LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 8. Vi antar först att den givna bromsande kraften F = kx är den enda kraft som påverkar rörelsen och därmed också O

Transkript

1 LEDIGAR TILL ROLEM I KAITEL 8 L 8. Vi anta föst att den givna bomsande kaften F = k ä den enda kaft som påveka öesen och dämed också O intängningsdjupet. Men veka ingen kaft i öeseiktningen? Fastän man i taspåk kunde ha sagt att kuan kom med en vådsam kaft mot mået ä k det inte fågan om en kaft i fysikaisk mening. Kuan ha däemot fån böjan en öesemängd p= m v som minska ti no vid inbomsningen. Det ä föändingen pe tid av denna öesemängd som enigt kaftekvationen F = p ä detsamma som nettokaften på kuan. egynnesevikoet ä t = v Vi ska bestämma faten som funktion av äget. En enegiekvation ä just en sådan ekvation dä tidsbeoendet eimineats. Vi väje hä Den kinetiska enegin fån böjan ä given: T = mv Abetet U, som den bomsande kontaktkaften gö, bestäms genom integeing enigt definitionen U = F d C åde kaften och föfyttningen ha hä komponent endast i -iktningen. Kaften ä motsatt iktad föfyttningen så att ett minustecken uppstå i skaäpodukten. Insättning i ge U = kd = k Insättning i huvudekvationen () ge k = m mv ẋ = k v m (5) Vi vet att intängningsdjupet ä d. Det betyde enigt ekv (5) att k v m d mv k = d Insättning i (5) ge esutatet ẋ = v d

2 L 8. Containen ha massan m. Den gide på ett hoisontapan med fiktionstaet µ och påvekas av kaften = c+ k. egynnesevikoet ä O f t Fiägg containen! Föutom den givna hydauiska kaften veka tyngdkaften, nomakaften samt fiktionskaften f. Vi ska bestämma faten som funktion av äget. Om kaftenas abeten på containen kan bestämmas fås fatändingen indiekt av Tyngdkaften och nomakaften gö inget abete eftesom de ä vinkeäta mot föfyttningen. Enigt kaftekvationens vetikaa komponent ä = Fiktionskaften ä fut utbidad (dvs maima) vid gidning så att f = µ f = µ Fiktionskaftens abete ä då U = µ d = µ µ f [ ] = och kan sägas vaa kaft gånge väg eftesom kaften ä konstant. Kaften gö abetet k k U = ( c k ) d = + c c + = + (5) Obsevea att abetet måste beäknas som en intega då kaften ej ä konstant. Insättning i huvudekvationen () ge nu k c + µ = m (6) ẋ m c k = ( µ ) +

3 L 8.6 y Föutom av den givna adiea och ti beoppet konstanta kaften påvekas koppen av tyngdkaften och kontaktkaften fån stången. En kontaktkaft kan deas upp i en nomakaft och en fiktionskaft f. Hä ä stången gatt så att fiktionskaften ä no. ankuvans ekvation ä given: = kθ θ egynnesevikoet ä π π θ =, = = k t θ, Vi ska bestämma faten som funktion av äget (ägeskoodinatenθ ). Om kaftenas abeten på koppen kan bestämmas fås fatändingen indiekt av omakaften gö inget abete eftesom den ä vinkeät mot hastigheten. Koppens y-koodinat ä sinθ. Angeppspunkten fö tyngdkaften ha då en vetika föfyttning uppåt π π kθsinθ k sin Tyngdkaftens abete bestäms som kaften gånge föfyttningen i kaftens iktning och bi U = k π π θsinθ k sin U k = π θ sin θ Vid bestämning av den adiea kaftens abete ä det baa koppens adiea föfyttning som bida (se matematisk motiveing nedan!). Vi få U = k π θ k Insättning i huvudekvationen () ge U = k π θ π π k θ k θ θ mv + = sin (5) k π v = gk m + π θ θsinθ Kommenta: Kaften gö abetet U = e d = e de + dθe θ = d =.

4 L 8. k k k v k Fjädanas maimaa ängdänding söks. Motsvaande öesetistånd måste vaa ett vändäge fö hysan, dvs då faten momentant ä no. Det betyde att den kinetiska enegin som fanns fån böjan ha övegått ti potentie enegi hos fjädana. Föutom av fjädekaftena påvekas hysan också av tyngdkaften och kontaktkaften fån stången. Eftesom stången ä gatt ä fiktionskaften no och kontaktkaften bestå av enbat en nomakaft. Vid en enegibetaktese gö vaken ee något abete. De ä däfö inte hee utitade i fiäggningsfiguen. egynnesevikoet ä t = v Även om vi ska betakta ett ögonbick då faten ä no handa det om faten i ett visst äge. I en pobemtyp dä man ska bestämma faten som funktion av äget används i fösta hand en enegiekvation. Vi väje hä Den kinetiska enegin fån böjan ä given: T = mv Abetet som en fjädekaft gö vid en föängning bestäms med integeing. Det bi negativt, eftesom kaften ä motiktad föfyttningen: F d = F d = kd = k Huvudekvationen () ge nu hastigheten i ett godtyckigt äge: k k = m mv Speciet fås äget (ee den maimaa ängdändingen ma ) fö ett vändäge då ẋ k ma k ma mv (5) k + k mv = ma (6) m = k k v ma + Anm.: Lösningen kan också fås u agen om mekaniska enegins bevaande.

5 L 8. Q A R θ F fjäde O h Koppens kinetiska enegi som funktion av äget ges av en enegiekvation, i viken tiden edan fån böjan ä eiminead. Stången ä gatt, dvs fiktionskaften ä no, och koppen påvekas föutom av fjädekaften baa av tyngdkaften och nomakaften fån stången. omakaften ä adie, men om den ä iktad utåt som i figuen ee inåt mot kökningscentum beo på hu sto fjädekaften ä jämföt med tyngdkaften. Vid en enegibetaktese gö inte något abete, eftesom den ä vinkeät mot hastigheten (ee en infinitesima föfyttning). Eftesom både tyngdkaften och fjädekaften ä konsevativa gäe hä Lagen om mekaniska enegin: T + V = T + V Vänsteedet gäe ett godtyckigt äge och högeedet begynneseäget. Om en fjäde ha föängningen så ä den potentiea enegin k. Vi vet hä fjädens natuiga ängd. Den aktuea ängden i ett godtyckigt äge ges av hypotenusan i tiangen OQ (se figu!): ( R+ Rcosθ) + ( h+ Rsinθ) Om man vi (det ä inte nödvändigt) kan man skiv detta R ( + cos θ + sin θ + cosθ)+ h + Rhsinθ ee R ( + cosθ)+ h + Rhsinθ Insättning i huvudekvationen () ge = + + ( + ) T Rsinθ + k R ( + cosθ)+ h + Rhsinθ k 4R h Resutatet ä atså T = Rsinθ + k ( 4R + h ) ( R ( + cosθ)+ h + Rhsinθ ) Eempevis bi kinetiska enegin i äget, dä θ = π T = k 4R + h h

6 L 8. F F h δ Refeensnivå En tyngd fae i tyngdkaftfätet. Den vinne kinetisk enegi på bekostnad av den potentiea enegin. ä tyngden få kontakt med fjädana minskas den kinetiska enegin och den potentiea enegin associead med fjädana öka då fjädana tycks ihop. Eftesom både fjädekaften och tyngdkaften ä konsevativa och de ä de enda kaftena, så ä den mekaniska enegin en öesekonstant. Den mekaniska enegin bevaas. Vi jämfö atså diekt summan av den kinetiska och potentiea enegin i utgångsäget och det äge som motsvaa maima fökotning av fjädana. Det senae äget måste vaa det äge då tyngden vände, dvs då hastigheten momentant ä no. Lösningen bode ges av agen om den mekaniska enegin: T + V = T + V () Vi väje som efeensnivå fö fjädekaften det äge dä fjädana ha sin natuiga ängd. Om samma efeensnivå väjs fö tyngdkaften (det ä inte as nödvändigt) ge ekv () δ + kδ + kδ + h + + Den kinetiska enegin ä no i båda ägena. Tots att öesen bestå av två dea, fitt fa och fjädekontakt, kan hea öesen betaktas på en gång. Det föutsätte föstås att ingen enegi föoas vid en tänkba stöt mot fjädana. Omskivning av ekvationen ge ( k + k) δ δ h Vi öse denna andagadsekvation: δ h δ k + k k + k δ = ee δ = k + k ± k + k h + k + k k + k hk+ k + +

7 L 8. z A (,, )m CA (, 7, 7)m C F fjäde C (, 8, )m y Stången ä gatt. Hysan påvekas däfö av tyngdkaften, nomakaften och fjädekaften F fjäde. Vi ska bestämma hysans fat i ett visst äge. Sambandet mean fat och äge ges av en enegiag. Eftesom nomakaften ä vinkeät mot vaje iten (infinitesima) föfyttning ä det baa tyngdkaften och fjädekaften som gö abete. De ä också konsevativa och vi känne motsvaande potentiafunktione. Den mekaniska enegin ä en öesekonstant och ösningen bode atså kunna ges av agen om den mekaniska enegin: T + V = TA + VA () Insättning ge mv + k( C ) + z = m + k( CA ) + za k v m g z z = [( CA ) ( C ) ] ( ) A k v m g z z = [( CA ) ( C ) ] ( ) A Fö att kunna bestämma faten v numeiskt, måste vi föst bestämma fjädeängden i de två ägena A och. Vi bida föst vekton och bestämme sedan ängden av den: = = 8 m 5 m (5) CA CA A C + ( ) + ( ) = = = = m 7 m (6) C C C Insättning i ekv ge + ( ) + ( ) = v 5 ( 5 4) ( 7 4 ) 9. 8 ( 7 ) m/s (7) v = [ ] 9. 8 m/s v = [ ] 7. 7 m/s Resutatet ä v = 65. m/s