Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 28 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15

Transkript

1 Kus: HF9 Matematik Moment TEN Linjä Algeba Datum: 8 augusti 5 Skivtid 8:5 :5 Examinato: Amin Halilovic Undevisande läae: Elias Said Fö godkänt betyg kävs av max poäng Betygsgänse: Fö betyg A B C D E kävs 9 6 espektive poäng Kompletteing: 9 poäng på tentamen ge ätt till kompletteing betyg Fx Vem som ha ätt till kompletteing famgå av betyget Fx på MINA SIDOR Kompletteing ske c:a två vecko efte att tentamen ä ättad Om kompletteing ä godkänd appoteas betyg E annas appoteas F Hjälpmedel: Endast bifogat fomelblad miniäknae ä inte tillåten Till samtliga inlämnade uppgifte fodas fullständiga lösninga Skiv endast på en sida av pappeet Skiv namn och pesonnumme på vaje blad Inlämnade uppgifte skall makeas med kyss på omslaget Skiv klass på omslaget A B elle C Denna tentamenslapp få ej behållas efte tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösninga Uppgift p a Lös olikheten: x x p b Lös ekvationen x x 5 x p Uppgift p a Bestäm A B om vekto A 5 och vekto B 5 p b Bestäm x så att vekton u x bli vinkelät mot v x x p c Beäkna aean av den tiangel vas hön ligge i punktena och p Va God Vänd!

2 Uppgift p Betakta följande ekvationssystem: x y z y 5z 8 x y a z 6 a Avgö om det finns något väde någa väden fö konstanten a fö vilket ekvationssystemet inte ha en unik lösning Bestäm i så fall vilken typ av lösning det bli antingen finns oändligt många lösninga elle saknas lösning p b Lös ekvationssystemet om a p Uppgift p a Lös följande matisekvation: AX A E dä: A E p b Bestäm invesen till följande matis C p Uppgift 5 p Ett plan innehålle punktena och Bestäm avståndet mellan linjen x y t dä t R och planet Uppgift 6 p Linjen L: x y t dä t R pojiceas otogonalt på planet x y z Beäkna den pojiceade linjens ekvation Lycka till!

3 Lösningsföslag Uppgift p a Lös olikheten: x x p b Lös ekvationen x x 5 x p a Definitionsmängden till olikheten ä x x x x x x x x x 5x 5 x 5 x x x x x Kotae alltenativ: 5 x x x x x x x Alltså x > elle x > Notea att nämnaen inte få vaa noll x om x b Föst: x x om x < 5 x om 5 x dvs x 5 5 x 5 x om 5 x < dvs x > 5 Vi kan visa detta i en teckenschema: 5 x x x x x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x i Intevallet ] I detta inteval bli x x 5 x ekvivalent med x x 5 x som ge x x 5 x 5 dvs ingen lösning i detta intevall ii Intevallet [ 5 I detta inteval bli x x 5 x ekvivalent med x x 5 x 9 9 som ge x 9 x som ligge i intevallet [ 5 Alltså x ä en lösning iii Intevallet [ 5 I detta inteval bli x x 5 x ekvivalent med x x 5 x som ge x x som ligge i intevallet [ 5

4 Alltså ha ekvationen en lösning Sva: a x > b 9 x 9 x Rättningsmall: 5 a Koekt omskivning till x 5 x elle till ge p Allt koektp x x b Koekt teckenanalys fö både x och 5 x ge p Allt koektp Uppgift p a Bestäm A B om vekto A 5 och vekto B 5 p b Bestäm x så att vekton u x bli vinkelät mot v x x p c Beäkna aean av den tiangel vas hön ligge i punktena och p a A B A B b u v x x x x x x x Häav x x c Beteckna punktena P Q R Då ä PQ och PR Häav PQ PR Aean av tiangeln PQ PR 8 Rättningsmall: a och b: ätt elle fel c Koekt vektopodukt ge p Allt koektp Uppgift p Betakta följande ekvationssystem: x y z y 5z 8 x y a z 6

5 a Avgö om det finns något väde någa väden fö konstanten a fö vilket ekvationssystemet inte ha en unik lösning Bestäm i så fall vilken typ av lösning det bli antingen finns oändligt många lösninga elle saknas lösning p b Lös ekvationssystemet om a p a Om systemats deteminant D ha ekvationen INTE en unik lösning I detta fall ha ekvationen antingen oändligt många elle ingen lösning D 5 a 8 a D ge a 6 Fö a 6 ha vi systemet x y z x y z x y z y 5z 8 y 5z 8 y 5z 8 x y 6z 6 y 5z 8 6 b Fö a ha vi systemet ingen lösning om a 6 x y z x y z x y z y 5z 8 y 5z 8 y 5z 8 z 6 y x x y 6 y z 8 6z 6 Sva: a Ingen lösning om a 6 b x y z 6 Rättningsmall: a p fö koekt a 6 p fö slutsatsen med Gausselimination b Koekt Gausselimination och en vaiabel z 6 ge p Allt koektp Uppgift p a Lös följande matisekvation: AX A E dä: A E p b Bestäm invesen till följande matis C p a AX A E AX E A 5

6 6 Eftesom A ä en inveteba matis ha vi A E A X / / 6 b I C / / / / / / / / / / / / / C I Dämed / / / / / / / / / C Sva a / / 6 X b / / / / / / / / / C Rättningsmall: a Koekt både A och A ge p Allt koektp b Rätt elle fel Uppgift 5 p Ett plan innehålle punktena och Bestäm avståndet mellan linjen R t dä t z y x och planet Beteckna punktena R och Q P Då ä PQ och PR Häav PR PQ Planets ekvation: z y x elle z y x

7 Vi inse att planet och linjen ä paallella eftesom linjens iktningsvekto v och planets nåmalvekto n ä vinkeläta fö v n Samma slutsats kan fi da om vi kolla skäningen mellan linjen och planet: Vi substituea linjens skaläa ekvatione x y t x t y t och z t i planets ekvation x y z och få t t t ingen skäningspunkt Dämed ä linjen paallell med planet Vi välje en punkt på linjen tex och substituea i fomeln Ax By Cz D d A B C Sva: Rättningsmall: Koekt planets nomalvektop Koekt planets ekvation p totalt p Om man inse att planet och linjen ä paallella p Allt koektp Uppgift 6 p Linjen L: x y t dä t R pojiceas otogonalt på planet x y z Beäkna den pojiceade linjens ekvation L P A B Den pojiceade linjen Vi bestämme två punkte på den pojiceade linjen: i Föst bestämme vi skäningspunkten mellan linjen och planet genom att substituea: x t y t z t i planets ekvation x y z 7 Vi ha t t t t / och dämed ä skäningspunkten A Punkten A ligge på den pojiceade linjen ii Vi välje en punkt till på linjen L t ex P och pojicea den på planet x y z 7

8 Den äta linje L som gå genom vinkelät mot planet ha iktnings vekton ekvationen: x y t Skänings punkten mellan L x t y t z t och planet x y z ge t /9 och dämed B Kvastå att ange ekvationen fö linjen genom A och B: AB som ä paallell med vekton Vi kan välja 7 Dämed ä den pojiceade linjens ekvation x y t7 7 Sva: x y t7 Alltenativ lösning: Man kan bestämma skäningspunkt som ovan däefte kan man bestämma pojektionen av linjens iktningsvekto på planet Rättningsmall: En skäningspunkt koekt ge p Koekt otogonallinje genom en annan punkt p Två koekta punkte ge totalt poäng Allt koekt p 8