Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

Transkript

1 KTH Mekanik Mekanik fö I, SG1109, Lösninga till poblemtentamen, Uppgift 1: En lätt glatt stång OA kan otea king en fix glatt led i O. Leden i O sitte på en glatt vetikal vägg. I punkten B, på halva stångens längd akt öve O, ä en lätt otänjba tåd fäst i väggen. Tåden ä hoisontell och i sin anda ände fäst i stångens ändpunkt A så att stången, tåden och biten OB av väggen bilda en halv liksidig tiangel ( gades-tiangel). En glatt cikulä skiva med massan m och adien vila mot väggen i C och stången i D så att övesta punkten ä pecis unde tåden AB. 1) Visa att stäckan OD ä 3. 2) Beäkna spännkaften i tåden. B S A C G m O D N 2 C N 1 G mg N 2 D Figu 1: Systemet i Uppgift 1. Till vänste ha kaftena på den lätta staven OA satts ut. Till höge ä den cylindiska plattan filagd. Lösning 1: Fö 1) betakta man tiangeln OGD. Den ä också en halv liksidig. Detta betyde att vinkeln vid D ä ät och att stäckan OG = 2. Pytagoas sats ge då att OD = (2) 2. Detta medfö att OD 2 = = 3 2 vilket ge Sva: OD = 3. Nu betakta vi den filagda cylindeplattan och få jämviktsekvationena: N 1 N 2 sin(π/6) = 0, mg + N 2 cos(π/6) = 0, I hoisontell esp. vetikal led. U den anda av dessa få man N 2 = (2/ 3) mg vilket behövs i ekvationen fö stavens momentjämvikt. Momentekvationens komponenet vinkelätt mot planet ge M O = OD N 2 + OB S = 0. Men OB = OC + CB = OD + = ( 3 + 1). Då fås jämviktsekvationen fö momentet till, 3(2/ 3) mg + ( 3 + 1)S = 0. S, spännkaften i linan kan lösas ut och man få Sva: Spännkaften ä S = mg.

2 Uppgift 2: En bil kö in i en 90-gades sväng som ha fomen av en kvatscikelbåge med adie. Bilen ha faten v 0 nä den kö in i kuvan. Den acceleea med konstant tangentialacceleation s = a genom svängen. Beäkna faten och acceleationens belopp pecis i slutet av svängen. v 0 e t e n Lösning 2: Lagen om kinetiska enegin ge Figu 2: I uppgift 2 infö man natuliga komponente. T 1 T 0 = 1 2 mv mv2 0 = U 0 1 = F t (s 1 s 0 ) dä T 0 ä kinetiska enegin i statläget och T 1 ä kinetiska enegi i slutläget, och s 0 ä båglängden i statläget och s 1 ä båglängden i slutläget. Vi ha att tangentialkomponenten av kaften ä F t = ma och att båglängden längs en kvatscikel ä s 1 s 0 = π/2. Detta ge att Acceleationen i natuliga komponente ges av, v 2 1 = v a π 2 = v2 0 + aπ. så pecis i slutet av kuvan fås a = s e t + v2 e n, Detta ge, Sva: v 1 = a 1 = s e t + v2 1 e n = a e t + v2 0 + aπ v0 2 + aπ och a 1 = a 2 (1 + π 2 ) + v v2 0 aπ. e n (Altenativ metod: Man kan även använda ṡ = v = v 0 + at och s = v 0 t + (1/2)at 2 och sätta s = π/2 i den anda ekvationen och lösa ut vid vilken tid t 1 man nått slutet av kuvan. Detta ge insatt i den fösta ekvationen sedan v 1.)

3 Uppgift 3: En patikel skjuts iväg så att den uppnå maximala höjden h på det hoisontella avståndet h fån uppskjutningspunkten. Beäkna utgångshastighetens vinkel α med hoisontalen och dess belopp v. Tyngdacceleationen ä g som vanligt. y v h x h Figu 3: Bild till Uppgift 3. h och g ä givna. α och v skall äknas ut. Lösning 3: Kaftekvationen och integation av den ge mẍ = 0 ẋ = v cos α x = v cos α t mÿ = mg ẏ = v sin α gt y = v sin α t (1/2)gt 2. Enligt föutsättningana gälle att nä x = h så ä ẏ = 0. Detta ge h = v cos α t h fö tiden t h = h/(v cos α) vid toppen av banan. Sätts detta in i ẏ = 0 fås 0 = v sin α g[h/(v cos α)]. Detta ge slutligen att, v 2 sin α cos α = gh. (1) Man ha även att y(t h ) = h vilket ge ekvationen h = v sin α[h/(v cos α)] (1/2)g[h/(v cos α)] 2. Efte lite föenkling få man då (tan α = sin α/ cos α), 2v 2 cos 2 α(tan α 1) = gh. (2) Eliminea gh genom att sätta dessa ekvatione lika. Dividea esultatet med cos 2 α så fås, tan α = 2(tan α 1). U denna löse man lätt ut att, tan α = 2 så man få Sva: α = actan 2 ( 63,43). v fås nu u ekvation (1) genom att man använde tigonometiska ettan i: 2 2 = tan 2 α = sin 2 α/ cos 2 α vilket ge 4(1 sin 2 α) = sin 2 α. U detta fås lätt att sin 2 α = 4/5. Tigonometiska ettan en gång till ge då cos 2 α = 1/5. Nu fås alltså u (1) att Sva: 5 v = 2 gh.

4 Uppgift 4: Vinkelfekvensen fö en stålkula med massa m och adie som hänge i en fjäde med fjädekonstant k mäts, dels i luft, dä den ä ω n, dels i en vätska med viskosisteten µ, dä den ä ω d. Motståndskaften i vätskan ges av F = µ6πv, dä v ä faten. Vad bli den dimensionslösa dämpningsfakton ζ i systemets öelseekvation ẍ+2ζω n ẋ+ω 2 nx = 0? Tag fam allmänna lösningen till denna ekvation vid svag dämpning. Lösning 4: Med neåtiktad x -axel fås kaftekvationen i vätskan till mẍ = kx cẋ +mg. Flytta oigo till x = mg/k så att den nya x-koodinaten uppfylle x = x +mg/k. Då fås mẍ = kx cẋ dä c = µ6π. Divideas med m och flyttas temena till vänsteledet fås, ẍ + (µ6π/m) + (k/m)x = 0. Jämfös detta med ẍ + 2ζω n ẋ + ω 2 nx = 0 fås diekt att ω 2 n = k/m och att Alltså bli ζ = 1 2ω n µ6π m = 2ζω n = µ6π/m. m 2 k µ6π m = µ3π km Alltså Sva 1: ζ = µ3π km. Allmänna lösningen tas fam genom exponentiell ansats och kaaktäistisk ekvation enligt boken. Man få t.ex. Sva 2: dä ω d = ω n 1 ζ 2. x(t) = C exp( ζω n t) sin(ω d t + α),

5 Teoitentamen Uppgift 5: Definiea skaläpodukten och vekto- elle kysspodukten av två vektoe, a och b, dels geometiskt med hjälp av längde och vinkla mm., dels i teme av vektoenas komponente i någon otogonal högeoientead bas i det tedimensionella ummet. Sva 5: Detta finns i appendix A. i Chiste Nybeg, Mekanik Gundkus. Uppgift 6: Definiea momentet med avseende på O fö en kaft F som angipe i punkten P. Definiea momentet fö kaften m.a.p. en axel genom O paallell med enhetsvekton e λ och visa att detta moment ä obeoende av momentpunktens läge på axeln. Sva 6: Detta finns i avsnitt 2.3 i Chiste Nybeg, Mekanik Gundkus. Uppgift 7: Infö kaftekvationen uttyckt med hjälp av dess natuliga komponente. Använd detta som utgångspunkt fö att häleda lagen om kinetiska enegin. Sva 7: Detta finns i avsnitt 8.2 i Chiste Nybeg, Mekanik Gundkus. Uppgift 8: Allmänna lösningen till en fi odämpad svängning kan antingen skivas x(t) = A cos(ω n t) + B sin(ω n t) elle x(t) = C sin(ω n t + α). Ta fam uttyck fö α och C i teme av A och B. Vad betyde (kallas) stohetena C, α och ω n? Sva 8: Detta finns i Chiste Nybeg, Mekanik Gundkus på sidan 265. HE