LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 3

Transkript

1 LÖIGR TILL RLEM I KITEL 3 L 3. Mg α ntg tt den hög lådns mss ä M. Filägg åd lådon! Filäggningsfiguen, som skll innehåll pktiskt tget ll infomtion som ehövs fö tt lös polemet, viss hä. Kontktkften mot de lutnde plnen ä nomlkfte, och, eftesom fiktionskfte skns enligt texten. Tådkften ä lik på åd sido om tissn, eftesom den ä lättölig. Jämvikt fod tt kftsystemet på vje låd ild ett nollsystem, dvs kftsummn ä nollvekton och kftmomentet med vseende på någon punkt ä nollvekton. Vi pojice kftekvtionen i plnens iktning: vänst lådn : sinα 0 () hög lådn : Mgsin 0 () sinα Mgsin M sinα g sin M sin α m sin (3) (4) Komment: vet ä dimensionsiktigt. pecilfll ä α M m α 0 M 0, vilket etyde tt jämvikten då inte ä möjlig fö två lådo. 0 M, vilket etyde tt det fods i pincip en fst punkt tt fäst tåden i. omlkften estäms u kftekvtionen vinkelätt mot de lutnde plnen. Momentekvtionen fö vde lådn ge nomlkftens vekningslinje, som måste gå genom skäningspunkten fö tådkftens och tyngdkftens vekningslinje (se figu!).

2 L 3.3 F fjäde Filägg continen fån fjäden och undelget! Infö motsvnde kfte, fjädekften och nomlkften! Fjädekften ä F k l fjäde () dä F fjäde k l ä fölängningen v fjäden äknt fån den ntulig längden. Jämvikt fod tt kftsystemet på continen ild ett nollsystem, dvs kftsummn ä nollvekton och kftmomentet med vseende på någon punkt ä nollvekton. Vi pojice kftekvtionen i nomlkftens och fjädekftens iktning: : F fjäde sin 0 () : cos 0 (3) Ffjäde sin cos Tådens fölängning ä enligt smndet () l sin k L 3.4 α T v DIVI L D Konstnt hstighet motsv ett jämviktstillstånd. Då fods tt kftsystemet på flygplnet ild ett nollsystem, dvs kftsummn ä nollvekton och kftmomentet med vseende på någon punkt ä nollvekton. Vi pojice nu kftekvtionen i motståndskftens och lyftkftens iktning: : Tcosα D sin 0 () : Tsinα + L cos 0 () Lös ut föst sinα och cosα u dess ekvtione och ild sedn tnα! cos L tnα D+ sin Fö tt estämm T kn vi u () och (3) föst ild T cos α espektive T sin α. ummn li enligt "tigonometisk ettn" T. T ( sin α + cos α) ( cos L) + ( D+ sin ) + ( + ) T cos L D sin

3 L 3.5 Kontktytn vid ä gltt. m kftsystemet komplettes med nomlkften h vi en filäggningsfigu. Vi nt tt systemets mss kn fösumms, dvs tt tyngden ä fösum jämföt med de kfte som skll estämms. Hävstångens idé gö tt vi fövänt oss tt kften ä minde än spännkften i kedjon. Jämvikt fö det filgd systemet fod: : + + sin 0 () : cos 0 () : sin 0 ( + ) 0 (3) Ekv (3) ge sin + (4) sin Ekv () ge sin (5) + sin + (6) Komment: ven ä helt klt dimensionsiktig. En tigonometisk funktion h dimensionen ett. Fö vinkeln π/ ä kften hoisontell och stoleken måste v lik med skillnden i spännkftens stolek. Fö denn vinkel fås den kftföstoing, som mn fövänt sig v hävstången, nämligen + Fö vinkeln 0 ä kften vetikl och spännkftens stolek ä enligt ekv (6) lik. Ekv (4) säge tt det ehövs en mycket liten kft fö tt håll en viss spännkft.

4 L 3.6 Filägg cylinden fån undelget! Den påveks v tyngdkften och de två nomlkften och. Jämvikt fö den filgd koppen fod: G : sin + sinα 0 () : cos + cosα () 0 α α Momentjämvikt käve tt ll te kften gå genom centumpunkten G. Med ekv () kn vi uttyck i : sin sinα (3) Insättning i () ge cos sin + sinα cos α ( sin α cos + sin cos α) sin α sinα ; sin α + sin sin α + L Filägg de te övest cylindn. Dett system påveks v de ytte kften (te stycken), en nomlkft smt de te nomlkften 3, 4 och 5. Fö tt estämm kften ehövs en ekvtion. Jämvikt fö det filgd systemet fod: : 3sin 0 () 3sin

5 L 3.9 d F F Filägg nyckeln och mutten. Mutten påveks v kften F och F fån nyckeln smt en ektionskft och ett kftpsmoment fån gängn. yckeln påveks v kften F och F fån mutten smt kften fån hnden. vståndet melln vekningslinjen fö F och F ä enligt geometin (med liksidig, likvinklig tingl) / 3. Jämvikt fö den filgd nyckeln fod: F F : F F 0 () : d F F 0 () 3 3 Divide ekv () med / 3 och dde sedn de två ekvtionen! 3 d F F + F F 0 d 3 F Då ge ekv () d 3 F + L 3.0 Filägg klotet fån väggen och det lutnde plnet! Det påveks v tyngdkften och nomlkften och. Jämvikt fö den filgd koppen fod: G : sin 0 () : cos () 0 Momentjämvikt käve tt ll te kften gå genom centumpunkten G. Ekv () ge cos Insättning i () ge sin cos Resulttet ä lltså tn ; cos

6 L 3. Filägg systemet mn+stol+nede tissn! ntg tt mnnen d med kften i linn. Denn tådkft ä lik sto i ll del v tåden. Det motives v tt tisson ä lätt och lättölig och däfö måste momentekvtionen med vseende på vje tisss centum v noll. Jämvikt fö det filgd systemet fod: : 3 0 () Momentjämvikt käve tt ll te kften gå genom centumpunkten G. Ekv () ge 3 L 3. D 30 T 30 K 45 G d E tängen och D ä lätt och måste då v tvåkftskopp. Kontktkftens vekningslinje måste då gå genom ändpunkten. Filägg stången och infö kften,, T och K enligt figuen! Jämvikt fö den filgd koppen fod: 3 3 : T K 0 () : G : T + K + 0 () d 3 T d 3 K 0 (3) Ekv (3) ge T K (4) Ekv () ge då K 3 Insättning i () ge 3 (5) + 0 (6) ; nm.: Resulttet kn fås diekt om mn pojice kftekvtionen på en iktning som ä vinkelät mot de lätt stängen.

7 L 3.3 H V D G 45 I dett polem ingå egentligen en msscentumeäkning om mn inte slå upp i en tell. Fö en tingel ligge msscentum på vståndet en tedjedel v höjden fån sen äknt. e ppendix i polemsmlingen! Te oeknt kfte söks. Vi måste lltså ställ upp te ekvtione. Filägg plåtskivn! Jämvikt fö den filgd plåtskivn fod: Enligt ekv() och (3) ä H Insättning i ekv() ge v: H 3 : H + 0 () : V + 0 () D : V + 0 (3) 4 och V , 3 4, 3 (4) (5) L 3.4 h Filägg pesonen och infö nomlkften och! Långsm mhävning etyde tt cceletionen ä fösum och tt vje läge kn ses som ett jämviktsläge. Jämvikt fod: : + 0 () : ( + ) 0 () Momentjämvikt käve tt ll te kften gå genom centumpunkten G. Ekv () ge + Ekv () ge då + Mn kn också i stället fö ekv () ställ upp momentekvtionen med vseende på, vilket me diekt ge esulttet. peciellt fö fllet 3 fås /4; 3 / 4.

8 L 3.5 d V G h c Filägg skottkän och infö ektionskften vid och! Kften och ä vetikl. Eftesom hjulet ä fitt öligt och kontktkften vid skn en hoisontell komposnt så ä också kontktkften vid vetikl. m 0 så kn min estämms med momentekvtionen med vseende på : c min ( + + c) 0 c c min + + c c min ( + + c) 0 c min + + m 0 så kn estämms med momentekvtionen med vseende på : c c ( + c) 0 + c L 3.6 m g m g (m +m ) g V V m g c (m +m ) g Filägg gymnsten fån ingn! Jämvikt fö hel gymnsten fod tt de vetikl kften på händen t upp hel tyngden. : m g m g 0 () mg+ () Filägg mn fån esten v koppen och infö kften V och kftpsmomentet M. Jämvikt fö esten v koppen fod : V m g 0 (3) V m g (4) M M Jämvikt fod nu fö vänstemen (den hög i figuen) m g V m g V m g c : m + m g( + c) mg + M 0 M m g( + c) m gc (5)

9 L 3.7 R α K Vi föutsätte tt skuven sitte fst. Jämvikt fod tt kftmomentet med vseende på en xel genom vinkelät mot figuens pln ä noll: Del upp kften K och i komposnte pllell och vinkelät mot nyckln. Det ä komposnten som ä vinkelät mot nyckln som ge ett kftmoment. : Ksinα R sin 0 () K sin Rsinα umeiskt fås K L 3.8 Vinkelstången ä en tvåkftskopp så tt kontktkften i måste h en vekningslinje som gå genom. T R Filägg nu cylinden fån vinkelstången och den gltt xeln vid. Infö motsvnde kfte T och R. Kften T och h känd iktning. Eftesom cylinden ä en tekftskopp måste ektionskften R h en iktning genom. m figuen its på dett sätt h vi indiekt ställt upp momentekvtionen, eftesom den käve tt momentet skll v noll med vseende på. Jämvikt fod också tt : R 0 R () : T sin 0 () Men geometin ge sin 5 T 5

10 L 3.9 etkt ett jämviktsläge då koppen just lättt fån undelget och vil mot knten vid. Filägg välten! α+ α α h m cylinden ote lätt finns en nomlkft vid. Den h sin vekningslinje genom centum. De övig kften ä tyngdkften och dgkften. Välten ä en tekftskopp. Kftens vekningslinje gå genom. (m en fiktionskft skulle existe vid måste den också motsvs v ett kftpsmoment på gund v fiktion vid xeln.) Infö den vinkel α som dien (elle nomlkften ) ild med vetiklen. Med en kftekvtion i en iktning vinkelät mot kn nomlkften vid elimines diekt. Jämvikt fod: sinα cos( + α) sinα 0 cos + α L 3.0 etkt ett jämviktsläge då koppen just lättt fån undelget och vil mot knten vid. Filägg välten! α α α h m cylinden ote lätt finns en nomlkft vid. Den h sin vekningslinje genom centum. De övig kften ä tyngdkften och dgkften. Välten ä en tekftskopp. Kftens vekningslinje gå genom. (m en fiktionskft skulle existe vid måste den också motsvs v ett kftpsmoment på gund v fiktion vid xeln.) Infö den vinkel α som dien (elle nomlkften ) ild med vetiklen. Med en kftekvtion i en iktning vinkelät mot kn nomlkften vid elimines diekt. Jämvikt fod: cos( α) sinα 0 sinα cos α

11 L 3. K G h H c Filägg vgnen fån kontktyton dä fiktionskften ä fösum. Jämvikt fod: : H K 0 : 0 : K c 0 H K c u v det två p v vje hjul så om nomlkften på enstk hjul söks så ä de c L 3. R F V H Filägg vinschtummn fån späen och ottionsxeln. päen ä lätt och däfö en tvåkftskopp. Kften F måste gå i smm iktning som späen. Vi föutsätte en gltt ottionsxel. Jämvikt fod: : H R 0 H R : V R R + 0 tn tn V tn + R R

12 L 3.3 Filägg hndtget! Det påveks v kften smt ektionskfte i leden och. I leden föutsätte vi enligt polemtexten tt kften ä vetikl. d Vilken iktning h kften i? Jo, eftesom länkmen ä en tvåkftskopp måste kftens vekningslinje gå genom. e figu! Men hndtget ä en tekftskopp. Det etyde tt vekningslinjen också måste gå genom de nd två vekningslinjens skäningspunkt. e figu! Likfomighet ge d d d seve tt det ä momentekvtionen som li stisfied genom dett geometisk esonemng. Kftmomentet med vseende på måste v noll.

13 L 3.4 Filägg cikelskivn enligt figuen! 60 V Jämvikt fod: : H 0 () 3 : V + 0 () : + V + H M 0 (3) M H Uttyck H och H i H med hjälp v () och (). ätt in i ekv (3): M M 3 Insättning i ekv () och () ge H M ( 3) och V 3M ( 3) L 3.5 Filägg men enligt figuen och infö ektionskften K och R! c Länkmen DE ä en tvåkftskopp och Q kften R måste lltså h en vekningslinje genom D och E. Hel den filgd R d men ä en tekftskopp. Vekningslinjen fö kften K måste lltså gå K G E genom punkten. Vi skll estämm den hoisontell delen v kften K. Vi D elimine däfö den ointessnt kften R genom tt ställ upp momentekvtionen med vseende på Q vståndet QG ä ctn. Hävmen till den hoisontell kftkomponenten v K, som vi kll K li då ctn d. Momentekvtionen med vseende på Q li c ( ctn d) K ( + c) 0 K + c d tn

14 L 3.7 Filägg ilen fån vägg och undelg! h G f ilens tyngd ä. Vid kontktytn mot väggen finns enligt text en hoisontell nomlkft. Fmhjulen nts ull lätt så tt det finns inte någon fiktionskft dä mot mken. m ilen divs fmåt måste lltså motsvnde fmåtiktde kft v fiktionskften vid khjulens kontkt med mken. khjul f M R m khjulspet filäggs se mn tt det föutom kontktkften påveks v en kft R fån esten v ilen, en tyngdkft och ett kftpsmoment M. Jämvikt fö hjulpet fod: : M f 0 Dett fökl smndet melln det divnde momentet och fiktionskften men ehövs inte fö tt lös dett polem. Jämvikt fö den filgd ilen fod: : f 0 () : + 0 () : ( + ) h 0 (3) omlkften ä känd. Det etyde tt ges v ekv (3): h + och då ges v ekv () h + h + + Komment: m nomlkften 0 ligge en stöe del v ilens tyngd på fmhjulen om <. m ä i dett fll nomlkften lik sto. omlkften ök nomlkften vid khjulen och minsk den vid fmhjulen. Vid ett visst kftpsmoment på khjulen, dvs ett visst väde på nomlkften, lätt fmhjulen.

15 L 3.33 h y R x Filägg koppen fån leden i. Infö ektionskften R. Vi föutsätte tt leden ä gltt. Jämvikt fod: : Rx + cos 0 () : + Ry sin 0 () : sin 0 (3) Ekv (3) ge (4) sin Ekv () och () ge Rx cos R y + sin ätt in dett i (4)! R x tn R y + R R R + x + y + tn R + + tn

16 L 3.38 Filägg cylindn fån vnd och fån odet! Vd hände om spännkften ä fö liten? Jo, de unde cylindn fölo kontkten med vnd. Gänsfllet fö dett ä nä nomlkften 0. Det ä dett villko som ge min. De spetsig vinkln i figuen ä ntingen 60 elle 30. ylindn ä gltt så tt tådkften ä lik sto i ll del v tåden. Det ges också om mn ställe upp momentekvtionen med vseende på vje centum. Jämvikt fod fö den öve cylinden: fö den unde vänst cylinden: : () : + 0 () ätt nu in 0 i ekv () och elimine u ekvtionen genom tt föst multiplice () med, divide () med 3 och sedn dde ekvtionen. Resulttet ä min 3

17 L 3.4 K F K D Q D h E H V Filägg stången och filägg den unde delen v systemet fån kontkten vid E och. tången ä homogen så tt msscentum ligge mitt på stången. ll lede ä gltt. Det etyde tt det skns omsnde kftpsmoment vid dess xl. Fö hjulet etyde det tt den hoisontell kften vid kontktpunkten F ä noll. nns skulle det v den end kften som skulle ge ett kftmoment med vseende på hjulxeln D och hjulet skulle inte v i jämvikt. ntg tt den hoisontell och vetikl komponenten v kontktkften vid ä H espektive V. Jämvikt fö den filgd stången fod: : ( + ) K ( + ) 0 () Jämvikt fö den filgd unde delen v systemet fod: : H + sin 0 () : V + cos K 0 (3) : cos sin h+ K ( + ) 0 (4) Kften estäms diekt med ekv (): K (5) Kften estäms då v ekv (4): ( + ) cos + hsin Insättning v (5) och (6) i ekv () och (3) ge då H och V : (6) H ( + ) sin cos + hsin V + cos cos + hsin elle V hsin cos cos + hsin m htn (se figu!) ä den vetikl kften V 0. Det motsvs v tt K, och H ild ett stålkftsystem med skäningspunkt i Q.

18 L 3.5 f En stel kopp som h konstnt tnsltionshstighet, dvs ll punkte i koppen h lik hstighet, efinne sig i ett jämviktstillstånd. En stel kopp som ote med konstnt vinkelhstighet king en xel genom msscentum ä också i jämvikt. Dett gälle även om xeln genom msscentum h konstnt hstighet. Full föståelse fö dett få mn i dynmiken. k R l d m khjulet filäggs se mn tt det påveks v kfte i centum, kontktkften mot mken smt kften på kedjeknsen, som ju ä stelt föend med hjulet. Kedjehjulet med pedle påveks föutom v kfte i centum v kften och kften på pedlen. End möjligheten tt slipp kften vid xln ä tt ställ upp momentekvtionen med vseende på dess xl. Jämvikt fod: khjul : f R k 0 () Kedjehjul : Rl d 0 () Ekv () ge d R l Ekv () ge då f k R f k d R R l Eftesom d och R ä givn konstnt vstånd kn cykelns fmåtdivnde kft f änds genom utväxlingen, dvs föhållndet k / Rl, som kn estämms genom tt äkn ntlet kugg på de åd hjulen.

19 L E k H D V Hjulet påveks vid kontktstället mot mken v kften uppåt. Jämvikt i vetikl led inneä då tt kften på hjulet vid ä nedåt. Då h mn också fösummt hjulets tyngd jämföt med flygplnets. Filägg nu stången! Eftesom stången ä lätt, ä det en tvåkftskopp och då måste kften i leden v iktd mot punkten. ntg tt ektionskften i h komponenten H och V enligt figuen. Kftsitutionen ä då kl eftesom leden ä gltt och tyngden få fösumms. u åtestå tt u den givn geometin estämm hävm. seve tt vinkeln inte ä 30, eftesom stängen och inte ä vinkelät. D sin 30 D () 3 D cos30 D () Med ythgos sts fö tingeln D fås: 3 7 D (3) Likfomighet ge D ( tn ) D E 3 5 E E (4) Jämvikt fö stången fod: : 3 H (5) E : V (6) Ekv (5) och (6) ge H 3 6 V 6

20 L 3.6 z E Jämvikt fö stolpen fod tt kftmomentet M 0. tolpen kn inte vid sig king z-xeln, eftesom fundmentet kn lnse ett eventuellt kftmoment i z-iktningen. De te tådkftens moment med vseende på x- och y- iktningen måste däemot v noll. D x D 6 EF 3 e å smm sätt fås D, 0, 6 e D F y ( 3,, 8) ( ( ) 3,, 8) 3,, 8 EF, 0, 6 e EF Fö tt kunn eäkn kftmomenten måste mn skiv tådkften på vektofom. Vi öj däfö med tt estämm enhetsvektoen i tådiktningn. Hä ä () ( 0, 3, 0) (, 0, 8) (), 3, 8 (3) ( 0,, 3) ( ( ) 0,, 3) 0,, ( 0,, 6) ( ( ) 0,, 6) 0,, ( ) 74 3,, 8 (4) ( ) 0 0,, 3 (5) ( 0,, 6) (6) 37 Kften på vektofom ä lltså e ( ) (7) D D DeD ( ) (8) EF EF EFeEF ( 0,, 6) 37 (9) M ex ey ez ex ey ez ex ey ez D EF kftmoment fån fundment 4 3D ( Mx ) D D 6EF ( My ) EF

21 L m x 6m z D 8m 8m y 4m 8m De ytte kften på stolpen ä föutom tyngdkften, tådkften och smt ektionskften vid. Tådkften skll estämms. Det motsv två oeknt eftesom kftiktningn ä givn. Rektionskften vid motsv te oeknt. End möjligheten tt slipp den kften i äkningn ä tt ställ upp momentekvtionen med vseende på. Föst skive vi tådkften som vektoe. Vi öj med tt estämm enhetsvektoen i des iktning. 8, 8, 4 m () ( e e,, ) (,, ) (,, ) (),, , 6, 8 m (3) ( 0, 3, 4) ( 0, 3, 4) e e ( ) 0, 3, , 3, 4 (4) Tådkften skivn som vektoe ä lltså e (,, ) e ( 0, 3, 4) (5) 3 5 Jämvikt fod: M D (6) ( M ) ex ey ez ex ey ez ex ey ez m m m (7) 0 0 Enheten kn tycks v fel men kften innehålle enheten. 6 4 ( Mx ) ( My ) Kften ä given: 8 k 8 0 k; 9 k

22 L 3.67 D x 9 7/4 4 z l/4 3 y De ytte kften på hylsn, som få nts v liten, ä tyngdkften, tådkften smt nomlkften. Tyngdkften och tådkften h givn iktning. omlkftens iktning ä delvis känd. Den ä ju vinkelät mot stången. Tådkften skll estämms. Eftesom hylsn nts v liten h kften smm ngeppspunkt och momentekvtionen ä då edn stisfied. Gå det tt skiv upp en jämviktsekvtion utn tt nomlkften komme med? J, kftekvtionen pojiced på stångens iktning skulle kunn ge esulttet. Vi måste då föst estämm enhetsvekton i stångens iktning smt kften som vektoe. 0, 0, 3, 4, 0 3, 4, () e ( 3, 4, ) ( 3, 4, ) ( 3, 4, ) ( ( ) 3, 4, ) 3, 4, e e ( 3) + ( 4) + () ( 3, 4, ) (3) 3 Tådkftens iktning fås på smm sätt. Vi estämme föst enhetsvekton e D. D D D 7 4, 0, 9 9 4, 3, 3 D (, 3, 6) (4) D (, 3, 6) ed e D (5), 3, 6 e D D (, 3, 6) ( ( ), 3, 6) ( ) ,, ,, (6) ed ( ) 7, 3, 6 (7) Jämvikt fod: e + ( ez) e (,, ) ( 3, 4, )+ ( 0, 0, ) ( 3, 4, ) ( )