Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik

Transkript

1 Tentamen i Mekanik I del Statik och patikeldynamik TMME8 0-0-, kl Tentamenskod: TEN Tentasal: Examinato: Pete Schmidt Tentajou: Pete Schmidt, Tel , (Besöke salana ca 5.00 och 7.30) Kusadministatö: nna Wahlund, Tel. 8 57, anna.wahlund@liu.se ntal uppgifte: 6 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel; (Fomelblad bifogas). Sva anslås på Mekaniks anslagstavla efte skivningstillfället (Ing. 7 C-ko.). Tentan lämnas efte ättning till Studeandeexpeditionen i -huset, ing 9C. Betygsgänse: 5 = -5 p 4 = 9- p 3 = 6-8 p = 0-5 p (UK) Totalt antal sido inkl. fösättsbladet: 7

2 Teoidel: a) Centoiden fö en yta definieas som bekant som punkten C d. d Utgå fån definitionen ovan och visa att centoidens läge i y-led fö aean som begänsas av y-axeln samt linjen y = x och linjen y = a i figuen ges av: a yc (p) 3 y y x a x b) Givet ett kaftpa bestående av kaftvektoena F =F och F = - F med angeppspunktena P espektive P enligt figu. Visa att kaftpaets moment M ä detsamma fö alla momentpunkte. (p) F P - F P

3 ) Den kinetiska enegin som en patikel ha ges som bekant av Utgå fån Newtons kaftlag F m a, och visa att T. mv U T T dä U ä utättat abete längs en bankuva fån läge till, dvs U F d d v d Ledning: v ( v v ) dä v ä patikelns hastighetsvekto. dt dt (p) Poblemdel: 3) En homogen stång B med massan m befinne sig i jämvikt i xy-planet. Stångens ena ände ä fäst i en fiktionsfi kulled och i den anda änden B ä ett snöe BC fäst som ä fixeat vid C. Beäkna kaften i snöet BC vid jämvikt. Svaa på vektofom i det givna koodinatsystemet. Geometi enligt figuen. (p) z C g a a y a m x B

4 4) En patikel med massan m kan skjutas iväg med hjälp av en katapult som bestå av en fjäde med fjädekonstanten k=3mg/r. Patikeln släpps utan hastighet då fjäden ä ihoptyckt stäckan δ fån det ospända läget, se figu. Efte att patikeln lämnat fjäden följe den en skena som föst ä hoisontell och sedan övegå till en cikelfomad bana i ett vetikalplan. ll fiktion kan fösummas. Hu stot måste δ minst vaa fö att patikeln skall vaa i kontakt med skenan fö alla vinkla 0 unde den cikuläa delen av banan. (3p) g k m R k R

5 5) En liten hylsa P kan fiktionsfitt glida längs en fix stång enligt figu. Hylsans öelse kontolleas med hjälp av en spåfösedd am som ä lagad vid O och otea med konstant b. Ekvationen fö stången ges av, dä b ä en given konstant cosθ och ä avståndet mellan O och P. Beäkna kaften som veka på hylsan P fån stången, samt kaften på hylsan P fån amen då vinkeln Hylsan ha massan m och all fiktion kan fösummas. Röelsen ske i ett hoisontalplan och statas utan hastighet då 3p P O g b 6) En vagn med massan m ä fösedd med ett dämpsystem bestående av en fjäde med fjädekonstanten k och en dämpae med dämpkonstanten c km. Vagnen ha hastigheten v 0 då dämpsystemet komme i kontakt med den fixa vetikala väggen vid. Innan kontakten ä kaften i både fjäden och dämpaen noll och fjäden ha den ospända längden L 0. Beäkna fjädens längd som funktion av tiden t unde det tidsintevall dämpsystemet ä i kontakt med väggen (låt t=0 då kontakten med väggen stata). Fiktionen mellan vagnen och undelaget kan fösummas. (3p) k v 0 m c

6 Fomelblad som bifogas tentamen i Patikeldynamik: Kinematik: Hastighet och acceleation Natuliga komponente n t v = ṡe t a = se t + ṡ ρ e n Kökningen κ och kökningsadien ρ fö en kuva x = x(u), y = y(u) ges av: κ = d y dx du du dy d x du du { } 3/, ρ = /κ ( dx du ) + ( dy du ) Poläa koodinate θ v = ṙe + θe θ a = ( θ )e + ( θ + ṙ θ)e θ Kinetik: Kaftlagen F = ma Mekaniska enegisatsen dä U = U = T + V g + V e F d, T = mv, V g = mgh, V e = kx

7 Impuls och impulsmomentekvationen t t t Fdt = G G, M o dt = H o H o, t M o = F G = mv H o = mv Stöttal e = (v ) n (v ) n (v ) n (v ) n Svängninga ẍ + ζω n ẋ + ωn x = ω n x + F 0 m sinωt + F 0 m cosωt Lösningen till diffeentialekvationen ovan kan skivas x = x h + x p. Homogena lösningen x h ges av: ζ >, x h = e ωnt( ζ+ ζ ) + Be ωnt( ζ ζ ) ζ =, x h = ( + Bt)e ωnt ζ <, x h = e ζωnt (cosω d t + Bsinω d t) = Ce ζωnt sin(ω d t + Ψ) ω d = ω n ζ Patikulälösningen x p vid en hamonisk stöningskaft beäknas med ansatsen: x p = C + C cosωt + C 3 sinωt om ζ = 0 föutsättes att ω ω n