Gravitation och planetrörelse: Keplers 3 lagar

Transkript

1 Gavitation och planetöelse: Keples 3 laga (YF kap. 13.5) Johannes Keple ( ) utgick fån Copenicus heliocentiska väldsbild (1543) och analyseade ( ) data fån Tycho Bahe, vilket esulteade i de te "Kepleska Lagana" som i sin tu låg till gund fö Newtons teoetiska abete (1687). Peihelion Aphelion Keples laga: 1. Planetena ö sig i elliptiska bano, med solen i ena bännpunkten.. Lägesvekton fö en planet elativt solen svepe öve lika sto yta på samma tid. 3. Kvadaten på omloppstiden ä popotionell mot kuben av medelavståndet till solen. P = k[( 1 + )/] 3 xcenticitet e =

2 Tolkning av Keple (YF kap. 13.5) Keple : Lägesvekton fö en planet elativt solen svepe öve lika sto yta på samma tid. Svept yta da ytan av gå tiangeln = (1/) dq 1 nligt Keple- ska dq 1 da/dt = = θ denna vaa konstant. dt Planetens öelsemängdsmoment elativt solen: ሜL = lj mv lj = m( ሶ + θθ) ሶ = m θ z ሶ d.v.s. da L = m = konstant dt Keple- ge alltså att öelsmängdsmomentet konseveas!

3 Röelsemängdsmomentets bevaande fö centalkafte dതl = തτ ; om തτ =0: dതl = ഥ0 ഥL = konst dt dt (YF kap. 13.5) Om kaften ഥF ä en centalkaft så veka den genom koppanas sammanbindningslinje. Då ä ഥF paallell med ത, dvs veka genom O. തτ = ത ഥF = ഥ0 ftesom തτ = ഥ0 ä ഥL konstant. Fö patikel påvekad av centalkaft ä öelsemängdsmomentet bevaat Keple visa alltså att gavitationskaften mellan planeten och solen ä cental. 3

4 Gavitationens avståndsbeoende (YF kap ) Keple-3 kan uttyckas som P = k 3 dä P ä planetens peiodtid, medelavstånd till solen och k en konstant. Fö specialfallet cikelöelse ä det lätt att visa att gavitationens avståndsbeoende kan häledas u detta. Centipetalacceleationen fö cikelöelse: a N = v / F = m a N = m v / (Newton II) Då faten v = p/p ehålles: F = 4p (m/p ) Använd Keple-3: P = k 3 F = 4p (m/ k 3 ) = k (1/ ) F = k 1 Gavitationskaftens avståndsbeoende 4

5 Newtons lag om allmän gavitation (YF kap. 13.1) ˆ I vektofom: ሜF = G = Nm kg "Gavitationskaften ä alltid attaktiv och ä omvänt popotionell mot kvadaten på avståndet mellan koppana" 5

6 Newtons lag om allmän gavitation och tyngdacceleation Newton kontolleade sin lag med hjälp av data fö månens bana. Antag att vi vet avståndet till månen, månens peiodtid P samt jodadien R. Centipetalacceleationen a måne beo på jodens dagningskaft på månen, F(), som hålle månen i en cikulä bana unt joden. Månen acceleea mot joden med en tyngdacceleation a måne som ä minde än g a måne = g = v = π jod = 9.8 m/s pga det stöe avståndet. 1 P = 4π P R Jod F() måne = m/ s Gavitation vid jodens yta Jodens gavitation vid månen = g(r) g() = Om Newtons lag om allmän gavitation gälle: F(R) = R F() = = mg(r) = mg() 3600 = (60) g(r) g() = R (60) (YF kap ) (Om det ä OK att anta jodens massa ä koncentead till en punkt i centum.) 6

7 Newtons lag om allmän gavitation, tyngdacceleation xempel: Hu högt ovan jodytan kan vi gå utan att tyngdacceleationen avvike med me än 1% fån g? Jodadien R = m. (YF kap ) (YF kap ) Cavendish-utustning fö att studea gavitationen mellan koppa på joden. Käve god noggannhet då kaftena ä små. 7

8 Gavitationens potentiella enegi (YF kap. 13.3) ftesom gavitationen ሜF = ˆ ä en centalkaft ä det en konsevativ kaft, vilket innebä att vi kan definea en potentiell enegi p = p () F = d p = p = 1 ; F = d p d d p d = p d d න d p = න Den totala enegin fö två koppa med massa m, hastighet v espektive massa M, hastighet V: 1 1 = k + p = MV + mv Om M >> m kan vi anse att massan M stå still i ett inetialsystem så att fösta temen i högeledet fösvinne. (Denna appoximation ä OK fö Jod - Måne esp. Solen och planetena) 0 = Vi välje p ( ) = 0 8

9 Relation mellan enegi och banöelse = k + p = 1 mv Om banan ä cikulä ä kaften in mot centum F N = ma N = mv / sätt F N med gavitationskaften, F N =GmM / : G(mM/ ) = mv / (YF kap. 13.4) F n Multiplicea med /: GmM / =(1/) mv = k. Följande uttyck fö ehålls: = = Slutsats: Fö en cikelbana ä totala enegin alltid < 0, föutsatt att vi valt p = 0 nä patikeln ä på oändligt avstånd. Slutsatsen gälle även fö elliptiska bano, dvs. Bundna bano ha alltid negativ totalenegi 9

10 Flykthastighet (YF kap. 13.3: xample 13.5(b)) Genom att sätta totalenegin = 0 ehålle vi den minsta hastighet v e som kävs fö att en kopp skall lämna joden fö gott. Obsevea att detta inte ä den hastighet som kävs fö att sända upp en satellit, som ju befinne sig i en bunden bana. = 0 = 1 mv e R v e = GM R = m/s = km/h Flykthastigheten beo alltså av jodens massa M, men ej av pojektilens massa m. Den enegi som gå åt fö att acceleea en tung kopp till v e, k = 1 mv e, ä dock givetvis höge än fö en lätt kopp. 10

11 Satellite (YF kap. 13.4) Antag att satelliten föts upp till höjden h öve jodytan, och sedan ehålle en injektionshastighet v 0 enligt figuen (tangentiellt mot jodens yta) Totalenegin ges av: = 1 mv 0 R + h Om < 0 komme banan att vaa en ellips med jodens centum i fokus. Om banan ej skä jodytan ehålls en omloppsbana. Om > 0 fås en öppen bana (hypebel), och pojektilen fösvinne mot oändligheten. 11

12 Vafö ellipse och inte cikla?? (Le 11, uppgift 5) Teckna k fö en planet/satellit i planpoläa koodinate: mv m m m k = = ( + q q ) = + L = m q (Röelsemängdsmomentet fö centalkaft) k m = L + m Vi ha gavitationskaft, så p = / vilket ge totalenegi: m L = k + p = + m ftesom öelsemängdsmomentet L ä konstant (centalkaft!) så ä denna tem endast beoende på, vilket innebä att det fomellt kan betaktas som potentiell enegi. Kallas centifugalpotential. 1

13 Vafö ellipse, fots. m L = k + p = + m p,eff = L m Hypebel h h ellips 1 1 cikel 0 3 komme att oscillea mellan 1 och, dvs. vi ha en ellips 13