Lösningar till Problemtentamen

Transkript

1 KTH Mkanik Mkanik II, 5C1140, M, T, CL , kl Lösninga till Pobltntan Uppgift 1: Två cylinda d adina spktiv R sitt ihop so n stl kopp. Dn kan ota fitt king n fix hoisontll axl O. Koppns töghtsont d avsnd på O ä I. En tåd viad unt dn ind cylindn ä i föbindls d tt tak via n vtikal fjäd d styvht k. En annan tåd lindad unt dn stö cylindn bä upp n vikt d assa. Bstä vinklfkvnsn fö systts svängninga king jäviktslägt. k I O R Figu 1: Systt i Uppgift 1 Lösning 1: O cylindn vids vinkln θ dus das fjädn ut stäckan x = θ och viktn åk nd stäckan x = Rθ. Kalla tådspänningn fö S. Då g filäggning: I θ = ( kθ)+rs, (1) R θ = g S, (2) d.v.s. n ontkvation fö dn otad koppn och n kaftkvation fö viktn. θ =0antas svaa ot ospänd fjäd. Insättning av S fån (2) i (1) g (I + R 2 ) θ = k 2 θ + Rg. Dn konstanta tn kan fås bot gno att an dfinia n ny vinkl φ = θ Rg/k 2 so ä noll vid jäviktslägt. I t av dnna fås svängningskationn φ = ω 2 φ dä Sva: ω = k 2 /(I + R 2 ) ä dn sökta vinklfkvnsn.

2 Uppgift 2: På n hoogn cylind d assan ä n tåd upplindad. Cylindn, vas adi ä R, läggs på tt hoisontllt plant stävt undlag. Tådn das ut hoisontllt på cylindns övsida. Då cylindn ä i vila applicas n konstant kaft F i hoisontll iktning, vinklätt ot cylindaxln. Bäkna asscntus fat v då cylindn ullat stäckan s. 2v F 2R v Figu 2: Systt i Uppgift 2 Lösning 2: Poblt löss lättast d lagn o kintiska ngin U = T T 0. Dn statiska fiktionskaftn utätta ingt abt, j hll d vtikala kaftna. Endast kaftn F itådn abta. Nä cylindn ullat stäckan s ha tådn ullats ut stäckan 2s ftso cylindns övdl ha dubbla fatn ot asscntu. Kaftn ha alltså vkat stäckan 2s så dss abt ä U = 2sF. Alltså g lagn i fåga att 2sF = 1 2 v2 + 1 R 2 ( ) v 2 0, 2 2 R då jut 0 =0idtta fall. Hä ha lagn o kintiska ngins två dla använts sat ullningsvillkot v = R θ och att töghtsontt fö n cylind ä I = R2 2. Man få då att 2sF =(3/4)v 2.Lös an ut v få an Sva: 8sF v = 3, fö asscntus fat ft stäckan s.

3 Uppgift 3: En stång AB d längd 5 ö sig så att båda ändana följ tt givt spå. Ändn A ö sig d konstant fat v A i n dl av spåt so ä akt. Ändn B ö sig i n ciklfoad dl av spåt. Cikln ha adin. I tt givt ögonblick ha ändn B öt sig 90 gad (π/2 adian) i ciklbitn av spåt, s figu. Vad ha stångn då fö vinklhastight och vad ha dn fö vinklacclation? A v A C 2 B x y Figu 3: Någa btckninga fö Uppgift 3 Lösning 3: Stångns ontancntu ligg i C och an s gnast att, U gotin följ att Vi använd nu sabandsfoln fö acclation ω = v A, (3) 2ω = v B =2v A, (4) ω = θ = v A /. (5) cos θ = BC BA = 2, 5 (6) sin θ = AC BA = 1. 5 (7) a B = a A + AB α θ AB ω 2. Dt ä givt att stångns längd ä AB = 5 och att ändn A ha konstant fat, d.v.s. a A = 0. Eftso B ö sig på n ciklbana kan vi använda d natuliga koponntna av Bs acclation och hålla vktokvationn, x + a t y = 5(α θ ω 2 ) (8) Koponntna av dnna längs θ och g ( sin θ)+a t cos θ = 5α, (9) cos θ + a t sin θ = 5( ω 2 ). (10) Md sin θ (9) cos θ (10) liinas a t och an få n kvation fö vinklacclationn α. Md lit algba och insättning av ovan hållna sultat fås till sist Sva: ω = v A / och α =2v 2 A /2.

4 Uppgift 4: En ydstation bstå av tt stot cikulät ö d yttadi R. O ydstationn ota d läplig konstant vinklhastight ω påvkas n pson i vila lativt stationn, vid yttadin, av n systpunktskaft (cntifugalkaft) so ä lika sto so tyngdkaftn vid jodytan (tyngdacclationn vid jodytan ä g). Fö vilkt ω intäffa dtta? O psonn ha lativ hastight längs öt tillko n Coioliskaft. Md vilkn lativ fat och i vilkn iktning åst psonn öa sig fö att Coioliskaftn skall dubbla tyngdn, d.v.s. bli lika sto och åt saa håll so cntifugalkaftn? R O l v l F l Figu 4: Någa btckninga fö Uppgift 4 Lösning 4: Cntifugalkaftn ä F sp = ω 2. I dnna uppgift ä = R = l såo cntifugalkaftns blopp skall vaa lika d g vid = R fås: Alltså åst dn ätta vinklhastightn gs av ω 2 R = g. g Sva: ω = R. Coioliskaftn gs av F Co = 2ω v l.hä gäll F Co = 2ω z v l θ =2ωv l. Coioliskaftn bli sålds lika sto so cntifugalkaftn (och tyngdkaftn) nä 2 g/r v l = g. Dtta g Sva: v l = 1 2 Rg θ. Riktningn ä alltså åt saa håll so öt ota.

5 Toitntan Uppgift 5: Sabandsfoln fö hastight i n stl kopp ä v A = v B + ω BA. Antag plan öls. Visa att o ω > 0 så finns n punkt i koppn (ll stlt fönad d koppn) so ha hastight noll. Sva 5: Dtta visas på sidan 43, avsnitt 2.5 i Chist Nybg, Mkanik fotsättningskus. Uppgift 6: Foula och bvisa satsn o kintiska ngins två dla fö n stl kopp d plan öls. Sva 6: Dtta visas på sidan 97, avsnitt i Chist Nybg, Mkanik fotsättningskus. Uppgift 7: Häld töghtsontt fö n sal hoogn stav, d assa och längd a, fö n axl so ä vinklät ot stavn och gå gno na ändpunktn. Sva 7: Dtta visas övst på sidan 74, avsnitt 3.3 i Chist Nybg, Mkanik fotsättningskus. Uppgift 8: Då Jodn ota d konstant vinklhastight ω = ω z bli n av d fiktiva kaft so upptäd systpunktskaftn (cntifugalkaftn) F sp = ω 2. Bskiv kvalitativt vad dn ha fö invkan! Sva 8: Dtta diskutas på sidan 133, avsnitt A.5 i Chist Nybg, Mkanik fotsättningskus. Pobl- och toitntan ä olika tntaina so vid godkänt g 2 spktiv 1 kuspoäng. Vaj uppgift g högst 3 (tntans)poäng. På vada dln kan an högst få 12 poäng och fö godkänt fodas inst 4 poäng. Ha du klaat kontollskivninga ä toidln dan godkänd. Fö att kusn skall vaa kla i sin hlht åst du också ha fått godkänt på inläningsuppgift so ä väda 1 kuspoäng. Tillåtna hjälpdl: skiv- och itdon inklusiv suddgui. HE/CN