INSTUDERINGSUPPGIFTER

Transkript

1 INSTUERINGSUPPGIFTER essa ppgifer skall hjälpa dig vid inlärningen de skall fngera som e slags diagnosisk prov: (hr bra) kan d redan de vi har gå igenom den gångna veckan? Försök förs a lösa ppgiferna hemma ("hemmappgifer" på schema) skriv ner dina lösningar på e bra sä a med dem ill räknesgan och diskera dem i smågrpp: är lösningen korrek? fllsändig? bra nerskriven? omsändlig? är alla använda begrepp/saser klara? e vikigase är ine a d har en korrek lösning an a d jobbar med ppgiferna! iskera även föreläsningarna repeiionsfrågorna (de liknar eorifrågorna på enan) och eraövningarna Unja övningsledaren! Tänk på a d måse räna a formlera dig a skriva ner en lösning på e accepabel sä Uppgiferna är eller liknar ena-ppgifer Gå igenom de medföljande lösningarna (kriisk) men förs efer de a d har försök Insderingsppgif (derivaa gradien) sin då a) Är fnkionen f ( ) pariell deriverbar resp differenierbar i origo? då + + z b) Lå F( sin( e ) + e I vilken rikning avar F snabbas i origo? Ange en ekvaion för angenplane ill nivåan Y: F ( i origo förs direk (med F ) sedan genom a beskriva Y som en fnkionsa z f ( ) nära origo Insderingsppgif (kedjeregel invers fk) a) Lå arcan ( ) v för ( ) {( ) : > > } Visa a illordningen ( ) ( v ) är lokal bijekiv i varje pnk i b) Besäm för ( ) {( ) : > > } en lösning z( ) ill probleme ( E ): z z och z ( ) b) genom a övergå ill koordinaerna v från a) b) genom a besämma en karakerisisk koordina ill (E) (lv7) Insderingsppgif (ma-min-problem) a) Besäm alla saionära pnker ill f ( ) ln + ln + b) Besäm värdemängden ill fnkionen f ( ) och deras karakär + f IR + flervariabelanals F (7/8)

2 Insderingsppgif (dbbelinegral rippelinegral) a) Beräkna volmen av den kropp som begränsas nedå av konen z + och ppå av sfären + + ( z ) ( glassmängden ) b) Beräkna ( e + ) e dd då är de område i försa kvadranen som begränsas av krvorna e e cosh och cosh c) Beräkna volmen av kroppen d) Beräkna den oala massan av kroppen + densie är ρ ( + + z e) Beräkna IR + ( + + z ) { z : z + } dddz { z : z } då dess Insderingsppgif 5 (vekoranals i plane) a) Lå + + FI ( + ) ( + ) Visa a FI är konservaiv i I R och beräkna de arbee som I F räar då en e cos parikel förflas längs spiralen C : e sin b) Beräkna krvinegralen arcan d arcan d där C är den posiiv orienerade C randen ill de område i försa kvadranen som begränsas av krvorna + + Insderingsppgif 6 (vekoranals i rmme) A) Lå I F + + z + z a) Beräkna flöde av I F bor från origo genom an z b) Beräkna flöde av I F genom sfären + + z c) Visa a I F är e konservaiv och besäm en poenial ill I F d) Beräkna d där C FI r : ( 5 ) + + C 8 flervariabelanals F (7/8)

3 + z ( e ) + + z B) Lå cos( + + z ) + ze cos( + + z ) FI + a) Visa a IF har en vekorpoenial (an a beräkna en sådan) b) Besäm en vekorpoenial ( p( q( ) ill IF c) å krvan z arccos roerar kring z aeln ppsår en roaionsa S; beräkna flöde av IF ppå genom S med Sokes sas resp an Sokes sas EXTRAUPPGIFTER Visa a för posiiva reella al z gäller z a ( )( + )( ( + a) E plåkärl har formen av e räblock Plåen i boenan kosar öre/cm och i de övriga fem sidorna öre/cm Vilka må skall kärle ha för a rmma maimal volm då den oala plåkosnaden ppgår ill 6 öre? I vilka pnker på ellipsoiden : ( ) + + z 6 Y är de elekriska fäle sarkas resp svagas då den elekriska poenialen i pnken ( är Φ ( + 6 z (d skall allså besämma de pnker på Y i vilka gradφ ( anar si sörsa resp si minsa värde) roppen begränsas av -plane och an z Genom borras e clindrisk hål med z-aeln som borrael och radien R Besäm R så a den åersående kroppen har hälfen så sor volm som (borborrad massa kvarvarande massa) 5 Beräkna e dd då är försa kvadranen i -plane 6 För vilken enkel slen C -krva C räar kraffäle ( + 6 ) de sörsa arbee då en parikel förflas e varv mors längs C? 7 Beräkna arean av område inom öglan av krvan C : IR (escares blad) Beräkna de arbee som kraffäle ( + e + + e ) + räar ill längs krvan sin då en parikel förflas från ( ) 9 Beräkna ( + z + z) dddz där Ω {( : z + + z } Ω direk resp med Gass' sas [ledn: + z + z div( z z ) eller + z + z div( z z z ) ] ( Beräkna ln sin d [ledn: visa a ) ln( + psin ) d ln + p ] flervariabelanals F (7/8)

4 svar ill erappgiferna: cm cm cm sörs i ( ) ± mins i ± ( ) R ellipsen C: (hela lösningen finns på sid ) e 9 Lösningsförslag ill insderingsppgif f ( h) f ( ) a) f är pariell deriverbar i origo f ( k) f ( ) k k då k h då h och h allså f ( ) f ( ) koninerlig i origo e går f ( ) ej mo ( ) sin( ) f då går mo : Men f är ej f ( ) då ( ) ( ) de medför a f ine är differenierbar i origo differenierbarhe medför j koninie! b) Svaren fås med gradienvekorn: + + z + + z + + z gradf( ( e cos( e ) + e e cos( e ) + e e ) allså är grad ( ) ( och vi får: F avar snabbas i rikningen och angenplane F ) har ekvaionen grad F ( ) ( z ) allså + + z Vi kan också lokal kring origo lösa z : e + + z sin( e ) z ( ln( sin( e )) ) f ( ) och angenplane fås n som z f ( ) + f ( ) + f ( ) där grad ( ) e cos ( ( e ) e cos( e f ) ) sin e sin e allså gradf ( ) ( ) och de ger samma svar som ovan Lösningsförslag ill insderingsppgif a) v v och v är C i inversa fnkionssasen ger påsående b) z z ( z + z v ) ( z + z v ) z + z vz v v v v! denna differenialekvaion har den allmänna lösningen z ( v) ln v + g( ) ( g en god C -fnk) dvs (back o ): z( ) ln + g( arcan( ) ) ln ln + f ( ) ( f en god C -fnk) N skall z f de ger f ( ) och svare z ( ) ln ln + b) arakerisikor ill ( E) : a( ) z + b( ) z c( är lösningar ill separabel diffekv ln ln + k v k; med v och e blir b ( ) a ( ) :! z z ( z z v ) ( z + z v ) z z z( v) ln+ g( v) allså z( ) ln + g( ) g() ln z( ) ln + ln ( ) ln ln + (so) z flervariabelanals F (7/8)

5 Lösningsförslag ill insderingsppgif a) f + ( + )( ) f + de ger de saionära pnkerna ( ) och ( ) eras p avgörs (ev) mha den kvadraiska formen Q( h k) f h + f hk + f k : f ( f ) f ; i pnken ( ) : Q ( h k) h ) + hk k k h + k är negaiv defini i pnken ( ): Q ( h k) h + hk k ( h k) + k är indefini därmed är svare: ( ) : lokal maimipnk och ( ): sadelpnk b) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) f (sbrahera!) de ger de saionära pnkerna f ( ) och ( ) med f och f ( ) Om vi räknar med polära r cosϕ + r sinϕ koordinaer så ser vi a f ( ) < r < 5 då r 5 r r r På den kompaka cirkelskivan Ω : + 5 (e) anar den koninerliga fnkionen f e minsa och e sörsa värde (sas sid ) och måse göra de i de inre av Ω ( på randen är f < ) allså i en saionär pnk ( f är ) men de enda möjliga pnkerna är C och ( ) (som vi visa ovan) allså är de minsa värde som f anar och de sörsa värde som f anar Efersom I R är bågvis sammanhängande och f koninerlig så anar f V f även alla värden mellan och (somv sas 6 sid ) Svare är därmed [ ] ANM: I linjär algebra visas a för en kvadraisk form Q ( h k) Ah + Bhk + Ck gäller: Q är posiiv defini negaiv defini indefini A B B C AC B > > < och och A > A < A egenvärdena ill B alla > B är alla < C e > e < A B A λ B [egenvärdena ill är röerna ill polnome de sisa gäller för god dim] B C B C λ an i ppg a) an i ppg b) flervariabelanals F (7/8) 5

6 Lösningsförslag ill insderingsppgif a) Beräkna förs snie mellan konen och sfären aningen genom a säa in 5 5 i sfären de ger + ( z ) z 8 z z + z (konen) z eller genom a säa in z + r (konen) i sfären de ger r + ( r ) r r r 5 5 roppen ( : ( ) + z med : + har då volmen { } ( ) ( + ) dd ( + ) d d m [pol koord] ( r r) r dr dϕ ( r + r r r ) dr r ( r ) r ( ) cosh b) Gör variabelsbsiionen då avbildas på ': fnkionaldeerminanen v e v sinh cosh e e är ( sinh + cosh ) d ( ) ( > ) v v e e allså blir d ( v ) e e + e d d d dv [ e + e ] e + e + ' d dv v [ ln v] [ ] ln ln ln + c) roppens volm är dddz dz dd ( + ) dd område : [pol koord] ( sinϕ) dϕ dr ( ) r + d) roppens massa är ρ ( dddz dz dd + + z [ dz ln + + z ] ( ) + + z + ln ln + d d [ ( ) ] + ln ln d ln ln ( )d e) Välj som ömmande följd ellipsoiderna : + + z n : I n n r sinθ cosϕ dddz med r sinθ sinϕ + z z r cosθ + n r n blir n : θ ϕ flervariabelanals F (7/8) 6

7 n [ ] [ n arcan n 6 r sinθ dr dθ dϕ cosθ arcan( r )] därmed fås r RI dddz lim I n svar: ( + + z ) n 6 Lösningsförslag ill insderingsppgif 5 a) "Uppäck" a FI är konservaiv aningen genom a visa ( ) ( + ( + ) ) + ( + ) eller genom a besämma en poenial Φ : + Φ Φ ( ) ln( ( + ) ) arcan( + ) + f ( ) f dger ( + ) ( + ) Arbee kan då beräknas som "poenialskillnaden" Φ e Φ ln e ln5 + arcan + arcan e 6 9 ( eller genom a välja en enklare väg ( FI är e arbee är då C överall) e sräckan längs -aeln: ( e ) e d + e [ ln( ) arcan( ) ] ln( e ) ln5 + arcan arcan( som ovan krvan är en spiral: b) Narligvis använder vi Greens formel ( FI P( ) Q( ) arcan arcan är C i en öppen mängd som innehåller område som delmängd orieneringen (posiiv mors) är den räa; värr är FI ej konservaiv (då vore krvinegralen längs noll): Område : P d + Q d Q P d d d d pol koord ( ) [ ] + + r sin ϕ ( ) r dr dϕ [ cosϕ r ϕ] r r ln (( ) ( ) ) dr r dr flervariabelanals F (7/8) 7

8 Lösningsförslag ill insderingsppgif 6 A) a) Yan Y är den "högre hemisfären" + + z Paramerisering av Y (e ( θ ϕ) ( sinθ cosϕ sinθ sinϕ cosθ ) θ ϕ ) sklle leda ill besvärliga inegraler Men om vi lägger ill an : + z i z-plane så är Y begränsningsa ill kroppen : + + z (normalen å!) och vi kan använda Gass' sas: IF n ds IF n ds + IF n ds div FI dddz ( + dddz Y Y Gass z n d ddz på allså IF ds + IF ( ) ds ( + Y IF ds z ddz Y ( + z ) n [pol koord] ( r cosϕ + r sinϕ) r r drdϕ r r dr ( ) [ ] r b) N kan d använda Gass direk: an Y : + + z är rand ill kloe med radien allså är IF n ds div FI dddz ( dddz + Y Gass Forsä som ovan (då inser d direk a d får e dbbel så sor flöde) eller räkna med rmdpolära koordinaer: ( + dddz ( r sinθ cosϕ + r cosθ ) r sinθ drdθdϕ ( r sinθ + r sin θ drd [inegrera n map 8 ) θ ] dr 8 θ 6 [inegrera förs map ϕ ] r c) Räkna ro FI ( ) de ger a I F är konservaiv i I R En poenial får vi genom a lösa differenialekvaionen grad φ IF : φ + φ( + + ϕ( φ + z + ϕ ( ϕ( z + g( φ( + + z + z φ z + z ϕ z ( ) + g ( g( z ärmed har vi narligvis än en gång visa a I F är konservaiv d) rvinegralen är då enlig c) ("arbee poenialskillnad"): FI dr φ( r ( )) φ( r ( ) ) φ( 5) φ( ) 5 C flervariabelanals F (7/8) 8

9 Lösningsförslag ill insderingsppgif 6 B) a) div sin( ) + + z sin( z IF z ze z ) ze allså har IF en vekorpoenial b) Sök A ( p q) så a roa ( q pz q p ) FI dvs + + z q pz cos( + + z ) + ze q( sin( + + z ) + ( q cos( + + z ) + + z p( e + v( p e + + z + + z + + z q p z cos( + + z ) + + ze v z cos( + + z ) + ze + + z v ; välj v e ger oss då A e sin( + + z ) z c) Flöde är F FI nds (n "ppå"!) S Beräkning med Sokes sas: F roa nds A dr ( d + pd + qd S S S z dz cosϕ ϕ : : + mors sinϕ d cosϕ d S ϕ e ϕ ( ϕ ) ϕ ϕ ( + cos e cos d cosϕ) dϕ cos Beräkning an Sokes sas: Efersom FI nds FI nds + FI ( ) dd [ Gass!] S s divfi dddz [ S ] så gäller [ med : + ] : + ( ) ( ) + F FI nds FI dd e dd e dd [pol koord] S r r e cosϕ drdϕ svar: A + + z sin e ( + + z ) flöde är Anm: kan beräkna F direk: Y är fnkionsan arccos ( ) och ( ) z + (pol koord)! Y F IF z z dd an S i c): flervariabelanals F (7/8) 9

10 ANMÄRNING : områden som ges i polära koordinaer Lösning ill erappgif 7: Allmän: E område i -plane som beskrivs med polära koordinaer av α ϕ β r f ( ϕ ) blir i ϕ r plane ': För arean av fås då formeln som vi känner redan från inledande anals (f anas vara C ): m ( ) d d [ koord ] β f ( ϕ ) r dr dϕ r dr dϕ ' α β α ( f ( ϕ ) ) pol dϕ sinϕ cosϕ E: escares ögla har den polära framsällningen r ϕ [ sin ϕ + cos ϕ 9 9 allså ( ) ϕ dϕ [ ] cosϕ sinϕ sin ϕ + cos ϕ an ϕ an ϕ + cos ϕ an ϕ d (generaliserad inegral!) ] dess area är Men n har d lös ppgifen med Green försås: ( ) d + d d d : 9 d Green d d + d d ( ) ( ) ( ) ( ) + Lika bra går d d d eller (enklas?) d d ( ) d + d o i! flervariabelanals F (7/8)

11 ANMÄRNING : roaionsor å krvan C: f ( ) a b roerar kring -aeln resp kring -aeln alsras en roaionsa Y som har parameerframsällningen (C anas vara C ) ( ) Y: r r ϕ f cos ϕ f sin ϕ a b ϕ (kring -aeln) resp Y: r( ϕ) ( cos( ϕ) f ( ) sin( ϕ) ) a b ϕ r (kring -aeln) a) Moivera dea och beräkna areaelemene av Y och arean av Y i båda fall b) Samma ppgif då krvan ges av C: r r ( ) ( ( ) ( ) ) a b c) Beräkna arean av den roaionsa som ppsår då krvan arccos( ) + roerar kring -aeln resp kring -aeln d) En ors bildas då cirkeln ( a) + b < b < a roerar kring -aeln Beräkna dess area (jmf ö 87) svar: a) ds f ( ) ( f + ( ) ) ddϕ m( Y ) d (kring -aeln) b b a ds + ( f ( ) ) ddϕ m( Y ) d (kring -aeln) [med f ( ) ] b) ds ds resp c) a ds ds m( Y ) ds resp m( Y ) ds c [ ds + d ; obs: krvan skall ligga i försa kvadranen; a) är e specialfall av b)] 8 ( ) d) ab resp c flervariabelanals F (7/8)