Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2017, kl. 9:00-13:00

Transkript

1 Tnamn i Mamaik, H9 sp 7, kl. 9:-: Eaminaor: rmin Halilovic Undrvisand lärar: Nils Dalarsson, Jonas Snholm, Elias Said ör godkän bg krävs av ma poäng. gsgränsr: ör bg,,, D, E krävs, 9, 6, rspkiv poäng. Komplring: 9 poäng på namn gr rä ill komplring bg. Vm som har rä ill komplring framgår av bg på MIN SIDOR. Komplring skr c:a vå vckor fr a namn är räad. Om komplring är godkänd rapporras bg E, annars rapporras. Hjälpmdl: Endas bifoga formlblad miniräknar är in illån. Till samliga inlämnad ppgifr fordras fllsändiga lösningar. Skriv ndas på n sida av pappr. Skriv namn och prsonnmmr på varj blad. Inlämnad ppgifr skall markras md krss på omslag Dnna namnslapp får j bhållas fr namnsillfäll an ska lämnas in illsammans md lösningar Uppgif. p Uppgif kan d som är godkänd på KS hoppa övr. Tr pnkr är givna:,,,,, och,,5. a säm längdn av vkorn. p b räkna aran av riangln. p c säm cos α, där α är vinkln mllan och. p d säm rianglns höjd som går från pnkn ill sidan. p Uppgif. p öljand kvaionsssm är giv a a a. ör vilk värd vilka värdn på a har ssm i oändlig många lösningar ii ak n lösning iii ingn lösning? Var god vänd.

2 Uppgif. p raka vå plan som bskrivs av kvaionrna z och z. a p säm skärningslinjn mllan d vå plann. b p säm vinkln α mllan plann. Vinkln mllan plann skall ligga i inrvall π α. Svara md hjälp av arccos. Uppgif. p En riangl har sina hörn i pnkrna,,,,, och,,. a p säm kvaionn för d plan som riangln liggr i. b p räkna koras avsånd från da plan ill origo. Uppgif 5. p a p Lös mariskvaionn md avsnd på där,,. b p Lös mariskvaionn MY N md avsnd på Y där M, N. Tips. Nora a M in är invrrbar. Uppgif 6. p Tr krafr, och vrkar i pnkn P,,. Lå TOT : a psäm dn oala momnvkorn M OP TOT md avsnd på origo O,,. b p säm också vridmomn. Tips: vridmomn M. Uppgif 7. p visa a om och ndas om vkorrna och är vinklräa mo varandra. Lcka ill.

3 IT Uppgif. p Uppgif kan d som är godkänd på KS hoppa övr. Tr pnkr är givna:,,,,, och,,5. a säm längdn av vkorn. p b räkna aran av riangln. p c säm cos α, där α är vinkln mllan och. p d säm rianglns höjd som går från pnkn ill sidan. p a,, l.. b,, ran i j k i j k,, c cos α,,,, 8 a.. 5 d basn * höjdn ran aran h Dnna ppgif kan lösas på flra olika sä. Svar: a l.. b ran a.. c cos α 5 d h lakiga vkorr och gr ingn poäng för samliga dlfrågor. nnars rä llr fl.

4 Uppgif. p öljand kvaionsssm är giv a a a. ör vilk värd vilka värdn på a har ssm i oändlig många lösningar ii ak n lösning iii ingn lösning? a a a a Lå. a a d a Då är a. Om d a a ± har kvaionsssm ak n lösning. Om a, användr vi Gassmodn: Om a har vi ssm saknar lösning ssm har oändlig många lösningar Om vi bcknar. Svar: i oändlig många lösningar om a ii ak n lösning om a ± iii ingn a - Rä bräknad drminan p. - Rä mod och slsas för rspkiv dl gr p. Uppgif. p raka vå plan som bskrivs av kvaionrna z och z. a p säm skärningslinjn mllan d vå plann. b p säm vinkln α mllan plann. Vinkln mllan plann skall ligga i inrvall π α. Svara md hjälp av arccos. a z z z E E z Om vi.. väljr har vi från sisa kv. z och därfr från dn försa kv. z 7 6 Skärningslinjn har kvaionn,, z 7 6,, nmärkning. Svar kan angs på många kvivalna sä.

5 b π Nora a vi sökr dn vinkl mllan plann som liggr i inrvall α därmd är cos α ick-ngaiv al dvs. cos α. Vkorn n,, är normalvkor ill försa plan. ör andra plan väljr vi dn vkor bland ±,, som gr ick-ngaiv n n värd för cos α. n n Gnom a välja n,,,, har vi n n cos α och därmd a arccos. n n lrnaiv svar: a π arccos. 6 Svar a,, z 7 6,, b a arccos. 6 z a Rä ill gr p. ll korrkp. z n n b räkning av ± gr p. Korrk svar md korrk ckn p. n n 6 Uppgif. p En riangl har sina hörn i pnkrna,,,,, och,,. a p säm kvaionn för d plan som riangln liggr i. b p räkna koras avsånd från da plan ill origo. En normalvkor ill plan är n. Efrsom,,,, har vi i j k m i j 5k,,5. Vi väljr n,, för nklhsskll. Plans kvaion är z llr z. b vsånd d från pnkn P,, z ill plan z D är z D d. I vår fall P,, och plan gs av z. Därför d. 5

6 Svar: a z b 5 d a Rä rck för n normalvkor n llr kvivaln p Korrk bräkning av vkorprodkn p ll korrkp. -p om likhsckn saknas i plans kvaion allså, ma p i da fal b Rä llr fl. Uppgif 5. p a p Lös mariskvaionn md avsnd på där,,. b p Lös mariskvaionn N MY md avsnd på Y där, N M. Tips. Nora a M in är invrrbar. a smbolisk lösning md marisr Därmd: b N MY Efrsom M in är invrrbar mås dnna mariskvaion lösas lmnvis. Vi sär Y, där och är rlla al. om kvaionns båda ld ska vara dfinirad och lika mås Y ha pn Ena kvaionn fallr bor. D blir n paramrlösning: Sä :

7 Därmd Y. Svar: a b Y a Korrk ill gr p ll korrkp. b Kommr fram ill gr p. ll korrkp. Uppgif 6. p Tr krafr, och vrkar i pnkn P,,. Lå TOT : a psäm dn oala momnvkorn TOT OP M md avsnd på origo O,,. b p säm också vridmomn. Tips: vridmomn M. TOT,,,,,, OP 8,, 8 z z TOT OP M 8 8 8,, M Svar: a 8,, M b 8 M a och b rä llr fl

8 Uppgif 7. p visa a om och ndas om vkorrna och är vinklräa mo varandra. ska visas. Enlig dfiniion av skalärprodk gällr: θ cos v v där θ är vinkln mllan och v Då gällr följaklign: cos för n godcklig vkor. i na förs a. Då gällr. Därför. Omvän, om vi anar a så gällr, d.v.s. llr. V.S.V. visar korrk ndra av implikaionrna, mn j kvivalnsn p. ll korrkp.