 18,43 t ilet e,3 sin 38 ilet an föenlas 1667,75,3 11,35 18,43 9,8 18,43 u ilet den söta utånshastiheten fås enlit Sa: 11 m/s 1667,75 m/s 11,5 m/s 11,35 +,3

5 9.7 a) Stenanas läe i y-led es a t t y,yt sinα t Denna sis om fö att sedan, m.h.a. pq-fomeln få ett uttyc fö tiden att hamna på en iss höjd t t sinα t + y sinα y t + pq-fomeln e oss nu tiden sinα t ± sinα En minde inel α e en otae tid. y ö specialfallet y, d..s. då stenen landa på samma höjd den astas fån, fås sinα sinα sinα t ± elle t. Äen hä e en minde inel α en otae tid. b) Stenens läe i -led es a t cosα t, ö specialfallet y fås sinα cosα ilet, m.h.a. sin α cosα sinα, an föenlas till sin α ö sten A, med α 45, fås A sin 9 A och fö sten B, med α 55, fås

6 A sin11 B,94, 94 Sten A landa alltså länst bot. Sa: a) Den med minst inel, d..s. sten A och b) den med minst inel, d..s. sten A. A 9.8 Bilen och ulan ollidea om deas läe i - esp y-led sammanfalle id samma tidpunt. : Bilens läe i -led ä onstant och 1 m fån stenen. Stenen läe i -led es a t cosα t,. Bilen och stenen ä på samma plats i -led då 1 cosα t elle 1 t cosα α 3 och t sanas men ett uttyc fö den an fås fån det som hände i y-led. y: Bilens läe i y-led es a y t 1t bil Stenen läe i y-led es a t y sinα t. Bilens och stenens läen i y-led ä samma då t 1t sinα t

7 u ilet ett uttyc fö tiden fås enlit t 1 sinα t sinα 1 t α ( sin 1) Detta sätts lia med uttycet fö t fån -led Omsinin ( sinα 1) 1 cos 1 ( sinα 1) cosα 1 sinα 1 cosα In med siffo 1 sinα α 1 cosα sinα 1 sin 3 1 9,8 cos3 sin 3 113,39 pq-fomeln e oss nu hastiheten ± 113,39 m/s -4,61 m/s och 4,61 m/s 4,61 m/s ä den fysialist imlia. Sa: 5 m/s

8 9.9 Då snöet ått få ulan en astöelse. Aståndet fån P till den slå ned i maen es då a ilet e t cosα t, α t och och t behöe bestämmas. ä lia med den fat stålulan snuas med innan snöet å a som: s t 1,1 m π T 6, och T s,6 s 1 t fås fån att då ulan slå i maen ha den föflyttat si 1,85 m neati y-itnin. ilet e t y sinα t α t y och t y y 1,85 m Detta e oss nu totalt 7,7 m Sa: 7,1 m ( 1,85) π y π 1,1 t m T,6 9,8

9 Laddnins öelse i homoent eletist fält 9.1 ältlinjenas itnin ä i aje punt definiead som aftens itnin på en positi laddnin i punten. En fi eleton som placeas i ett eletist fält påeas med a en aft at motitad fältlinjena och acceleeas med, enlit Newtons :a la i en itnin at motsatt fältlinjenas. Sa: alst 9.11 ältet utfö ett abete på laddninen ilet e W s EQ W EQs Abetet ä lia stot som öninen i laddninens öelseenei. E EQs Detta e oss den söta laddninen som E Q Es E, 15J, E 35 V/m och s,4 m ilet e Q Sa: 1,1 mc,15 35 C,17 C,4 9.1 Röelsen inelät mot fältlinjena ä lifomi och den paallell med fältlinjena ä lifomit acceleead. Eletonens uspunlia hastihet ä inelät mot fältlinjena och ändas med inte unde öelsen, oss tiden att föflytta si 1, cm i den itninen fån t 5 5, 1 m/s. Det e,1 som t s 5 5, 1, 1 8 s

10 I fältets itnin ä öelsen lifomit acceleead och hastiheten ändas enlit y, y + at, y m/s och ilet e QE a m m 19 1, , 1 31 QE y t m/s m 9, m/s Stoleen på eletonens hastihet efte att den öt si 1, cm enom fältet fås med Pythaoas sats. och itninen + y 5 ( 5, 1 ) m/s m/s a tan 74,7 5 5, 1 6 Sa: 1,8 1 med itnin 75 oan dess uspunlia öelseitnin 9.13 Röelsen inelät mot fältlinjena ä lifomi och den paallell med fältlinjena ä lifomit acceleead. Eletonens uspunlia hastihet,, sa bestämmas. Den ä inelät mot fältlinjena och påeas med oföändad unde öelsen. I fältets itnin ä öelsen lifomit acceleead och hastiheten noll då eletonen täde in i fältet och y då den lämna fältet. y 17

11 Pythaoas sats e oss sambandet mellan de te hastihetena + 6 3,7 1 y och tionometi sambandet mellan tå a dem tan 17 Häu fås tan17 y ilet e, ( tan17) 3 y u ilet den söta uspunshastiheten fås 6 ( 3,7 1 ) ( tan17) + 6 ( 3,7 1 ) ( 1+ ( tan17) ) Sa: 3,5 Mm/s 6 ( 3,7 1 ) ( 1+ ( tan17) ) 6 ( 3,7 1 ) ( 1+ ( tan17) ) m/s ( 1+ ( tan17) ) 6 3,7 1 m/s m/s Simulein a tådimensionell öelse 9.14 Eules stemetod dela in tiden i små ste och beäna stohetes föändin unde dessa tidsste. Sa: Sant 9.15 Se boens Sa till önina Se boens Sa till önina.

12 Vidmoment 9.17 a) Vidmoment ha enheten Nm. Enei ha enheten J elle Nm. b) Om föemålet ä onstant, d..s. det ä stilla elle otea med en onstant hastihet, ä summan a idmomenten på det noll. Om föemålets otation ända si ä summan a idmomenten inte lia med noll Sa: a) Sant och b) falst 9.18 Staens fastsättnin i A äljs som momentpunt. Staen ä still, alltså ä summan a idmomenten medus lia med summan motus. M med M mot s A, m B Detta e sta s s elle m sta sta s s u ilet den söta aften fås som m s sta s sta m sta 1,5, sta 1, m och s, m och s Sa: 7,4 N 1,5 9,8 1, N 7,365 N,

13 9.19 Stånens ontat med stödet äljs som momentpunt. Stånen ä still, alltså ä summan a idmomenten medus lia med summan motus. M M med mot 1 -,5 3, 4, 5, Detta e 5,( 1 ) 3,(,5) + 4, elle 5,( 1 ) 3,(,5) + 4, 5, 5, 3, 1,5 + 4, u ilet den söta stäcan fås enlit 5, + 1,5 3, + 4, + 5, som 5, + 1,5 m,54 m 3, + 4, + 5, Sa:,54 m 9. Se boens Sa till önina N µ Steen ä still, alltså ä aften fån äen lia sto som fitionsaften µ och summan a idmomenten medus lia med summan motus M M med mot

14 Steens ontat med olet äljs som momentpunt. Det ä nu tå afte som e uppho till moment in momentpunten: tyndaften på steen,, och aften fån äen på steen,. Detta e elle µ u ilet den söta fitionsaften fås m m Häama, och, fås med tionometi fån och sin 37 cos37 5, 5, som och 5,sin 37 m 1,55 m 5,cos37 m 3,99 m Den söta fitionsaften an nu beänas som Sa: 41 N µ 11 9,8 1,55 N 4,74 N 3,99

15 9. y 35 1,5 m 61 5, m 3,5 a) Planan ä still, alltså ä summan a idmomenten medus lia med summan motus M med M mot Planans infästnin i äen äljs som momentpunt. Det ä nu te afte som e uppho till moment in momentpunten: tyndaften på planan, tyndaften på pesonen och den söta aften i epet,. Kaften i epet esätts med tå afte, en hoisontell och en etial, esp. y, Enlit cos35 och y sin 35 Häamen fö ä då och fö y ä den 5, m. Detta e M M med mot 5, 61 1,5 + 3,5 sin 35 5, N u ilet den söta aften fås 5, 61 1,5 + 3,5 N 574 N sin 35 5,

16 b) I och med att planan säe Newtons :a la att den esulteande aften på den ä noll. Kaften fån äen på planan ä då lia sto som, men motitad, summan a de tå tyndaftena och aften fån epet. y 61 3,5 I hoisontalled finns endast cos cos35 N 47, N I etialled summea aftena ihop till ,5 (61+3,5) 47, N y 574sin 35 N 569,3 N α es 569,3 N Den esulteande aftens stole fås sedan, m.h.a. Pythaoas sats och itnin es 47, + 569, 3 N 738,4 N 569,3 a tan 1 5,44 47, enlit fiu. Kaften fån äen ä nu lia sto som es och motitad. Sa: a) 57 N och b) 74 N itad 5 snett uppåt höe

17 θ,6 θ Staens upphännin den böjts till ett L äljs som momentpunt. L:et ä still, alltså ä summan a idmomenten medus lia med summan motus y 1, M M med Det ä nu tå afte som e uppho till moment in momentpunten: tyndaften på,6 m delen,,6, och tyndaften på 1, m delen, 1,. De es a,6 m,6 V,6ρ l,6 Aρ, 6Aρ mot och m V ρ l Aρ 1, Aρ 1, 1, 1, 1, A ä staens täsnittsaea och ρ dess densitet. Tyndaftenas häama ä, enlit fiu, / esp. y/ sin ( 9 θ ),6 och y sinθ 1, Detta e y 1,,6 1,sinθ,6sin 1,A ρ,6aρ elle sinθ,6 sin( 9 θ ) sinθ,6 cosθ sinθ cosθ,6 ( 9 θ )

18 Sa: tan θ,6 θ tan 1 (,6 ) 19,8 Centalöelse 9.4 Vid centalöelse acceleationen alltid inelät mot hastiheten, itad mot cielns centum. Den esulteande aften ha, enlit Newtons :a la, samma itnin som acceleationen. Sa: Sant 9.5 a) N Bilen acceleeas inte i etialled. Dämed ä den esulteande aften noll i den itninen och m 1 9,8 N 98 N N b) N Bilen utfö en centalöelse. Dämed ä den esulteande aften itad mot cielns centum och dess stole ä es m Den esulteande aften es ocså a es N Detta e m N elle N m m m m

19 7 m h m/s och 5 m ilet e N 1 9,8 5 N 18 N c) N Bilen utfö en centalöelse. Dämed ä den esulteande aften itad mot cielns centum och dess stole ä es m Den esulteande aften es ocså a es N Detta e m N m m elle + m + m + N 1 9,8 + 5 N 178 N Sa: a) 9,8 N, b) 1,8 N och c) 18 N 9.6 Bilen utfö en centalöelse. Dämed ä den esulteande aften itad mot cielns centum och dess stole ä es m Den esulteande aften utös hä a fitionsaften es N m m mm Detta e m mm

20 elle µ µ, 3 m/s och 5 m ilet e,3 5 9,8 m/s 8,58 m/s Sa: 8,5 m/s 9.7 a) Bilens fat i P fås m.h.a. den meanisa eneins beaande m mh elle h h,66,48 m,18 m ilet e 9,8, 18 m 1,88 m/s b) Bilen utfö en centalöelse. Dämed ä den esulteande aften itad mot cielns centum och dess stole ä es m Den esulteande aften i P es ocså a + es N Detta e m + N elle och N m m m m m,15, 1,88 m/s (fån a)),48/ m,4 m Detta e den söta nomalaften som N a) 1,9 m/s och b),61 N 1,88,15 9, 8 N,613 N,4

21 9.8 a) Den minsta faten som e ett spänt snöe i cielns hösta punt fås då aften i snöet ä pecis noll i cielns hösta punt. På lossen ea då endast tyndaften. Detta e Klossen utfö en centalöelse. Dämed ä den esulteande aften itad mot cielns centum och dess stole ä m es Den esulteande aften es hä ocså a es m Detta e m och den söta faten som,8 m ilet e,8 9, 8 m/s,8 m/s b) Meanisa eneins beaande e m mh + m mh nee + m m mh + mhnee + h + hnee + nee nee nee

22 Detta e h 1,6 m,,8 m/s (enlit a)) h nee, cm h + nee nee c) 9,8 1,6 + h +,8 m/s 6,7 m/s s Klossen utfö en centalöelse. Dämed ä den esulteande aften itad mot cielns centum och dess stole ä es m nee Den esulteande aften es hä a Detta e es m s nee och den söta aften i snöet som s s m nee mnee nee + + m m + 6,7, + 9, 8 N 117,9 N,8 Sa: a),8 m/s, b) 6,3 m/s och c) 1 N

23 9.9,75 α,75 h h Vineln α fås som α cos,75 h cos,75 1, h h fås fån den meanisa eneins beaande enlit m mh som h ilet e α cos 1 1,75 Den sanade fås i sin tu fån att ulan utfö en centalöelse. Dämed ä den esulteande aften itad mot cielns centum och dess stole ä m es I öelsens nedesta punt ä Detta e es m s s och den söta som m s m

24 ilet e den söta ineln som α cos 1 s m 1 cos,75 1 1, N,,75 m och m,15 s Den söta ineln fås nu som s,75 m,75, α cos 1 1 9,8 9,8,75,15 1, α cos 1 1 9,8 34,8 9,8,15 Sa: 35 Hamonis öelse 9.3 En hamonis öelses peiod es a T π y a ilet ä inte innehålle nåot amplitudbeoende. Sa: Sant 9.31 Vinelhastiheten es a ω π T T 6 s ilet e Sa:,1 ad /s π ω ad/s,147 ad/s a) Ett uttyc fö ulans fat fås enom att deiea uttycet fö hastiheten en ån med aseende på tiden. Detta e (t) y (t) 1,3,19cos(1,3t),47cos(1,3t) Kulans fat id t,8 s fås sedan som (,8),47cos(1,3,8) m/s,151 m/s

25 b) Newtons :a la e den esulteande aften som ma es Hä ä m,85 och ett uttyc fö acceleationen fås enom att deiea uttycet fö hastiheten en ån med aseende på tiden. Detta e a (t) (t) 1,3,47sin(1,3t),311sin(1,3t) Kulans acceleation id t,8 s fås sedan som a (,8),311sin(1,3,8) m/s,77 m/s Den esulteande aften fås nu som es,85,77 N,36 N Sa: a),13 m/s och b),4 N Kaftesultant 9.33 Vid en hamonis öelse es aftesultanten a es mωy Se t.e. iu 9.17: Då massan befinne si nedanfö jämitsläet ä y neati. Detta e en positi aftesultant som då ä itad uppåt, mot jämitläet. Då massan befinne si oanfö jämitsläet ä y positi. Detta e en neati aftesultant som då ä itad nedåt, mot jämitläet. Sa: Sant 9.34 Vid jämit ä summan a aftena på föemålet noll. På föemålet ea tå afte: tyndaften nedåt och aften fån fjäden uppåt. Detta e m L U detta fås fjädeonstanten som m L m,47 och L,14 m

26 ,47 9,8 Detta e N/m 39,7 N/m,14 Sa: 33 N/m Sänninsenei 9.35 jämitsläe h/ h Nede ändläe h Anta att fjäden ä stäct Då älle L m L då föemålet ä i jämitsläet. m elle L Sedan das föemålet en stäca h nedanfö jämitsläet och släpps. Den totala sänninsenein ä då ( L + h) L h Esän + + Lh öemålet ha sin stösta hastihet, och med sin stösta öelseenei E, ma, då det passea jämitsläet. Då föemålet passea jämitsläet ha en del a sänninsenein omandlats till läesenei och en del till öelseenei. L E sän + E, ma + mh Den totala sänninsenein beaas ilet e oss L h L + + Lh + E,ma + mh ilet es oss den maimala öelseenein som

27 E, ma h + Lh mh h m + h mh h + mh mh h Då föemålet just passea läet mitt emellan jämitsläet och ändläet jämitsläet ha i elle h L + h E sän + E + m L h Lh h E sän E + m 8 Den totala sänninsenein beaas ilet e oss L h + L + Lh h + 8 ilet es oss öelseenein i detta läe enlit Lh + + E h + m E h h + Lh 8 Lh h m 3h Lh mh + 8 m 3 h h + mh 8 3h mh mh + 8 3h 8 3 h E,ma Då föemålet ä mitt emellan jämitsläet och ändläet ä dess öelseenei alltså ¾ a sitt maimala äde. Sa: alst

28 9.36 a) Hooes la oppla ihop fjädens fölännin med aften som ompisen da i fjäden med. L ilet e oss fjädens fölännin som Detta e L 85 N och 3,4 N/m L m,5 m b) Den maimala hastiheten fås då all enei som laats i fjäden omandlats till öelseenei L m u ilet den söta hastiheten fås som L m L m L,5 m, 3,4 N/m och m 7 ilet e, Sa: a),5 m och b) 1,7 m/s m/s 1,74 m/s 9.37 Just då ulan fastnat i lossen ha de en emensam öelseenei som, unde hoptycandet a fjäden, omandlas till potentiell enei i fjäden. ( m + m ) ula loss efte L u ilet den söta hoptycninen fås som och L ( m + m ) ( m m ) ula loss efte ula + efte m ula,7, m loss,5, 15 N/m loss efte ä ulans och lossens emensamma hastihet just efte ollisionen. Röelsemändens beaande e oss den sanade hastiheten.

29 m + ula efte föe ( m ula m loss ) efte m,7 1 ( m + m ) (,7 +,5) ula ula föe loss Nu an den söta hoptycninen beänas L,3351 Sa:,14 m 9.38 Anta att (,7 +,5) 15 m,137 m m/s,3351 m/s i) det ostäcta ummibandets söta länd ä l. ii) ummibandet ä h lånt då det ä maimalt stäct. Gummibandets maimala fölännin ä då L h l. Din totala fallhöjd ä lia med ummibandets stösta länd h. Innan du falle ha du således läesenein mh Då ummibandet bomsat upp di ha din läesenei omandlats till potentiell enei i ummibandet L mh ( h l) u ilet den söta länden fås enlit mh mh h ( h l) + l lh Detta ä en andaadseation som sis om fö att unna lösas med p-fomeln l lh + h mh

30 In med siffo l l pq-fomeln 5 l l , 78 9, l ± 1744, m 5 ± 3, 981m 1, m ä det enda möjlia altenatiet. Sa: 1 m 9.39 a) Bilens uspunlia läesenei omandlas till potentiell enei i fjäden unde ollisionen. L mh u ilet den söta hoptycninen fås som mh L m 1 3, h 1 m och, 1 6 N/m 13 9,8 1 ilet e L m,391 m 6, 1 b) Bilens acceleation ä, enlit Newtons :a la, stöst då den esulteande aften ä stöst. Kaften som acceleea bilen ä aften fån fjäden. Detta e oss ma L elle L, 1 6,391 a m/s 6 m/s m 13 Sa: 6 m/s 9.4 a) jädens maimala utstäcnin, L, fås då laddninens potentiella enei i fältet omandlats till potentiell enei i fjäden. L QE L

31 ilet e den maimala fölänninen som L QE 6 Q 4 1 C, E 5 4, 1 N/m och 75 N/m , 1 ilet e L 75 5 m,47 m b) Klossens jämitsläe infinne si aften fån fältet ä lia sto som aften fån fjäden elle Q E QE L m,13 m Sa: a),43 m och b),1 m Peiodtid 9.41 Peiodtiden fö en matematis pendel es a T π l ilet ä obeoende a massan hos det häne i pendeln. Sa: Sant 9.4 a) Vinelhastiheten fås som ω π T T π m π ilet e ω m π m 65 N/m och m,68 ilet e ω 65,68 ad/s 9,78 ad/s

32 eensen fås som f ω 9,78 Hz T m π m π π π 1,56 Hz och amplituden bli lia med aståndet lossen das fån sitt jämitsläe, d..s.,11 m b) Klossens hastihet es a ωacos ( ωt) och ä maimal då cos-temen ä maimal. Hastihetens maimala äde fås då som ω A 9,78,11 m/s 1,8 m/s ma Detta intäffa då den acceleeande aften eat så läne som möjlit i samma itnin, d..s. då lossen passea jämitsläet. c) Klossens acceleation es a a ω Asin ( ωt) och ä maimal då sin-temen ä maimal. Acceleationens maimala äde fås då som a ω A 9,78,11 m/s 1,5 m/ s ma Detta intäffa då den esulteande aften på lossen ä maimal, d..s. då fjäden ä som mest stäct, d..s. i ändläet. Sa: a) 9,8 ad/s 1,6 Hz och,11 m, b) 1,1 m/s då jämitsläet passeas och c) 11 m/ s i ändläet Peiodtiden es a T π m u ilet den söta fjädeonstanten fås som m T π π m T m,44 och T 8,8/15 s,5867 s

33 π Detta e,44 N/m 5,4 N/m,5867 Sa: 5 N/m 9.44 Kulans öelseenei es a m E Kulans öelseenei då den befinne si mitt emellan ändläet och jämitsläet es, enlit 9.35, ocså a 3 h E 4 Detta e m 3 h 4 elle 3 h h 3 4 m h,15 m och behöe bestämmas. jädeonstanten fås fån m T π m som π m T π m h ilet e T h π 3 3 m T π h hπ 3 3 T T T,75 s Den söta hastiheten fås nu som hπ,15 π 3 3 m/s 1,9 m/s T,75 Sa: 1,1 m/s

34 9.45 Pendelns sänninstid es a T π l l 1, m och 9,8 m/s. Detta e peiodtiden T π 1, 9,8 s,4 s Pendelns länd på Mas fås som T l π 3,77 m/s och T,4 s Sa:,38 m,4 l 3,77 m,384 m π 9.46 a) Klotet ha sin maimala hastihet då jämitsläet passeas. Detta intäffa,5 s efte att det släppts. Röelsen fån det att lotet släppts till det passea jämitsläet fösta ånen utö en fjädedel a hela sänninsöelsen. Alltså utö tiden fö detta en fjädedel a peiodtiden. Detta e T 4,5 s elle T 1, s b) Klotets läesenei då det hålls 5 cm oan jämitsläet ha helt omandlats till öelseenei då det passea jämitsläet. Detta e m mh h h,5 m ilet e 9,8, 5 m/s, m/s Sa: a) 1, s och b), m/s

35 9.47 öst ha i m 1 L och T 1 π m 1 elle 1 T 1 m 1 f1 1 π Sedan ha i m L elle m 1 L och f f1 π m π m π m Sa: f f 1