x=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

Transkript

1 Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vaa en dieentieba unktion i punkten a b Då ä N a b a b en nomalvekto nomaliktning till tan i punkten a b a b Vekton N ä oientead uppåt etesom z-koodinaten ä Vekton N a b a b ä en tans nomalvekto oientead nedåt etesom z-koodinaten ä - N Ykonstant V konstant V Kot öklaing: Om t t t z t en kuva i R 3 då ä T t t z t kuvans tangentvekto se en lektion om kuvo på paameteom av

2 Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione En punkt på tan z ha koodinate Om vi välje konstant b och vaiea endast å vi kuvan b b som ligge på tan och som ha tangent vekton ' ' b Kuvans tangentvekto i punkten P bli däö V ' a ' a b V På samma sätt visa vi att ' a b ä en tangentvekto i punkten P till kuvan a a Häav ä som deinieas av konstanta i j k N V V ' a b a b ' vad skulle visas EXEMPEL : Om z 5 då ä En nomalvekto i punkten P 7 bli då N TANGENTPLAN av

3 Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione Fö tangentplanet i P ha vi punktens koodinate a b c och en nomalvekto N a b a b Däö ges tangentplanets ekvation i punkten P a b c på tan z dä c a b av öljande omel a b a a b b z c elle z c a b a a b b som ota skivs på öljande om: Tangentplanets ekvation i punkten P a b a b på tan z ges av z a b a b a a b b EXEMPEL : Om z då ä Tangentplanets ekvation i punkten 4 bli då z 4 LINJÄRA APPROXIMATIONER Låt z vaa en given ta med kontinueliga patiella deivato i en öppen omgivning till punkten Låt vidae z * vaa tangentplanets ekvation i punkten P Om en punkt i -planet ligge näa punkten då kan vi använda tangentplanets ekvation * ö att appoimativt bestämma dvs unktionens väde i : ** 3 av

4 Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione 4 av Vi kan också skiva ε *** dä ε beteckna esttem dvs elet vid appoimationen Uttcket ** elle *** kallas ö linjä appoimation elle lineaiseing linjäiseing linjaiseing av unktionen P Q R o o Anda skivsätt: Om vi beteckna Δ och Δ kan vi skiva ε Δ Δ elle ε Δ Δ Anmäkning Appoimatione av höge gad och me om elet behandla vi senae i kusen i samband med Talos omel

5 Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione DIFFERENTIAL Vi kan skiva ovanstående appoimationsomel ö unktionen z på öljande sätt: F Om vi beteckna Δ och d kan vi skiva Δ d Uttcket på högesidan i omeln F d kallas dieential till unktionen z och betecknas dz elle d Kotae d Δ Δ Om ä obeoende vaiable beteckna vi Δ d och Δ d och d d d dieential i en allmän punkt På liknande sätt deinieas dieential av en unktion ed n vaiable n d d d L n d n Om ä dieentieba då Δ d EXEMPEL3: Om sin då ä unktionens dieential d cos d sin d DIFFERENTIERBARHET Om en unktion av en vaiabel hadeivatan i en punkt a då ä unktionen automatiskt kontinuelig i denna punkt Detta egenskap gälle INTE ö unktione av lea vaiabel Det inns unktione t e med två va z som ha patiella deivato i en punkt men som ä INTE kontinueliga i punkten 5 av

6 Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione Ett eempel : Funktionen z om om ä INTE kontinuelig i punkten tots att båda deivato eistea och som kan visas med hjälp av deivatans deinitionen I många satse inom levaiabelanals ä kavet att en unktion z ha patiella deivato otast ö svag Vi använde otast ett stakae antagande : att unktion ä dieentieba Begeppet dieentieba deiniea vi nedan: DEFINITION: Låt z vaa en unktion deiniead i en öppen mängd D som innehålle en punkt P Vi säge att unktionen ä dieentieba om öljande gälle h k h k h k ε h k dä ε h k om h k På liknande sätt deinieas dieentiebahet ö en unktion av n vaiable Fö en unktion av en vaiabel ä dieentiebahet och deivebahet detsamma Följande sats ä diekt öljd av deinitionen: SATS Om en unktion ä dieentieba i punkten P så ä unktionen kontinuelig i P Nedanstående sats hjälpe oss att undesöka om en unktion ä dieentieba se kusboken ö bevis SATS Låt z vaa en unktion deiniead i en öppen mängd D som innehålle en punkt P Om unktionen ha patiella deivato i D som ä kontinueliga i punkten P så ä unktionen dieentieba i P EXEMPEL 4 Om e sin ha patiella deivato e cos e sin som ä kontinueliga i vaje punkt i R Däö ä unktionen dieentieba i hela R 3 Uppgit Bestäm en nomalvekto till tan z i punkten P 4 6 av

7 Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione Lösning: Vi beäkna patiella deivato i punkten P4: 3 3 och substituea i omel n N a b a b 3 Sva: N 3 Uppgit Bestäm alla punkte på tan z dä tans nomalvekto ä paallell med äta linjen L: z 3z Lösning: Linjens iktningsvekto ä v Patiella deivato: Ytans nomalvekto i punkten z ä nu N Vektoena N och v ä paallella om det inns k så att N k v som lede till te skaläa ekvatione: k ekv k ekv och k ekv 3 Enligt sista ekvationen ha vi k som vi använde i östa två ekv och å och elle och som visa att måste vaa positiva och dessutom * 7 av

8 Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione Häav och ån en av ovanstående ekvatione till e ölje: 3 ± 3 Etesom positiv ha vi slutligen Fån ha vi att 3 3 z 3 Sva Nomalen i punkten ä paallell med linjen L Uppgit 3 Betakta unktionen z ln 4 a Bestäm tangentplanets ekvation i punkten P b Beäkna appoimativt Lösning: ln Tangentplanet ha ekvation z dvs: z 4 tangentens ekvation elle kotae z 4 7 b Vi appoimativt beäkna genom att substituea i tangentens ekvation Sva 9 Uppgit 4 Betakta unktionen z h 3 h ln h 4 a Lineaisea unktionen king punkten h b Beäkna appoimativt 8 av

9 Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione Lösning: 3 ln 3 h 4 4 h 4 h h ln h 4 h h 4 ln 8 8 Anmäkning: Om du tcke att det ä enklae att hantea uttck då kan du bta beteckning till z 3 ln 4 Vi substituea beäknade väden i omeln ö lineaiseing av unktionen z h h h h h h ε h h och å dvs: h h ε Med anda od h h b Vi appoimativt beäkna genom att substituea h i h h Sva 4 6 Uppgit 5 Låt Π vaa det tangentplan till tan z 4 som ä paallell med planet 8 4 z 9 Låt A B och C vaa skäningspunkte mellan tangentplanet Π och koodinatalana Bestäm volmen av pamiden OABC dä O beteckna oigo Lösning: Föst bestämme vi den punkt i vilken tangentplanets nomalvekto N ä paallell med v 8 4 Vi beäkna 9 av

10 Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione N 4 N och v ä paallella om N k v dvs om 4 k 8 4 som ge 4 8k 4k k Häav k/ och z- 7 Tangentplanet I punkten P -7 ä paallell med givna planet I punkten P gälle 4 4 och Dämed bli tangentplanets ekvation i punkten P - 7 z 7 4 elle z 4 Tangentplanet skä alana i öljande punkte: z och dämed A z / och dämed B / z -/4 och dämed B-/4 Basen i pamiden ä ätvinkliga tiangeln OAB med aean aeanoab 4 Volmen av pamiden Bastans aea* höjden Sva: Volmen / 48 v e av