TFYA16/TEN2. Tentamen Mekanik. 18 augusti :00 19:00. Tentamen består av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poäng.

Transkript

1 Institutionen fö fysik, kemi och biologi (IM) Macus Ekholm TYA16/TEN2 Tentamen Mekanik 18 augusti :00 19:00 Tentamen bestå av 6 uppgifte som vaea kan ge upp till 4 poäng. Lösninga skall vaa välmotiveae samt följa en tylig lösningsgång. Låt gäna in lösning åtföljas av en figu. Numeiska väen på fysikaliska stohete skall anges me enhet. Det skall tyligt famgå av eovisningen va som ä et slutgiltiga svaet på vaje uppgift. Makea gäna itt sva me exempelvis Sva:. Skiv baa på ena sian av pappet, och behanla högst en uppgift pe bla. Skiv AID-numme på vaje bla Tillåtna hjälpmeel: äkneosa (även gafitane) me tömt minne bifogat fomelbla Peliminäa betygsgänse: betyg 3 betyg 4 betyg 5 10 poäng 15 poäng 19 poäng Om u fick gokänt betyg på kontollskivningen (KTR1) 2016 få u tillgooäkna ig in skivningspoäng på uppgift 1. Om u välje att behanla uppgift 1 vi agens tentamenstillfälle så komme et mest föelaktiga esultatet att äknas. Examinato, Macus Ekholm, besöke skivningssalen vi två tillfällen och nås i övigt via telefon, n Lycka till

2

3 TYA16 1 Uppgift 1 a) En patikel ha massan 2 kg. I tisintevallet 0 t 1 s ges ess läge av: x(t) = At Bt 3 ä A = 1,0 m/s och B = 1,0 m/s 3. Hu sto kaft veka på patikeln å en byte öelseiktning? Ange även kaftens iktning. b) En patikel som ö sig längs en cikelbana me aien 4,0 m ha faten v(t) = Ce αt ä C = 2,0 m/s och α = 1,0 s 1. Bestäm tipunkten å e aiella och tangentiella komposantena av acceleationsvekton ä lika stoa. Uppgift 2 a) En snickae fösöke a upp en spik me hjälp av en hammae, vilket illusteas i figuen till höge. Snickaen a i hammaen me kaften, som ha sin angeppspunkt på avstånet L = 200 mm ifån punkten P, och ä bila ät vinkel mot lolinjen. Spiken sitte på avstånet = 50 mm ifån punkten P, och påveka hammaen me kaften T = 400 N akt neåt. Spiken ubbas ock inte, och systemet ä i statisk jämvikt me hammaen i vinkeln α = 30 mot lolinjen. Bestäm stoleken på kaften. Man kan botse fån hammaens egen tyng. α T P L b) Antag att spiken i a) kan betaktas som en cyline me längen 55 mm och iameten 2,0 mm å en ä obelasta. Om spikens elasticitetsmoul ä 60 GPa, hu mycket länge bli spiken å en utsätts fö agkaften 400 N? Uppgift 3 En kloss me massan 5 kg släpps 100 mm ovanfö en fjäe, vapå klossen fastna i fjäen. jäen tycks å ihop stäckan x, innan klossen byte iktning. I en svängningsöelse som äefte uppstå ä fekvensen 3 Hz. Beäkna stäckan x. 5 kg 100 mm x g (4 p)

4 TYA16 2 Uppgift 4 En hylsa ha massan m och kan glia fiktionsfitt längs me en stång. Stången bila vinkeln α me lolinjen enligt viståene figu. I ett visst ögonblick ha hylsan hastigheten v snett uppåt. Hu lång ti ta et tills hylsan ha hastigheten 2v snett neåt? v α g (4 p) Uppgift 5 a) En tunn cikulä skiva me aien R och massan M ä hoisontellt montea och kan svänga fiktionsfitt king en axel som passea genom ess centum, une ät vinkel mot skivan. Hu sto meeleffekt kävs fö att ge skivan otationsfekvensen f 1 une tien t? (1 p) b) Då skivan otea me fekvensen f 1 låte man en tunn stav falla ne på skivan utan att otea, enligt figuen nean. Staven ha samma massa som skivan och ess läng ä lika me skivans iamete. Staven fastna på skivan. Bestäm en gemensamma otationshastigheten fö e två koppana. (3 p) Uppgift 6 Två klossa, A och B, ä staplae på vaana och ligge på maken, enligt figuen nean. De kinetiska och statiska fiktionstalen mellan A och B ä 0,20 espektive 0,30. Det kinetiska fiktionstalet mellan B och unelaget ä 0,10. Massona fö A och B ä 4,0 kg espektive 16 kg. Då man a me kaften = 180 N i en une klossen ö sig systemet. a) Glie klossen A elativt B, å B ö sig? b) Beäkna acceleationen fö klossen B.

5 omelbla TYA16 Mekanik utelas vi skivningstillfälle vesion 3 Pefix p n µ m c k M G T Impuls I = p = t SI-enhete läng ti massa fekvens kaft enegi effekt tyck m s kg Hz = s 1 N = kg m/s 2 J = Nm W = J/s Pa = N/m 2 Centipetalkaft c = mv2 Abete W = s = s cos α = mω 2 Måttenhete 1 lite = 1/1000 m 3 = 1 m 3, 1 atm = 101,3 kpa, 1 u = 1, kg 1 Kinematik v = ẋ = x t v, a = v = v x = 1 2 x (v2 ) Kinetisk enegi Ek = mv2 2, W = E k Lägesenegi Ep = mgy Konsevativa kafte x = E p(x) x, W W2 1 = 0 Cikulä öelse s = θ, ṡ = ω, s = α, ω = θ, α = θ a = a 2 + a 2 t, a = v2 Peioisk öelse: ω = 2πf = 2π T Likfomig acceleation at = t v, f fekvens, T peioti 2 2 x(t) = 1 2 at2 + v0t + x0, 2as = v 2 v 0 2, s = v 2 θ(t) = 1 + ω0t +, 2αθ = ω 2 ω 2, θ = ω 0 + ω 2 αt2 θ Kastöelse x(t) = v0t cos α, y(t) = v0t sin α gt2 2, g = 9,81 m/s2 Relativ öelse Punkt P :s läge i systemet A ä P A = P B + BA 2 Patikelynamik Röelsemäng p = mv m massa Newtons laga 1. En kopp som inte påvekas av en kaft föbli i sitt tillstån av vila, elle likfomig öelse längs en ät linje. 2. Då en kopp påvekas av en kaft, änas ess öelsemäng enligt: p t = 3. En kopp A som påveka en kopp, B, me kaften AB, påvekas av kaften BA = AB. t t Enegilagen Ep + Ek = Wf, Wf icke-konsevativa kaftes abete Effekt P = W = v, vekningsga η = P nyttig t Ptillfö iktionskaft statisk: fs µsn, N nomalkaft kinetisk: fk = µkn µs, µk fiktionstal, Kaftmoment τ = sin φ Röelsemängsmoment L = p sin φ Hookes lag = k l, k fjäekonstant Hamonisk svängning x(t) = A sin (ωt + α) = A sin m Total enegi: E = ka 2 /2 L Matematisk penel T = 2π g, L penelläng Reucea massa µ = mm m + M 3 Patikelsystem och stela koppa Masscentum g = 1 M Masscentums öelse M v g t i m ii, M = i m i = ext m p=mv ( ) 2π T t p=mv + α, T = 2π m k

6 Rullvillko vg = ωr Töghetsmoment I = i 2 i m i = 2 m x x' Homogen cyline y Iy = 1 2 MR2, Ix = 1 4 MR ML2 R Ix = 1 4 MR ML2 L Tunn stav (R = 0) Cikulä skiva (L = 0) Ix = 1 12 ML2, Ix = 1 3 ML2 Iy = MR2, Ix = I y z Cikulä ing Iz = 1 2 M(R2 1 + R 2 2) Klot Ix = Iy = Iz = 2 5 MR2 Tunt sfäiskt skal Ix = Iy = Iz = 2 3 MR2 R 2 R 1 x y z ysikalisk penel T = 2π I O mgh, h avstån fån svängningsaxeln O till masscentum Rotationsöelse L = Iω, L t = Iα = τ, W = τ θ, E k ot = 1 2 Iω2 Allmän plan öelse Ek = 1 2 I gω Mv2 g 4 Elasticitet Elasticitetsmoul E = σ/ε [ E ] = [ σ ] =N/m 2 = Pa spänningen σ = /A, töjningen ε = L/L Δx A Skjuvmoul G = τ/γ [ G ] = [ τ ] = N/m 2 = Pa skjuvspänningen τ = /A, skjuvningen γ = x/h Tyckmoul B = pv/ V [ B ] = [ p ] = N/m 2 = Pa tycket p = /A, kompessibilitet κ = B 1 h A skjuvning 5 luimekanik Densitet ρ = m V, V volym luft: ρ = 1,29 kg/m3, vatten: ρ = 997 kg /m 3 Akimees pincip lyft = ρgv, ρ meiets ensitet, V föemålets volym Vätsketyck p = ρgh h jup Kontinuitetsekvationen A1v1 = A2v2 Benoullis pincip p ρv2 1 + ρgy1 = p ρv2 2 + ρgy2 Luftmotstån = 1 2 CρAv2, C luftmotstånskoefficienten 6 Matematiska samban Geometi omkets ytaea volym cikel 2πR πr 2 sfä 4πR 2 4πR 3 /3 cyline 2πRL πr 2 L a c b α c = a 2 + b 2 sin α = a c, cos α = b c, tan α = a b Tigonometiska samban sin (90 α) = cos α, cos (90 α) = sin α e ix = cos x + i sin x cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix x sin x = cos x, x 2 cos x = sin x 2i Anagasekvationen x 2 + px + q = 0 ha lösninga x1,2 = 1 2 p ± 1 4 p2 q Diffeentialekvationen y + ay + by = f(x) ha lösningen y(x) = yh(x) + yp(x) Om f(x) = D och b = 0 ä yp(x) = Dx/a. Om f(x) = 0 ä yp = 0. { C1e 1x + C2e 2x om 1 2 yh(x) = (C1x + C2)e 1x om 1 = 2 ä 1,2 ä lösningana till ekvationen 2 + a + b = 0 Då 1,2 = α ± iβ : yh = e αx (A cos βx + B sin βx) McLauinutvecklinga f(x) = f(0) + f (0) 1 e x = 1 + x 1 + x2 sin x = x x3 cos x = 1 x2 x + f (0) = 3 + x = x = 2 + x = x n n ( 1) n (2n + 1) x2n+1 ( 1) n (2n) x2n f (n) (0) n x n