Föreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten i Griths.

Transkript

1 Föeläsning 1 Motsvaa avsnitten i Giths. Elektisk laddning Två fundamentala begepp: källo och fält. I elektostatiken ä källan den elektiska laddningen och fältet det elektiska fältet. Två natulaga fö den elektiska laddningen: 1. Laddningen upptäde endast i heltalsmultipla av fundamentalladdningen e = = As. Med anda od ä q = ne, n = 0, ±1, ±2, ±3, Laddningen ä alltid bevaad (kan ej skapas elle föintas) i ett slutet system. oulombs lag Låt q och q vaa stykona på två punktladdninga i punktena espektive. q ^R Källpunkt Fältpunkt q F Oigo oulombs lag ge kaften på punktladdningen med stykan q som punktladdningen med stykan q ge upphov till: F = q q 4πε 0. 3 Hä beteckna ε 0 = As/m pemittiviteten fö fiymd. Ofta infös R =, R = R, ˆR = R R. Med dessa beteckninga kan kaften altenativt skivas som F = q q ˆR 4πε 0 R. 2 ( ) Notea att Giths använde istället fö R. Följande viktiga egenskape gälle fö ( ): 1

2 1. Kaften ä iktad längs sammanbindningslinjen mellan de båda punktladdningana. 2. Kaften ä popotionell mot såväl q som q. 3. Kaften ä attaktiv då qq < 0 och epulsiv då qq > 0. Figuen på föegående sida visa fallet qq > Kaften ä omvänt popotionell mot kvadaten på avståndet mellan de båda punktladdningana. Kommenta: Det ä lätt att det bli fel tecken på kaften. Eftesom punktladdninga med lika tecken epellea vaanda och punktladdninga med olika tecken attahea vaanda kan man i många fall enkelt kontollea om man ha fått ätt tecken på kaften. upeposition Antag en punktladdning med stykan q i punkten och N anda punktladdninga med stykona q i, i = 1, 2,..., N, i punktena i, i = 1, 2,..., N. q n q 2 q 1 F q n 2 1 Oigo upepositionspincipen ge kaften på punktladdningen med stykan q som punktladdningana med stykona q i, i = 1, 2,..., N, tillsammans ge upphov till: F = q N i=1 q i 4πε 0 i i 3. Elektiskt fält Det elektiska fältet i punkten fån en födelning av punktladdninga med stykona q i, i = 1, 2,..., N, i punktena i, i = 1, 2,..., N, denieas som N E() def F = lim q 0 q = i=1 q i 4πε 0 i i 3. Hä beteckna F kaften på en punktladdning (även kallad testladdning) med stykan q i punkten. 2

3 Kommenta: Testladdningen påveka de anda punktladdningana med kafte. Om testladdningens styka q inte ä liten kan de anda punktladdningana ytta på sig på gund av den exta kaft de påvekas av fån testladdningen. Fö att föhinda detta behöve q vaa innitesimalt i denitionen ovan. Exempel: Det elektiska fältet i en punkt fån en punktladdning med stykan q i punkten ä E() = q 4πε 0 = q ˆR 3 4πε 0 R. 2 Notea att det elektiska fältet ä adiellt och avta som kvadaten på avståndet. Kontinueliga laddningsfödelninga i intessea oss fö te olika slags kontinueliga laddningsfödelninga: Rymdladdning Fältpunkt Oigo Rymdladdningstätheten ρ ä ett mått på laddningen pe volymenhet [As/m 3 ]. Ett litet volymelement centeat i punkten ha laddningen q = ρ( ). Det elektiska fältet fån ges av E() = ρ( ) 4πε 0. 3 upeposition och gänsövegång i volymen ge volymintegalen E() = 1 ρ( ) 4πε 0 3 dv. Giths beteckna motsvaande volymelement med dτ. Punkten dä fältet bestäms kallas fältpunkt och punkten som svepe öve källfödelningen kallas källpunkt. 3

4 Ytladdning Ytladdningstätheten ρ ä ett mått på laddningen pe ytenhet [As/m 2 ]. Det elektiska fältet fån en ytladdningstäthet på ytan ges, analogt med ovan, av ytintegalen E() = 1 ρ ( ) 4πε 0 3 d. Giths beteckna motsvaande ytelement med da. I fomelsamlingen, exempelsamlingen och på föeläsningana används beteckningen ρ fö ytladdningstätheten. Giths använde σ fö att beteckna ytladdningstätheten, men fö oss betyde σ elektisk ledningsfömåga. Linjeladdning Linjeladdningstätheten ρ l ä ett mått på laddningen pe längdenhet [As/m]. Det elektiska fältet fån en linjeladdningstäthet på kuvan ges av linjeintegalen E() = 1 ρ l ( ) 4πε 0 3 dl. Giths beteckna motsvaande linjeelement med dl. I fomelsamlingen, exempelsamlingen och på föeläsningana används beteckningen ρ l fö linjeladdningstätheten. Giths använde λ fö att beteckna linjeladdningstätheten, men fö oss betyde λ våglängden. Gauss lag på integalfom ^n ½( ) Låt vaa en volym som omsluts av ytan med utåtiktad nomal ˆn. Då gälle E() ˆn() d = 1 ρ( ) dv = Q innanfö, ε 0 ε 0 dä Q innanfö ä totala laddningen innanfö. Gauss lag på integalfom ä lämplig att använda då man skall bestämma elektiska fältet elle elektiska potentialen fån en sfäiskt symmetisk elle axialsymmetisk laddningsfödelning. Exempel: Det elektiska fältet fån lång ak linjeladdning (se guen nedan) kan bestämmas med hjälp av Gauss lag på integalfom. Resultatet ä E() = ρ l 2πε 0 c ˆ c. Med anda od ä fältet iktat i adiell led i två dimensione och avta som ett genom avståndet. 4 ( )

5 ^n = ^ c ^n ={ ^z ^n = ^z ½` z Giths använde s som beteckning fö avståndet fån z-axeln. På föeläsningana, liksom i exempelsamlingen och fomelsamlingen, används beteckningen c. Gauss lag på dieentialfom Gauss lag på dieentialfom lyde E() = ρ() ε 0. Kommenta: Obsevea att Gauss lag inte ä samma som Gauss sats. Gauss sats ä en integalsats som elatea nomalytintegalen av ett vektofält till volymintegalen av divegensen av vektofältet. Elektisk potential I te dimensione gälle att = 1 3. åledes kan det elektiska fältet skivas som negativa gadienten på ett skaläfält: kaläfältet kallas elektisk potential. E() = (). Kommenta: Du kan själv kontollea E() = () genom att utföa deiveingen i katesiska koodinate: = ( / x, / y, / z) och = (x x, y y, z z ). Exempel: Den elektiska potentialen i en punkt fån en punktladdning med stykan q i punkten ä () = q 1 4πε 0. Notea att elektiska potentialen avta som ett genom avståndet. Fö de te kontinueliga laddningsfödelningana ovan ha vi: Rymdladdning () = 1 4πε 0 ρ( ) dv 5

6 Ytladdning Linjeladdning () = 1 4πε 0 () = 1 4πε 0 ρ ( ) d ρ l ( ) dl ( ) Fältlinje och ekvipotentialyto En fältlinje ä en linje som i vaje punkt ha det elektiska fältet som tangent. I elektostatiken böja en fältlinje alltid på en positiv laddning och sluta på en negativ laddning. En ekvipotentialyta ä en yta på vilken elektiska potentialen ä konstant. Fältlinje och ekvipotentialyto skä vaanda med 90 vinkel. Tangentlinjeintegalen av elektiska fältet 1 2 i ha sett att E() = (). Om denna elation integeas fån en punkt 1 till en punkt 2 längs en kuva fås E( ) dl = ( ) dl = ( 1 ) ( 2 ). Med anda od beo tangentlinjeintegalen av elektiska fältet endast av elektiska potentialens väde i begynnelse- och slutpunkten. Detta ä sant fö alla konsevativa vektofält, det vill säga alla vektofält F som satisea F () = 0. Det elektiska fältet ä konsevativt eftesom E() = () 0. Exempel: Det elektiska fältet fån en lång ak linjeladdning ges enligt ( ) av E() = ρ l ˆ c 2πε 0 c Elektiska potentialskillnaden mellan c = a och c = b bli dämed (a) (b) = b a E() ˆ c d c = ρ l 2πε 0 ln b a. Detta ä samma esultat som vi få om vi istället beäkna elektiska potentialskillnaden med hjälp av ( ). 6

7 Kommenta: En oändligt lång ak linjeladdning kallas ofta fö en tvådimensionell punktladdning. Med beteckningana c = (x, y) fö fältpunkten och c = (x, y ) fö källpunkten buka elektiska potentialen fån den tvådimensionella punktladdningen denieas som () = ρ l 1 ln 2πε 0 c c. Man se att agumentet till logaitmfunktionen ha dimensionen invest avstånd och detta kan tyckas konstigt. Föklaingen ä att i tvådimensionella poblem måste totala laddningen vaa noll. Detta gö att logaitmfunktionena fö elektiska potentialen alltid kan kombineas så att de få dimensionslösa agument som i exemplet ovan. Poissons ekvation Poissons ekvation ehålls genom att kombinea Gauss lag på dieentialfom, E() = ρ()/ε 0, och E() = (): 2 () = () = ρ()/ε 0. Randvillko till Poissons ekvation vid en skiljeyta ä: 1 ^n 2 i. Elektiska potentialen ä kontinuelig: 1 () 2 () = 0. ii. Nomaldeivatan av elektiska potentialen ä diskontinuelig med spång ρ /ε 0 : 1 () n 2() n = ρ ()/ε 0 7