Lösningar till ( ) = = sin x = VL. VSV. 1 (2p) Lös fullständigt ekvationen. arcsin( Lösning: x x. . (2p)

Transkript

1 Akadmin ör utbildnin, kultur oc kommunikation Avdlninn ör tillämpad matmatik Eaminator: Jan Eriksson Lösninar till TENTAMEN I MATEMATIK MAA0 oc MMA0 Basutbildnin II i matmatik Datum: auusti 00 Skrivtid: timmar Hjälpmdl: Pnna, linjal oc radrmdl Dnna tntamn bstår av två dlar. örst s om varannat SLUMPMÄSSIGT ORDNADE nklar uppitr, som vardra r maimalt poän. Andra dln bstår av tr uppitr, som r maimalt 4 poän pr uppit. Dn maimala poänsumman på skrivninn är sålds 4. ör btyt G krävs minst poän. ör btyt VG minst 7 poän. Lösninar örutsätts innatta ordntlia motivrinar oc tydlia svar.. Lös ullständit kvationn sin 5 p Lösnin: arcsin n 0 sin arcsin n 0 45 n n 0 0 n n n 0 0 n 0 0 n 0 / 5 n 80 S var : 0 n 0 / 0 n 80. Visa nom att omorma örldt i idntittn att cos sin. p sin cos sin sin sin Lösnin: HL [Tri.ttan] [Konjuatrln] sin sin sin sin VL. VSV. Anm: Dtta ällr undr örutsättnin att sin 0, dvs. att π n π, mn då idntittn ändå är ormulrad som dn är, så tittar vi ju ndast på dt all där vi örutsättr dn ilti.. Bstäm π 4 då cos. p cos cos sin cos sin Lösnin: π cos π sin π Man kan också notra att cos sin sin π sin π sin π I vilkn punkt ar unktionn n tannt parallll md -aln? p Lösnin: råan är kvivalnt md råan: ör vilka värdn på är 0 då? Dt ällr nlit produktrln oc kdjrln att 0 0 0, vilkt är svart på råan.

2 4 5. Bstäm dn primitiva unktion till sin som uppyllr villkort 0. p Lösnin: cos0 0 cos sin sin 0 d Dtta mdör alltså att dn sökta primitiva unktionn ör vilkn bynnlsvillkort 0 är cos. Bräkna intraln d. Eakt svar krävs. p Lösnin: Dn råa du örst måst ställa di är vilka typr av intralr kan ja lösa? Oc därmd r si automatiskt svart på vilka du int kan lösa. Svart på råan är nkl. Etr dnna kurs unär ymnasits D-kurs kan du lösa nkla intralr av typn drivata bakläns, dvs. intralr av typn d oc b a b a d ] [. Du kan alltså INTE lösa intralr av typn d ] [ llr d llr d. Dt år du lära di i n kommand öskolkurs; n kalkylkurs som t.. MAA4. Dn produkt som står undr intraltcknt måst alltså örst skrivas om på n annan orm som tt polynom nom att multiplicra iop parntsrna. Vi år då d d d Svar: Intralns värd är 7 DEL : 7. Bräkna om. örst md jälp av kvotrln, så att du skapar di själv tt acit. Sdan md jälp av dinitionn, dvs bräkna ränsvärdt lim 0. 4p Lösnin: Kvotrln [ ] d d d d Dtta är då vårt acit. Nu skall vi ta ram samma rsultat md jälp av drivatans dinition.

3 4 lim lim lim Vi år lim lim lim Oc dtta stämmr ju md acit. 8. Tanntrna till parabln y 4 i d punktr där oc skär varandra i n punkt P. Då bildar tanntlinjrna tillsammans md -aln n likbnt trianl. Bräkna dnna trianls ara. 4p Lösnin: örst bövr vi ta ram d data som är nödvändia ör att tckna tantntrnas kvationr, dvs. vi måst ta ram y oc y samt y oc y. y, y y 4 Vi kan då tckna tanntrnas kvationr y 4 y, y t, : y y Då kan vi bräkna skärninspunktn mllan tanntrna t, : y y nlit modlln y y : 4 8 y 5 Nu åtrstår att bräkna aran av dn trianl tanntrna oc -aln bildar. Dt kan man antinn öra md rn omtri llr via intralr. I vilkt all som lst, så måst man ta rda på tanntrnas skärninspunktr md -aln, dvs. md linjn y 0. Sätt därör in y 0 i tanntkvationrna oc å -koordinatrna. 0 Dtta mdör att basn uttr -aln år ländn Höjdn i trianln är y-värdt i skärninspunktn, dvs. y 5. Alltså blir aran b A a.. Om man iställt lösr uppitn md intralr år vi dla upp trianlområdt i två dlar, rån till oc rån till. Dt r oss aran som summan av intralrna: A [ ] [ ] d d no säa md o att intralbräkninn i dtta all var n krånliar mtod än dn rnt omtriska. Man kan iur:

4 44. Ut till avs kan n jordbävnin uppov till n s.k. tsunamivå som år stor amplitud när dn når kustn. Vattndjupt D m i n amn som nås av n sådan vå s av unktionn: 4p π D t sin, 0 t 5, där t är tidn i minutr rån dt att vattnt i amnn börjar 5 påvrkas av vån. a. Vilkt är dt största vattndjupt undr våns påvrkanstid, oc vilkt är dt lästa? b. Mllan vilka tidpunktr är vattndjupt störr än 7 mtr? π Lösnin: a Etrsom dt ällr att sin så måst ju älla att D t. Dt 5 lästa vattndjupt i amnn är alltså - m, dvs vattnlinjn ar drait si ut n bit till avs så amnn är torrlad mdan dt största djupt är mtr. b Tntans nda riktia utmanin Mllan vilka tidpunktr ällr då att D t > 7 mtr? Enklast är no då att bräkna d två tidpunktr när vattndjupt är akt 7 mtr. π π π t π t arcsin n π sin 7 sin sin π arcsin n π 5π π 5 5 π n n 5 π t n π π π t t 5 7π n π 7π 5 π 5 05 n n 5 π π 5 Dt innbär att dn na tidpunktn är 5 trsom tidpunktn måst lia i intrvallt t 5 Alltså oc kvarts minut, dvs. minutr oc 45 skundr Nästa tidpunkt är 8 dvs. 8 minutr oc 45 skundr. Därmd kan vi konstatra att vid 4 4 tidpunktn 8 minutr oc 45 skundr tr att vån når amnn är djupt 7 mtr. Dt ökar π t π 45π sdan till sitt maimum som inträar då t, dvs tr minutr 5 4π 4 oc 5 skundr oc avtar sdan ör att åtr vara 7 mtr då dt ått minutr oc 45 skundr sdan vån nådd amnn. Gra:

5 54