KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))"

Ingrid Bergman
för 6 år sedan
Visningar:

1 Kurvor på parameerform KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3 P=xyz T=x y z r=xyz En kurva i R 3 anges ofas på parameerform med re skalära ekvaioner: x = f 1, y = f, z = f 3, D R * För varje får vi en punk på kurvan P = f1 f f3 Omvän en given punk P a1, a, a3 ligger på kurvan * om och endas om de finns = så a a = f, a = f och a = f Man kan ange kurvan * med en vekor ekvaion r = f1 f f3, D eller ekvivalen x f y = f z f 1 3 eller x, y, z = f f f och även koras r = r 1 3 Med andra ord: Vi definierar en kurva i R 3 med hjälp av re reellvärda funkioner av en variabel eller ekvivalen med en vekorfunkion av en variabel Definiionsmängden D är vanligen e inervall på reella axeln DERIVATAN OCH INTEGRAL Derivaan och inegral av en vekorfunkion av en variabel r = f1 f f3 beräknas koordinasvis Derivaan av r = f f f är r = f f f Inegral av r = f1 f f3 är r d = f d, f d, f3 d 1 Exempel: Om r = sin cos5 då är 1 av 1

2 Kurvor på parameerform derivaan r = cos, sin,5 cos sin inegral r d =,,5 ===================================================== TANGENTEN En vekor som är parallell med angenlinje ill kurvan r = r i punken P = f f f är r = f f f HASTIGHETSVEKTOR, FARTEN OCH ACCELERATIONSVEKTOR Om r = r visar posiion vid iden, för en parikel som rör sig i rymden, då är vekorn r lika med hasighesvekorn v dvs v = r = f 1, f, f 3 Parikelns faren är då v = f 1 + f + f 3 Acceleraionsvekorn = v = r = f f f 1 3 LÄNGDEN AV EN KURVA Lå s beeckna längden av den del av kurvan som ligger mellan punkerna A och B Om kurvans ekvaion är given på paramerisk form i R 3 rumme x = x, y = y och z = z, A B där och A B är värden på som svarar mo punkerna A och B då gäller B A s = [ x + [ z d Om längden av kurvan som svarar mo inervalle [ A, ] där varierar mellan A och B har vi s = [ x u] u] + [ z u] du, sam A s ' = [ x + [ z och differenialen av 1

3 Kurvor på parameerform ds = [ x + [ z d II Formeln för D rumme for vi genom a beraka z= Allså, om kurvans ekvaion är given på paramerisk form x = x, y = y då gäller B s = [ x d A där AA och BB är värden på som svarar mo punkerna A och B För längden av kurvan som svarar mo inervalle [ A, ] där varierar mellan A och B har vi s = [ x u] u] du, sam A s ' = [ x och differenialen ds = [ x d Anmärkning: Om kurvan i R ges på explici form y = yx då kan vi beraka x = och därför x '= 1 Då får vi den kända formeln från envariabelanalis s = 1+ [ y x] dx ÖVNINGAR Uppgif 1 Vi berakar kurvan r = +, 1+, sin Lå P vara den punk på kurvan som svarar mo = som a Besäm en vekor som är parallell med angenlinje i punken P b Besäm angenlinjens ekvaion i punken P Lösning : a Vi beräknar T = r = 1,, cos Om = har vi en riknings vekor för angenlinjen T P = 1,, 1 b Tangenens ekvaion i punken P =,1, blir då: x 1 y = 1 + z 1 x x1 3 av 1

4 Kurvor på parameerform Uppgif Lå r = 4sin, 4cos, cos, 4π vara posiionen vid iden, för en parikel som rör sig i rymden Besäm a Hasighesvekorn, acceleraionsvekorn och faren vid iden b För vilka, 4π är faren sörs/ mins Besäm farens sörsa / minsa värde inom definiionsinervalle a Hasighesvekorn v dvs v = r = 4cos, 4sin, sin Faren = r = 16cos + 16sin + sin = 16 + sin Acceleraionsvekorn = a = v = r = f f f = 4sin, 4cos, cos 1 3 b Efersom sin 1 ser vi a farens sörsa värde är 17 om sin = 1 som är uppfylld för följande -värden inom definiionsinervalle = π /, = 3π /, = 5π / och = 7π / 4π : Farens minsa värde är 16 om sin = som är uppfylld för följande -värden inom definiionsinervalle =, = π, = π, = 3π och = 4π 4π : Uppgif 4 En kurva är given som skärningskurvan mellan vå yor x + y + z = 5 och x + y xy = 1 Besäm kurvans ekvaion på parameerform Vi beecknar x = Från andra ekvaionen har vi 1 + y y = 1 y = = 1+, 1 Insäning i försa ekvaionen ger 4 av 1

5 Kurvor på parameerform z = 5 x y = 5 1 = 4 Svar: r =, 1+, 4 Uppgif 5 En kurva är given som skärningskurvan mellan vå yor: x + y + 4 z = 4och x + 4y = 4 Besäm kurvans ekvaion på parameerform Andra ekvaionen 4 x + y = x 4 som kan skrivas + y = 1har endas vå variabler och 4 beskriver en ellips i R Vi parameriserar ellipsen genom x x = cos, y = sin då gäller + y = 1 4 Från försa ekvaionen har vi då 1 z = 4 x y / 4 z = 4 cos sin 4 dr Uppgif 6 Lå r = x y z Lös differenialekvaion = 5r, r = 1,,3 d, där r = x y z Lå r dr = Vi skriver = 5r och r = 1,,3 på skalärform: d Vi har x y z = 5 x y z och x, y, z = 1,,3 Med andra ord har vi re enkla skalära differenialekvaioner: x = 5x x = 1, y = 5y y =, z = 5z z = 3 Lösningar för var och en ekvaion, får vi ex med den karakerisiska ekvaionen eller med variabelseparaion x 5 = 1e, y 5 =, e z 5 = 3e Härav r = 1e,e,3e = e 1,,3 5 av 1

6 Kurvor på parameerform 5 Svar: r = e 1,,3 Anmärkning : Om vi inför en ny parameer 5 e = u u och r u = u1,,3 då är >, u > Med andra ord är r u = u1,,3 en sråle hälfen av den räa linjen som går genom origo och har en rikningsvekor 1,,3 Uppgif 7 Beräkna längden av 3D-kurvan på paramerisk form xx = 4cccccccc, yy = 4ssssssss, zz = 3 då 4ππ BB BB ss = [xx ] + [yy ] + [zz ] dddd AA ss = [xx ] + [yy ] + [zz ] dddd = [ 4 sin ] + [4cos ] + [3] dddd = AA Svar: s = ππ 4ππ 16[ ssssss + cccccc ] + 9 4ππ 4ππ dddd = ππ dddd = 5 dddd = ππ Uppgif 8 En så kallad asroidkurva beskrivs definieras av 3 3 x = a cos, y = asin, π, a > Besäm asroidens omkres s = 4 π / [ x d 6 av 1

7 Kurvor på parameerform = 4 = 4 = 4 π / [ 3a cos sin ] + [3a sin π / 4 9a cos sin + 9a π / sin 9a cos sin [sin + cos 4 cos cos d d Noera a sin + cos = 1 sam a sin och cos är i försa kvadranen π / sin π / = 1a cos sin d = 1a = 6a Svar: 6a =================================================== d KURVOR I R EXPLICIT FORM y = f x IMPLICIT FORM F x, y = PARAMETERFORM r = x y Några ofa förekommande elemenära kurvor 1 Cirkeln med radien r=a och cenrum i punken x, kan anges på : y i x = a x + y y IMPLICIT FORM ii x = x + a cos, y = y + asin π PARAMETERFORM iii eller med vå ekvaioner på EXPLICIT FORM som vi får genom a lösa i på y : x x y y + y y = ± a = a x x y y y = y = a ± x x a x x Där och y = y är en ekvaion för övre halvcirkeln + a x x y = y är en ekvaion för nedre halvcirkeln a x x Ellipsen med halvaxlar a,b och cenrum i x, kan kan anges på : y 7 av 1

8 Kurvor på parameerform x x y y i + = 1 a b IMPLICIT FORM ii x = x + a cos, y = y + bsin π PARAMETERFORM iii eller med vå ekvaioner på EXPLICIT FORM som vi får genom a lösa i på y : y = y x x ± b 1 y = y ± a x x a b a 3 En kurva på explici form y = f x, kan enkel parameriseras genom a välja x =, och därmed y = f Då blir r =, f Uppgif 9 Beskriv med ord och ria kurvan y = 5 4 x 4 y = 5 4 x 4 y 5 + x 4 = 4 Vi ser a varje punk på kurvan saisfierar också cirkelns ekvaion men de beyder ine a varje punk på cirkeln saisfierar kurvans ekvaion; cirkeln kan ha flera punker än kurvan och därmed är kurvan en del av cirkeln x 4 + y 5 = 4 Cirkelns ekvaion leder ill TVÅ explicia ekvaioner y = 5 ± 4 x 4 som svarar mo övre/ nedre halvcirkeln Vår kurva 4,5 och radien y = x är nedre halvcirkeln med cenrum i r= C4,5 TANGENTLINJE OCH NORMALLINJE I R 4 Lå r = x y En rikningsvekor ill kurvans angenlinje i punken P är T = r ' = x' y' För en normalvekor bland oändlig många ill kurvan r = x y kan vi välja då 8 av 1

9 Kurvor på parameerform n = y' x' efersom T n = n T Anmärkning: För en given vekor u = a, b kan vi välja på e enkel sä en bland oändlig många normalvekor: n = b, a För dea val blir skalärproduken u n = ab + ab = Uppgif 1 Besäm ekvaioner för angenlinje och normallinje ill kurvan y + 3 = x x i punken 1,3 Vi beecknar 3 x = Då är r =, + kurvans ekvaion på parameersform Vi beräknar r ' = 1, + 3 och r '1 = 1, 5 Vekorn T = r '1 = 1, 5 är parallell med angenlinje i punken 1,3 Tangenlinjens ekvaion blir då x, y = 1,1 + s1, 5 För en normalvekor kan vi använda ex n = 5,1 vekorn T, då blir nt = Vi ändrar plas och ecken i Normallinjens ekvaion är därför x, y = 1,1 + s 5, 1 5 Om en kurva i R är given på IMPLICIT FORM F x, y = kan vi med följande formel n = F x ', Fy ' beräkna en normalrikning ill kurvan i en given punk P 9 av 1

10 T = F y F Då är ', ' x angenlinje i punken Kurvor på parameerform en vekor bland oändlig många som är parallell med Uppgif 11 a Besäm ekvaioner för angenlinje och normallinje ill ellipsen x + 3y = 7 i punken P,1 b Ange angenlinjens ekvaion på explici form a Den här gången implici form är de enklare a beräkna en normalvekor ill kurvan i punken P Vi skriver ekvaionen på formen F x, y =, dvs x + 3y 7 = och använder formeln n = F x ', F ' y I vår fall är F x, y = x + 3y 7, F x '= x, ' P = 4 F x F y '= 6y, ' P = 6 F y Därför en normalvekor i punken P är n = 4,6, [Vi kan även använda en parallell vekor n =,3 1 ] För en vekor bland oändlig många som är parallell med angenen kan vi ex välja T = 3, Nu har vi: Tangenlinjens ekvaion: x, y =,1 + s 3, Normallinjens ekvaion: x, y =,1 + s,3 Svar: Tangenlinjen: x, y =,1 + s 3, Normallinjen: x, y =,1 + s,3 b För a ange angenlinjens ekvaion x, y =,1 + s 3, på explici form eliminerar vi parameer s ur x = 3s, y = 1+ s x = 3s s = x / 3 Dea insäes i y = 1+ s y = 1+ x / 3 y = 7 / 3 x / 3 Svar b y = 7 / 3 x / 3 1 av 1

Relevanta dokument

KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R 3. En kurva i R 3 beskrivs anges oftast på parameter form med tre skalära ekvationer:

Amin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kuvo på pmeefom KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R En kuv i R beskivs nges ofs på pmee fom med e sklä ekvione: x = f, y = f, z = f, D R * Fö vje få vi en punk på kuvn