TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2017

Transkript

1 Institutionn för tillämpad mkanik, Chalmrs tkniska högskola ENAMEN I FINI EEMENMEOD MHA 3 AUGUSI 7 id plats: 4 8 i M hust Hjälpmdl: Ordböckr, lxikon typgodkänd räknar. ärar: Ptr Möllr, tl ( Bsökr sal ca. kl 5. samt 7.. ösningar: Btygsättning: Rsultatlista: Granskning: ösningar Anslås på kurshmsidan samt på institutionn (3 vån. i M hust snast 4/8. En fullständig korrkt lösning på n uppgift gr poäng nligt vad som angs på uppgiftslappn. Smärr fl ldr till poängavag. Ofullständig lösning (svar på ställt problm saknas llr omfattand fl gnt något poäng. Maximal poäng är. Dt krävs 8 poäng för btyg 3; poäng gr btyg 4; för btyg 5 krävs 6 poäng. Obsrvra att ovanstånd är btygssättning på nbart tntamn; för godkänd xamination krävs dssutom godkända inlämningsuppgiftr. Anslås snast 3/8 på samma ställ som lösningarna. Rsultatn sänds till btygsxpditionn snast 8/9 för kursdltagar som int har alla inlämningsuppgiftr godkända vid dtta tillfäll inrapportras btygt U (undrkänd. isdag 5/9 3 samt torsdag 7/9 3 i institutionns lokalr. änk på: Skriv så att dn som ska rätta, kan läsa förstå hur tänkr. Dn som rättar tntamn gissant llr antant vad mnar/tänkr ndast vad som vrklign skrivs har btydls vid poängsättningn. Förklara/dfinira införda btckningar. Rita tydliga figurr. Ang i förkommand fall vad som är positiva/ngativa riktingar (på t.x förskjutningar kraftr. Gör antagandn utövr d som angs i uppgiftstxtn, så ang dtta xplicit förklara dssa /PWM

2 Btrakta värmldning gnom n cylinisk trmosvägg md innrradi yttrradi. Om innrväggns tmpratur är u i värmövrgångn vid yttrväggn är konvktiv md övrgångsmotstånd α, fås tmpraturn u( r i väggn som lösningn till randvärdsproblmt u i θ u r d -- k r r u( u i < r < q( α( u( u där värmldningskofficintn k omgivningstmpraturm u är givna konstantr, samt q k är värmflödt nligt Fourir. a: Variationsformulra problmt. Du bhövr hänt ang rgularittskrav på ingånd funktionr, md dt måst klart framgå hur randvillkorn kommn i dn svaga formn. (Obsrvra att intgrationn ska göras övr n volym: intgrationsgränsr. (p dv (md lämpliga b: FE formulra problmt md tstfunktionr (viktsfunktionr nligt Galrkin. (p V rdθ dz c: Härld lmntstyvhtsmatrisn för tt lmnt md två linära basfunktionr längdn h r r, där r r är d två nodrnas koordinatr. (p d: åt,3 m,,5 m, u i 9 C, u C, k,w/m C N r r r α W/m C. Bräkna yttrväggns tmpratur gnom att lösa problmt md två lika långa linära lmnt. (p ösning a: Multiplicra diffrntialkvationn md n tstfunktion v volymn v( r intgrra övr π v -- d kr d rdθ d r d z π v kr r dv Eftr division md π partialintgration fås kr vkr. Utvckla nu randtr- mn sätt in randvillkort vid r : vkr. Här är sista trmn är obkant, så vi bgränsar valn av tstfunktion till sådana att v(. Vi har alltså variationsproblmt v( k v( r i k v( r y αu v( αu( v( k r r r 7 8 3/PWM

3 dv kr + αr y v( u( α v( u u( u i v( ösning b: Approximra dn obkanta funktionn md n linärkombination av basfunktionr u u h + N a + + N n a n Na, där N är n radvktor md basfunktionrna a är n kolumnvktor md nodvariablrna; basfunktionrna måst uppfylla N(. Sätt in approxima- h d dn tionn i variationsproblmt låt [ Na] a d dn dn n : a Ba dv kr Ba + αr. Välj nu basfunktionrna som tstfunktion tur y v( N( a α v( u ordning (Galrkins mtod; varj val gr upphov till n kvation vi samlar kvationrna rad- N dn vis, så v dv. Vi får alltså B krb Ba + α N ( N( a α N ( u N n d dn n ösning c: För tt lmnt md två linära basfunktionr N på intrvallt r r r N dn har vi -- vilkt gr att dn dn är konstant. Vi får då: h ---- h K r kr dn dn k ---- k r h r r k( r r [ ] r h r h r r k( r r ( r + r h k( r + r h ösning d: Om vi numrrar nodr lmnt inifrån utåt, får vi nodkoordinatrna r r r 3,3,4,5 m vi har lmntlängdn h, m. Vi får då K a k( r + r ,7,7 h a,7,7 K a k + r a,9,9 h,9,9 a a ( W/m C ( W/m C /PWM

4 för lmnt rspktiv. Assmblring gr då Ka,7,7,7,6,9,9,9 a ( W/m C. Dt konvktiva biagt till vänstrldt blir K c a αr 3 N N a a( W/m C mdan högrldt gr f αr 3 N u Randvillkort vid r gr att u i så vi får ( K + K c a f,7,7,7,6,9,9,9 u i a,7 a,6,9 a,9,9 3,7,7 u i D tr kvationrna har rhållits gnom att i tur ordning välja d tr basfunktionrna ( r som tstfunktion, mn uppfyllnt variationsformulringns villkor v( så första kvationn änt gilltig. Vi får då,6,9,9,9 a,7 u i lösningn a a ,663 3,9,9,9,6,7 u 4,3 i 3,4 C /PWM

5 Dt vanligast balklmntt för att approximra lösningn w( x har fyra kubiska basfunktionr, som för tt lmnt md längd gs av till lastiska linjns kvation x x3 N 3 x x3 x 3 N x x ---- x ---- x ransvrsalförskjutningn på lmntt approximras alltså som.5.5 N w w h N a där N är n radvktor md basfunktionrna på lmntt N N3 N4 a a a3 a4 a är n kolumnvktor md nodvariablrna x/ N 4 Om böjstyvhtn EI är konstant övr lmntt, blir lmntstyvhtsmatrisn K EI Elmntlastvktorn gs av f q( xn dx, där q( x är n yttr för- 6 6 dlad last (kraft/längd. a: Visa att lmntt är kompltt. (p b: Bstäm lmntlastvktorn f då lastintnsittn q är konstant övr lmntlängdn (p c: Använd två balklmnt ställ upp, samt lös, FE kvationrna Ka f för dt problm som illustrras ndan. (3p q( x q, EI, EI /PWM

6 ösning a: Approximationn på lmntt, ösning 3c: Md två lmnt, båda md längd böjstyvht EI, fås lmntstyvhtsmatrisrna nligt tsn, md nodvaw h 4 i a i ( x, är kompltt om vi kan välja nodva- dw h riablvärdn a i så att (a w h blir n godtycklig konstant, (b blir n godtycklig konstant dx d w h (c blir n godtycklig konstant. dx (a Vi sr att bara har funktionsvärdn skilda från noll vid x rspktiv x. Försök därför md c, där c är n godtycklig konstant, samt a. Man får då w h c( + c 3 x. Ansattsn kan alltså bskriva n godtycklig konstant -- + x x -- x -- 3 c förskjutning. (b N N 4 har drivatan vid x rspktiv x, mdan drivatorna av båd är noll i dssa punktr. För att ha n konstant drivata, c, på lmntt måst skillnadn i funktionsvärdnna i d bägg ändpunktrna vara c. Försök därför md, c a c : w h c + c( N + N 4 c----- x. Approxima x3 x x x cx tionn kan alltså bskriva n godtycklig drivata c, (c Vi har anadrivatorna x 3 x 3 d 6 x dx d N 4 6x dx d 6 x dx d d N 4 x 6x sr att ick konstanta trmr förkommr parvis i omväxland positiva ngativa tckn. c För att bli av md dssa måst vi ha c a --, vilkt gr d d w h x 6 c x 6 x c 4 6x 6x c dvs lmntt kan åtrg n godtycklig konstant anadrivata. ösning b: Md konstant lastintnsitt q har vi f q N dx. Intgration av d fyra givna polynomn gr trivialt f q q q q a 5 a /PWM

7 riablnumrring nligt figurn har vi a a3 a4 a för lmnt rspktiv a a3 a4 a 5 för lmnt. Vi har då Ka a EI a a 5 EI a a 5 Md lmntlastvktorr nligt 3b har vi också f q q q + q q q q q I kvationssystmt Ka f måst vi sätta a a 5 för att satisfira förskrivna translationr; associrad basfunktionr (, i,, 3, 5 änt tillåtna val av tstfunktion, så EI bara kvation 4 6 åtrstår: q ; 4 3 q EI 3 Man önskar bräkna spänningarna som uppkommr på grund av tt övrtryck p i rörtvärsnitt nligt figurn. Eftrsom problmt har två symmtrilinjr, nöjr man sig md att diskrtisra n vänstra fjärddln av områdt. Elasticittskvationrna på svag form blir då Γ 3 Γ p sym Γ sym sym p p sym A ( v D uda v tdγ y x Γ Här är D n symmtrisk positivt dfinit konstitutiv matris, u u x u y är d obkanta förskjut- Γ /PWM

8 ningarna, v v x v y n vktor md tstfunktionr traktionvktorn t på gs t x pn av x, där n x n y är komponntrna till n utåtriktad nhtsnormalvktor på ran- t y pn y dn. Vidar gs diffrntialopratorn av x y y x a: Ang randvillkorn på d båda symmtrilinjrna Γ Γ, samt på d yttr bgränsningslinjrna Γ 3 Γ 4. (p b: Finit lmntformulra problmt md tstfunktionr nligt Galrkin. Dfinira införda btckningar. (p c: FE formulringn ldr till tt kvationssystm Ka f där K är n symmtrisk positivt dfinit matris, f n bkant lastvktor a n vktor md d sökta nodvariablrna. Visa att lösningn a K f minimrar dn kvaatiska funktionn Π( x --x Kx x f dvs visa att Π( a Π( x, md likht ndast om x a (p ösning 3a: D båda yttr bgränsningslinjrna, Γ 3 Γ 4, är fria oblastad så normal tangntialspänningarna måst vara på dssa. Md btckningarna t x σ xx n x + σ xy n y t y σ xy n x + σ yy n y kan dtta uttryckas som t x t y. För n symmtrirand gällr att tangntialspänningn förskjutningn ortogonalt mot randn är. u x, t y på Γ Sammanfattningsvis: t x, u y på Γ t x, t y på ( Γ 3 Γ 4 ösning 3b: Approximra d obkanta förskjutningarna, u y u yh i a iy, där a ix a iy är obkanta nodvariablr, mdan ( x, y är valda basfunktionr. Om vi dfinirar u x u xh i a ix N N n a x y a nx a ny N n /PWM

9 kan vi skriva u u h Na. Vidar ska tstfunktionrna nligt Galrkin vara n godtycklig linärkombination av basfunktionrna (altrnativt: väljs i tur ordning som N n v N n,,,, ; låt c c vara n kolumnvktor md god- c c n c n n tyckligt valda kofficintr. Vi har då v Nc. Insättning i dn svaga formn gr nu A ( Nc D ( Na da ( Nc tdγ c ( N D NdAa N tdγ Eftrsom c är n godtycklig vktor måst uttryckt inom parnts vara n nollvktor, så md B N fås alltså B DBdAa N tdγ llr Ka f. A ösning 3c: åt x vara n godtycklig vktor a vara lösningn till Ka f a är ntydig ftrsom K är positivt dfinit. Bilda v x a ; vi har då Π( x Π( a + v -- ( a + v K( a + v ( a + v f -- ( a Ka + v Ka + a Kv + v Kv v f a f A Mn a Kv ( a Kv ( Kv a v K a v Ka ftrsom K är symmtrisk. Vi får då Π( x --a Ka a f --v Kv v Ka v + + f Π( a + --v Kv + v ( Ka f Mn Ka f v ( Ka f K är positivt dfinit så v Kv > för v, dvs då x a, så dt följr att Π( x > Π( a för x a /PWM