Matlab: Inlämningsuppgift 2

Transkript

1 Mtlb: Inläningsuppgift Uppgift : Dynisk däpning. Inledning I denn uppgift skll vi nlyse den dynisk däpningen v tvättskinen so vi studede i pojektet. Se igu nedn. Vi foule föst öelseekvtionen fö systeet oc beäkn däefte systeets egenfekvense oc svängningsode. Däefte stude vi öelsen os systeet ed jälp v föstoingsfkton. Vi bestäe det väde på bsobtons egenfekvens so ge liten plitud fö usets öelse. Slutligen beäkns öelsen os us oc bsobto geno tt intege öelseekvtionen. Vi nvände bsdt enligt tbellen nedn. Absobto κ η Hus e oto k c igu : Tvättskin ed bsobto. Tbell : Bsdt Pet Sybol Enet Nueiskt väde Husets ss kg 9 jädekonstnt us k N/ 895 Däpkonstnt us c Ns/ 3 otoss kg otossns ecenticitet e. Absobtons ss kg Infö usets oc bsobtons ntulig egenvinkelfekvense dess betkts so sept syste) oc, espektive (nä

2 = k + κ = (), En filäggning v us oc bsobto ges i igu nedn. Systeet två fietsgde oc vi infö lägeskoodinte oc fö us oc bsobto espektive. Dess äkns fån ett läge dä fjädn sin ntulig längde (ospänd). Vi botse fån tyngdkftens invekn. f d y = esint f d öelseekvtionen fö uset: oc fö bsobton: igu : iläggning v us oc bsobto. ( ): + + = + ( + y) f d f d ( ): f d = dä y = esint oc = k, d = c, f = κ( ), d = η( ) f

3 ge fjäde- oc däp-kfte på us oc bsobto espektive. öelseekvtionen kn då skivs ( + ) + ( c+ η) η + ( k+ κ) κ = e sint η + η κ + κ = I tisfo ges dett v M + C + K = () dä oc sstisen M, däptisen C oc styvetstisen K ges v M +, c + η η C, η η k + κ κ k+ K = κ κ (3) dä vi utnyttjt (), d v s κ =. Den ytte kften fån oton ges v = t ( ) = sint, e = (4) I kltet ges ekvtionen () v + c + η η k+ e sint + + = η η (5) Svängning nä oton inte ote ( fi svängning ): Antg tt oton stå still d v s =. ösu fjädns däpning d v s sätt c= η =. Då gälle enligt () + =, M K (6) elle i kltet + k+ + = Ansätt lösningen = X cosnt, X X X X, d v s = n cosnt = n X 3

4 dä vi söke X, svängningsoden oc n egenvinkelfekvensen. Ekvtionen (6) kn då skivs vilket ä ekvivlent ed ekvtionen ( M + K) X cos t =, t ( M + K) X = n n n M KX = X (7) n 6 Uppgift ) Antg tt vi en bsobto-fjäde ed κ = N Bestä svängningsode X oc egenvinkelfekvense n geno tt lös egenvädespobleet (7) ed jälp v Mtlb. Jäfö egenfekvensen n, oc n, ed oc! Svängning nä oton ote (tvungn svängning): ösu fjädns däning d v s sätt c= η = oc ntg tt oton ote ed vvtlet N = 3p. Då gälle, enligt (), tt M + K= sint dä = πds. Ansätt lösningen = Ysint, X Y Y, d v s = cost = Y Y Dett instt i () ge ekvtionen ed lösningen ( M+ KY ) sint= sin t, t ( M+ KY ) = dä dittnsen ( föstoingsfkton ) A ges v tisen k+ dä, enligt (3), K = K( ) =. Y = A (8) A= A( ) = ( M + K( )) (9) 4

5 Uppgift b) Plott dittnskoponenten A = A ( ) oc A = A ( ) fån ekvtion (9) i intevllet Bestä fö vilket det gälle tt A( ) =. Vd betyde dett? z Infö tillståndsvekton ( ) T 4 4 = z z z z z 3 3, dä =. Diffeentilekvtionen () kn då skivs på tillståndsfo enligt z =, z =, z3 = oc z = g( z ) () dä g( z) = A Bz+ A f oc C M A =, M K B =, M f = () Uppgift c) Sätt c = 3Ns oc ntg tt oton ote ed vvtlet N = 3p. Lös diffeentilekvtionen () ed dt enligt Tbell 3 oc ed begynnelsedt ( ) =, ( ) =. Plott kuvon = () t oc = () t i intevllet t s Tbell 3 Deluppgift ( ds ) η ( Ns ) I) II) η. c dä η = c Uppgift : Den ecitede fysisk pendeln. Inledning Vi stude en fysisk pendel so ä fiktions-fitt lgd på en oisontell el (ottionseln) geno punkten O. Se igu 3 nedn. Aeln ges en vetikl öelse enligt y= yt ( ) = sint () Denn öelse os punkten O innebä tt pendeln böj sväng. Vi få en så klld ecited svängningsöelse. S typ v ecited öelse åstdkoe n sittnde i en gung ed pendlnde ben. Uppgiften ä tt stude pendelns öelse ed jälp v Mtlb. Vi nvände bsdt enligt tbellen nedn. 5

6 g y O d G igu : Den ecitede fysisk pendeln. Tbell : Bsdt Pet Sybol Enet Nueiskt väde Pendelns ss kg Pendelns längd d. Pendelns tögetsoent ed I Kg. vseende på ottionseln Tyngdcceletionen g s ilägg pendeln. Infö de ytte kften på pendeln, dvs. tyngdkften g, ektionskften oc ektionsoentet M fån lgingen på pendeln. Se igu 4 nedn. Vi Mz = = k M (3) efteso pendeln nts v fiktionsfitt lgd i punkten O. Infö vinkeln θ elln vetiklen oc linjen elln O oc pendelns sscentu G enligt nednstående figu. Infö ett koodintsyste ( i j k )O så tt pendeln svänge i det vetikl y-plnet. Pendelns vinkelstiget = k θ. öelseekvtionen (oentekvtionen ed cceleende oentpunkt) fö pendeln: d M + g= ( I ) + dt OG O OG O öelseekvtionens z -koponent (ultiplice sklät ed k ) ges v ( = k, = θ ) d k OG g= ( k IO k θ) + k OG A I θ + k OG ( O g) = dt (4) dä I = I O, zz = k I O k ä pendelns tögetsoent p ottionseln. 6

7 j M y A i θ AG G g igu 4: iläggning v den ecitede fysisk pendeln. Med O = j y = j ( sin t) oc OG = idsin θ + j ( dcos θ) instt i ekvtion (4) eålles pendelns öelseekvtion: I θ + d( g sin t)sinθ = (5) Uppgift Lös diffeentilekvtionen (5) ed Mtlb oc ed dt enligt nednstående tbell. Plott θ = θ() t i intevlet t T. Tbell 3 Deluppgift ( ) θ ( ) ( ds ) ( d ) θ ( ) ( ds ) ). 4 π b). 6 π c). 4. 5π T () s ö tt få en koekt lösning beöve n nvänd en öge noggnnet än Mtlbs stnddväden. ö tt ök noggnneten nvänds tillägget options enligt eeplet nedn. options=odeset( eltol, e-6) [tout,yout]=ode45(@odefun,tspn,y,options) Lyck till! Pe H. 7