Kontrollskrivning Mekanik

Transkript

1 Institutionen fö fysik, kemi och biologi (IFM) Macus Ekholm TFYA6/KTR Kontollskivning Mekanik novembe 06 8:00 0:00 Kontollskivningen bestå av 3 uppgifte som totalt kan ge 4 poäng. Fö godkänt betyg (G) kävs poäng. Godkänd kontollskivning ge ätt att tillgodoäkna sig skivningspoäng vid tentamenstillfällen unde 07. ösninga skall vaa välmotiveade samt följa en tydlig lösningsgång. åt gäna din lösning åtföljas av en figu. Numeiska väden på fysikaliska stohete skall anges med enhet. Det skall tydligt famgå av edovisningen vad som ä det slutgiltiga svaet på vaje uppgift. Makea gäna ditt sva med exempelvis Sva:. Skiv baa på ena sidan av pappet, och behandla högst en uppgift pe blad. Skiv AID-numme på vaje blad Tillåtna hjälpmedel: äknedosa (även gafitande) med tömt minne bifogat fomelblad Examinato, Macus Ekholm, besöke skivningssalen vid ett tillfälle och nås i övigt via telefon, n ycka till

2 6 TFYA6 Uppgift Te kafte i samma plan veka på en gemensam punkt, vilket illusteas schematiskt i figuen nedan. Bestäm den esulteande kaften till stolek och iktning. Ange den esulteande kaftens iktning i föhållande till kaften F.Ritaenskiss som tydligt ange iktningen. F = N F = N F 3 = 6N α = 45 β = 0 ( p) Uppgift En patikel ö sig längs x-axeln. Dess hastighet som funktion av tiden, t 0 s, ges av: v(t) =4t 3 3t [m/s] Bestäm patikelns medelhastighet i tidsintevallet t s. ( p) Uppgift 3 En bil med massan 800 kg ö sig på ett hoisontellt undelag längs en del av en cikel med adie 00 m. Faten öka likfomigt fån m/s till 0 m/s unde 3,0 s. Beäkna stoleken på den nettokaft som veka på bilen då faten ä 0 m/s. Hu sto måste (den statiska) fiktionskoefficienten minst vaa mellan däcken och undelaget fö att bilen inte ska tappa geppet? ( p)

3 Fomelblad TFYA6 Mekanik bifogas tentamen vesion Kinematik Abete W = F ds = Fscos α v =ẋ = dx dv, a = v = v dx = d dx (v ) Cikulä öelse s = θ, ṡ = ω, s = α a = a + a t, a = v at = d v Peiodisk öelse: ω =πf = π T, T peioid ikfomig acceleation x(t) = at + vt, as = v v 0, s = v t Kinetisk enegi Ek = mv, W = E k ägesenegi Ep = mgy Konsevativa kafte Fx = de p(x) dx, W + W =0 Enegilagen Ep + Ek = Wf, Wf icke-konsevativa kaftes abete Effekt P = dw = F v, vekningsgad η = P nyttig Ptillföd Fiktionskaft statisk: fs µsfn, FN nomalkaft kinetisk: fk = µkfn µs, µk fiktionstal, θ(t) = αt + ωt, αθ = ω ω 0, θ = ω Kastöelse x(t) =v0t cos α, y(t) =v0t sin α gt, g =9,8 m/s Relativ öelse Punkt P :s läge i systemet A ä PA = PB + BA Patikeldynamik t Kaftmoment τ = F sin φ Röelsemängdsmoment = p sin φ F m p=mv Röelsemängd p = mv m massa Newtons laga. En kopp som inte påvekas av en kaft föbli i sitt tillstånd av vila, elle likfomig öelse längs en ät linje.. Då en kopp påvekas av en kaft F, ändas dess öelsemängd enligt: Hookes lag F = k l, k fjädekonstant m Hamonisk svängning T =π, x(t) =A sin k Matematisk pendel T =π g, pendellängd π T t + α dp = F Reducead massa µ = mm m + M 3. En kopp A som påveka en kopp, B, med kaften FAB, påvekas av kaften FBA = FAB. Impuls I = p = F Centipetalkaft Fc = mv = mω 3 Patikelsystem och stela koppa Masscentum g = M Masscentums öelse M dv g Rullvillko vg = ωr i m ii, M = i m i = Fext

4 Töghetsmoment I = i i m i = dm x x' Homogen cylinde y Iy = MR, Ix = 4 MR + M R Ix = 4 MR + 3 M Tunn stav (R = 0) Cikulä skiva ( = 0) Ix = M, Ix = 3 M Iz = MR, Ix = Iy = I z z Cikulä ing Iz = 4 M(R + R ) Klot Ix = Iy = Iz = 5 MR Tunt sfäiskt skal Ix = Iy = Iz = 3 MR R R x y z Fysikalisk pendel T = π I O mgh, h avstånd fån svängningsaxeln O till masscentum Rotationsöelse = Iω, d = τ, Eot k = Iω Allmän plan öelse Ek = I gω + Mv g 4 Elasticitet Tyckmodul B = Skjuvmodul G = F A p V/V x,dä tycket p = F/A (se figu ) Elastiticetsmodul vid stäckning E = F A $ " " 5 Fluidmekanik Densitet ρ = m V, V volym luft: ρ =,9 kg/m3, vatten: ρ = 997 kg /m 3 Akimedes pincip Flyft = ρgv ρ mediets densitet, V föemålets volym # Vätsketyck p = ρgh h djup(atomsfästyck = 0,3 kpa) Kontinuitetsekvationen Av = Av Benoullis pincip p + ρv + ρgy = p + ρv + ρgy luftmotstånd F = CρAv, C luftmotståndskoefficienten 6 Matematiska samband Geometi omkets ytaea volym cikel πr πr sfä 4πR 4πR 3 /3 cylinde πr πr Andagadsekvationen x + px + q = 0 ha lösninga x, = p ± 4 p q Diffeentialekvationen y + ay + by = f(x) ha lösningen y(x) =yh(x)+yp(x) Om f(x) =D och b =0ä yp(x) =Dx/a. Om f(x) =0ä yp = 0. Ce x + Ce x om = yh(x) = (Cx + C)e x om = dä, ä lösningana till ekvationen + a + b =0 Då, = α ± iβ : yh = e αx (A cos βx + B sin βx) Tigonometiska samband c = a + b sin α = a c, cos α = b c, tan α = a b sin (90 α) = cos α, cos (90 α) =sinα e ix = cos x + i sin x cos x = eix + e ix, sinx = eix e ix " # $ i Mcauinutvecklinga f(x) = f(0) + f (0) e x = + x + x sin x = x x3 cos x = x x + f (0) +...= 3 + x5 5...= x +...= + x4 4...= x n n ( ) n (n + ) xn+ ( ) n (n) xn f (n) (0) n x n

5 TFYA6 kontollskivning 6 Sva och anvisninga Uppgift Den esulteande kaften fås som: F R = i F i och komposantvis ha vi: F R,x = i F i,x F R,y = i F i,y dä vi beteckna komposantena utifån: F = F x ˆx+F y ŷ. Vi dela upp kaftena i x- och y-komposante och addea komposantvis: F R,x = F cos α + F + F 3 cos β = = cos cos 0 N= = 0 F R,y = F sin α + F 3 sin β = = = sin sin 0 N= 3 3 N = 4,96 N Stoleken ä alltså: F R = FR,x + F R,y =4,96 N 4,N och iktningen elativt x-axeln ä enligt figuen nedan: Sva: 4, N, iktning enligt figu ovan.

6 Uppgift Medelhastighet fås som: <v>= x t Föflyttningen i kan vi beäkna som integalen: Alltså ha vi: Sva: 8 m/s x = v(t) = 4t 3 3t = = t 4 t 3 = = = 8m <v>= 8 m/s = 8 m/s Uppgift 3 Nettokaften, F, hänge ihop med den totala acceleationen, a, enligt Newtons anda lag: F = ma dä a = a c + a t Vi ha att a t = v 0 = m/s =3,0m/s t 3,0 och centipetalacceleationen ä: a c = v R = 0 00 m/s =4,0m/s Acceleationens belopp ä alltså: a = 3 +4 N=5,0kN Alltså ha vi, med m = 800 kg, att den sökta kaften ä: F = ma = 800 5,0N=4,0kN Bilen glide då F>f s,max Den maximala fiktionskaften kan skivas: µ s F N = µ s mg = ma µ s g = a Eftesom bilen inte glide måste fiktionstalet minst vaa: µ s = a g Numeiskt få vi: µ s = 5,0 9,8 =0,5 Sva: Kaften ä 4,0 kn. Fiktionstalet minst 0,5.