Föreläsning 4 5 Sfärisk krökning och att mäta den; sag formeln

Transkript

1 Föeäsig 4 5 Sfäisk kökig och att mäta de; sag fome De sfäiska ta ä de viktigaste tpe av ta iom optike. Det ä de atuiga fom två to få om de gids mot vaada och toa på de aa festa ise ka behadas som sfäiska ä vi äka och ita i dea kus. E sfäisk ta ä e de av e sfä ee ett kot, som t.ex. e såpbubba. Om ma täke sig att vi skä av ea sida av e såpbubba så skue vi få e sfäiskt kökt ta, så som visas i figue eda. Hä betecka vi sfäes (såpbubbas) mittpukt med C och dess adie med. Fö de sfäiska ta iebä detta att C ä tas kökigscetum och ä tas kökigsadie (som ages i mete [m]). Det ä också vaigt att taa om tas kökig, R = 1/ (ages i 1/mete [m -1 ]). Figue eda visa exempe på oika to med oika kökigsadie och kökig. E pa ta ha e oädigt åg kökigsadie ( = m) och o kökig (R = 0 m -1 ). E kaftigt kökt sfäisk ta (som fås få e ite sfä) ha e kot kökigsadie och e sto kökig. Det kaaktäistiska fö e sfäisk ta ä att omae (iktige vikeät mot ta) atid gå geom tas kökigscetum, C, obeoede av va på ta vi titta. Fö e pa ta, dä omaea i oika pukte på ta ä paaea med vaada, gäe egetige samma sak, me kökigscetum igge i oädighete. (se figue bedvid, omaea ti toa ä itade som steckade ije). 1

2 Sag fome Oftast vet ma ite va ta ha sitt kökigscetum och ka däfö ite mäta dess kökigsadie diekt. Det vaigaste sättet att mäta tas kökigsadie ä istäet att mäta tas så kaade sag (egeskt od fö häg?). Figue hä eda visa e sfäisk ta som e de av e sfä med kökigscetum C. Med beteckiga få figue ä tas kökigsadie (R = 1/ ä tas kökig), ä tas höjd (hava diamete) och s ä tas sag. Om ma mäte s och (fig i Optics visa hu mätige ka utföas) ka ma aväda de gåmakeade tiage fö att beäka geom oika vaiate av sag-fome: s s R s s R Häedig av sag-fome m.h.a. Pthagoas sats i tiage ENC: s s s s s s s om s ä ite s Sag-fome ä e appoximatio och föutsätte att s ä itet i föhåade ti kökigsadie. Det gäe i de aa festa fa eftesom tas kökigsadie,, omat ä mcket äge ä tas hava diamete,. Exempe: = 1 m och = 5 cm = 0,05 m ge s = 1,5 mm. Vågfotskökig Ljusets utbedig ka beskivas med hjäp av både ståa och vågfote (dä vågfote ä vikeät mot ståaa). Ljuset som komme få e puktkäa ha sfäiska vågfote (se figue hä bedvid). Pecis som fö sfäiska to ka ma beskiva fome på e sfäisk vågfot med dess kökig, 1 Hä ä avstådet i mete få pukte som juset komme ifå ti det pa dä ma mäte vågfotskökige. Kökiges väde beo atså på hu ågt bot juskäa ä; äa puktkäa ä vågfotskökige sto och så miska de successivt ju

3 äge bot få käa ma ä. Vågfotskökige bi o ä käa igge oädigt ågt bot (pa vågfot). Vågfotskökig vid btig i pa gästa Nä e vågfot täffa e optisk gästa, komme dess kökig att ädas. Figue eda visa ett sådat exempe fö e pa ta. ä btigsidex föe ta och ä btigsidex efte ta. I detta fa ä stöe ä ( >) viket iebä att juset gå sabbae i ä i. Om gästa ite hade fuits hade ståkippet få pukte B (objektet) haft de vågfot som i figue gå geom M. Me eftesom juset fädas sabbae i komme mitte av vågfote (som täffa gästa föst) att ha huit e äge stäcka (fam ti M ) ä katea av vågfote å ta. De a vågfote efte ta komme atså att vaa me kökt och se ut att komma ifå pukte B (bide) istäet. I figue ä de föägda ståaa föe och efte steckade fö att makea att de baa visa ståaas iktig, me att ståaa ite gå dä på iktigt. Resoemaget ova ka också beskivas i fome. Eftesom det ta ika åg tid fö juset att gå stäcka AM i btigsidex som att gå AM i så ä: AM v AM v AM AM sag fome fö vågfotea bi: AM s R och AM s R dä R ä vågfotes kökig föe btig i ta (R=1/) och R ä vågfotes kökig efte btig (R =1/ ). Detta ge: AM AM s s R R R R (Samma som tidigae!) Veges Vågfotskökige mutipiceat med btigsidex, R=/, kaas fö ståkippets veges och buka beteckas med L. Uttckt i vegese bi fome fö btig i pa gästa: L L dä L och L L ä atså vegese hos ifaade jus (föe btig i ta) och L ä vegese på juset efte btig i ta. Ehete fö veges ä diopti [D] och motsvaa att ma age och i mete. 3

4 Någa exempe: 4 Veges 3 1 L = -0,667 D Veges L =10 D 0,1 (Ude teckekovetioe eda ska vi titta på aedige ti miustecket i fösta exempet) Eftesom btigsidex fö uft ä 1,0 komme vegese på juset i uft att vaa samma sak som vågfotskökige. Som fome L L visa så äda e pa gästa ite jusets veges, tots att de äda vågfotskökige. Däemot äda kökta to jusets veges. Paaxia appoximatio I picip ka ma ta eda på hu juset popagea efte oika gästo geom att föja e massa ståa med hjäp av btigsage ( sii sii, se figue på ästa sida), s.k. a tacig. Detta ta dock åg tid och gös omat med dato. Ofta ä dock vikaa små så att ma ka äka i s.k. paaxia appoximatio. Det iebä att vi aväde e föekad fom av btigsage, i i, som gäe fö små vika i och i. Vi aväde äve att höjdea ä små så att de appoximativa sag-fomea ova gäe fö tas kökig. I paaxia appoximatio ata vi atså att fö aa ifas-, btigs- och ståvika mot axe gäe: si ta Obsevea att i paaxia appoximatio måste vikaa ages i adiae!* Paaxiaa appoximatioe gäe fö avbidig med ståa som komme i med ite vike mot tas oma, d.v.s. aa ståa ska gå äa sstemets optiska axe; tas apetu (öppig) få ite vaa fö sto och objektspukte få ite igga fö ågt bot få optiska axe (se figu på ästa sida). De optiska axe gå geom tas kökigscetum (mitt igeom ta). E ståe som gå ägs med de optiska axe komme däfö ite att äda iktig ä de passea ta (eftesom de komme i ägs med tas oma, d.v.s. ha ifasvike i = 0). Om det fis fea to ä de optiska axe ije geom aa tos kökigscetum. Sstem som på detta sätt ha aa kökigsceta på gemesam axe kaas fö ceteade och smmetiska. * Vi aväde hä de s.k. små-vike-appoximatioe, som iebä att sius och tages fö e vike komme att vaa vädigt äa vikes ege stoek agive i adiae. Att si i tai i, ka ma föstå geom att titta på seieutveckige fö sius och tages: i i sii i... och i i tai i... ä i ä itet, ä i 3 och i 5 så små att vi ka fösumma dem. Obsevea att seieutveckige av cosius se aouda ut: i i cosi 1... om 4 vike i ä vädigt ite så bi atså cosi 1. 4

5 , = btigsidex föe / efte ta C= kökigscetum B1= objektspukt öve optiska axe B= objektspukt på optiska axe B = bide av B i, i = ståes vike föe / efte btig Tabe 3.1 på sida 64 i Optics age hu stot fe de paaxiaa appoximatioe ge vid oika ifasvika, ju stöe vike desto stöe fe, t.ex. ge e vike i=10 (=0,174 adiae) ett fe på 1%, viket ofta ases vaa appoximatioes gäs. Nä vikaa bi stoa komme ståaa ite äge att samas ti e bidpukt och bide bi suddig p.g.a. abeatioe (se figu.10, 3.10 och 3.11 i Optics). Detta hida dock ite att ma aväde paaxia appoximatioe äve ä vikaa ä stöe fö att få ugefäigt äge och stoek på bide och seda utfö ma tteigae beäkiga fö att bedöma bides kvaitet. Teckekovetioe Fö att kua äka på jusets btig måste vi kua skija på avståd som ä föe och efte ta och öve och ude optiska axe. Detta gös med hjäp av positiva och egativa stäcko, dä tecket age iktige.* Positiva stäcko ä få väste ti höge och eifå och upp. Vi ita atid juset ikommade ifå väste, så att det ifaade jusets iktig ä positiv. Figue eda visa ett exempe fö btig i sfäisk gästa, hä aväde vi tas vetex, A, (vetex defiieas som pukte dä optiska axe skä ta) som mittpukt (oigo) och aa stäcko mäts ifå A. Vi age t.ex. objektsavstådet,, som avstådet få vetex, A, ti objektet, B, som i figue ä e egativ stäcka eftesom de mäts få höge ti väste. Bidavstådet,, ä avstådet få vetex ti bide, B, och ä hä eda e positiv stäcka. Avståd vikeät mot axe mäts få optiska axe, positivt om uppåt och egativt om edåt. * Det fis äve teckekovetioe fö vika, me eftesom vi aväde dem så säa äms det edast som e fotot hä. Vika ä positiva motus och egativ ä de gå medus, i Optics ages vike få ståe ti optisk axe och få oma ti ståe (se figu 3.1). 5

6 Teckekovetioe gäe äve kökigsadie på to och vågfote; kökigsadie mäts få ta / vågfote ti kökigscetum. Detta iebä att de kovexa ta i figue på föa sida ha e positiv kökig, R. Fö vågfote gäe motsvaade att: Negativ veges = diveget ståkippe (juset spids ut ifå e pukt, exempe 1 på sid 4) Positiv veges = koveget ståkippe (juset samas ihop mot e pukt, exempe på sid 4) Exempe på paaxia avbidig i pa gästa: (t.ex. titta på ågot som igge ude vatteta) = 4/3 = 1 = -67 cm = -0,67 m fö att hitta bidäget, B, ka vi aväda L L med L och L 4/3 L,0 D 0,67 m L L,0 D 1 0,50 m L,0 D Detta ä e s.k. vitue bid eftesom ståaa ite möts i B på iktigt uta baa se ut att ha mötts dä (steckade ije). Paaxia btig och avbidig i sfäisk gästa Vi ska u aväda paaxia appoximatio fö att ta fam e fome fö hu jus bts i sfäiska to. I figue eda ä objektet B med ifasvike i och bide B med btigsvike i utsatta tisammas med hjäpvikaa u, u och a.* * Fö att udeätta häedige ä figue itad så att aa vika och stäcko ä positiva (om objektet hade vait eet och egat famfö ta hade och vike u vait egativa). 6

7 Vi böja med att ta fam ett föhåade mea vikaa. Eftesom vike a i figue ä e ttevike ti både tiage DCB och tiage DCB så få vi: i a u i a u Nu ka vi aväda de paaxiaa btigsage och få: i i a u a u u u a Fö att skiva detta uttck i avståd istäet fö i vika behöve vi uttck fö hjäpvikaa u, u och a. Vi ata föstås att aa vika ä små. Vi ata också att vi ka fösumma tas sag (d.v.s. avstådet mea vetex, A, och pukte N atas vaa mcket itet) så att avståde, och. Då få vi: u ta u u ta u ata a Dessa te vika isatta i de paaxiaa btigsage ge: Hä ka vi fökota med på båda sido så att uttcket bi obeoede av vike höjd ståe täffa ta på (obeoede av ). Det iebä att aa ståa som föst va på väg mot det vituea objektet B komme att äda iktig i ta så att de istäet samas i pukte B. B bi atså e bid av B och vi ha fått avbidigsfome fö sfäisk gästa: Uttckt i vegese ka dea avbidigsfome skivas som L L R R. Uttcket age hu mcket jusets veges ädas vid btig i ta. Vi ifö beteckige F fö det: F R och kaa F fö tas btkaft (tas stka) som ages i dioptie [D]. Btkafte ä positiv fö to som tedea att ge koveget jus (som sama juset) och egativ fö to som ge diveget jus (som spide juset). Paa to äda ite jusets veges och ha däfö btkafte 0 D. 7

8 Sammafattigsvis ka avbidigsfome fö sfäisk gästa skivas som: L L F Kuses viktigaste fome! med bidveges, objektsveges och btkaft i dioptie. Fome se ikada ut äve fö spega, ise och kompexa optiska sstem, me ma aväde oika uttck fö att äka ut btkafte. Äu så äge ha vi tagit fam btkafte fö e ta: Fsfäisk ta F pa ta 0 D (e pa ta ha oädig kökigsadie, = m, R = 0 D) Fokapukte och fokaägd Avbidigsfome iebä att fö vaje objektspukt B fis e uik bidpukt B. Eftesom juset föje samma väg obeoede av viket hå det gå åt gäe äve det omväda, d.v.s. ett objekt vid B ge e bid vid B. B och B kaas däfö fö kojugat ee kojugatpukte. Det fis två kojugatpukte som ä speciet viktiga: Nä objektet på axe igge oädigt ågt bot, hama bide i bake fokapukte (fokus, bäpukt), F : Avstådet få tas vetex ti F kaas fö bake fokaägde(bävidde), f. Objekt i oädighete, = m, iebä paaet jus i, L = 0 D, och bid i F. Avbidigsfome ge då: L F och med L och f fås f F f F Övesta bide visa e ta med positiv btkaft (F>0), viket iebä att de bake fokapukte igge bakom ta (f >0). Fö ett objekt i oädighete bidas däfö e ee bid i F. De ede bide visa e ta med egativ btkaft (F<0), viket iebä att de bake fokapukte igge famfö ta (f <0). Fö ett objekt i oädighete bidas däfö e vitue bid i F. 8

9 Nä bide på axe hama oädigt ågt bot, igge objektet i fäme fokapukte (fokus, bäpukt), F: Avstådet få tas vetex ti F kaas fö fäme fokaägde (bävidde), f. Bid i oädighete, = m, iebä paaet jus ut, L = 0 D, och objekt i F. Avbidigsfome ge då: L F och med L och f fås f F f F Övesta bide visa e ta med positiv btkaft (F>0), viket iebä att de fäme fokapukte igge famfö ta (f<0). Fö e bid i oädighete kävs däfö ett eet objekt i F. De ede bide visa e ta med egativ btkaft (F<0), viket iebä att de fäme fokapukte igge bakom ta (f>0). Fö e bid i oädighete kävs däfö ett vituet objekt i F. Sambade fö bake och fäme fokaägd beo atså på sstemets btkaft, F, och btigsidex bakom och föe sstemet, och : f f viket ge föhåadet f F F f Fokapuktea ä ti sto tta äve ä objekt ee bid ite igge dä. Vid ståkostuktio, ä ma ska föja oika ståa få objektet, komme e ståe som fae i paaet med optiska axe att btas ti F och e ståe som komme i geom (ee sikta mot) F komme ut paaet med optiska axe. Exempe på avbidig på avbiig i sfäisk gästa E fisk befie sig vid bakkate av e vattefd sfäisk skå med adie dm. Va hama bide? Givet: = 4/3, = 1 Bid = -0, m = -0,4 m. Objekt c Beäkiga: F = ( -)/ = 1,66 D L = / = -3,33 D L = L + F = -1,67 D = -0,6 m 9