Frekvensanalys. Systemteknik/Processreglering Föreläsning 8. Exempel: experiment på ögats pupill. Frekvenssvar. Exempel:G(s)= 2

Transkript

1 Frekvensanals Frekvenssvar Ssemeknik/Processreglering Föreläsning 8 Bode- och Nqisdiagram Sabilie och sabiliesmarginaler Läsanvisning: Process Conrol: Frekvensanals Sdera hr ssem reagerar på signaler i olika frekvensområden Exempel: Lassörningar mes låga frekvenser Mäbrs höga frekvenser Om sseme är linjär så kan man sdera svare för varje frekvens separa Sins in sins Kan.ex. användas för a a fram överföringsfnkioner experimenell (ssemidenifiering) Exempel: experimen på ögas ppill Upprepade experimen för olika frekvenser: ain. Experimenal daa. Linear model... Phase 4 Freqenc [L. Sark, 99] Linjär modell(s)=.7 (+.8s) 3 e.s anpassad ill daa 3 4 Frekvenssvar () () (s) ()=sinω ()=asin(ω+ ϕ) a= (iω) ϕ=arg(iω) (iω) frekvensfnkion (iω) försärkning (gain), amplid, magnid arg (iω) fasförskjning (phase shif), fas ω=: ω=: ω=3: Exempel:(s)= s+ 6

2 Räkneregler för komplexa al z z = z z, z=x+i z = x + argz=arcan x z z = z z (omx>) argz z =argz +argz, arg z z =argz argz Exempel:(s)= s+ (iω)= iω+ (iω) = ω + arg(iω)= arcan ω ω (iω) arg(iω) Bodediagram Ria (iω) ocharg(iω) som fnkioner av ω Amplidkrvan (iω) rias i log-log-skala Faskrvan arg (iω) rias i log-lin-skala (MATLAB-kommando: bode) Phase (deg) Magnide (abs) Exempel:(s)= s+ Bode Diagram 9 Freqenc (rad/sec) 9 Miniproblem Tpssem i formelsamlingen Avläs i Bodediagramme: Hr mcke försärks och fasförskjs insignaler med frekvensen rad/s? Hr mcke försärks och fasförskjs konsana insignaler? +st, +st e sl ω s +ζ ω s+ ω reell pol, reell nollsälle idsfördröjning komplex polpar (Ni behöver ej knna ria Bodediagram för hand, s i Process Conrol.)

3 (s)=(+st), +st T= (s)=e -sl L= 9 9. Radianer/s. Radianer/s En pol is= T böjer ner amplidkrvan och sänker faskrvan med9 vid ω= T ; omvän för e nollsälle En idsfördröjning sänker faskrvan exponeniell men påverkar ine amplidkrvan 3 4 Nqisdiagram Ria krvan(iω) i komplexa alplane då ω går från ill arg (iω) (iω).6.8 E oscillaiv ssem med lien dämpning ζ har en sor resonansopp vid egenfrekvensen ω i amplidkrvan Imaginar Axis.. Exempel:(s)= s+ Nqis Diagram..... Real Axis Sabilie för åerkopplade ssem () () (s) z() Anag a öppna sseme (s) är sabil ()=sinω ()= (iω) sin ( ω+arg (iω) ) z()= (iω) sin ( ω+arg (iω)+ π ) 7 8

4 Omz()=() så ppsår en sabil självsvängning i kresen när braren slås om. Dea händer om (iω) = arg (iω)= π Nqiskrvan för (s) går genom pnken Nqiss sabiliessas () Σ (s) () Anag a öppna sseme (s) saknar poler i höger halvplan. De slna sseme är asmpoisk sabil om man går efer krvan (iω) från ω= ill ω= och finner a pnken hamnar ill vänser om krvan. 9 Exempel Harr Nqis ( ) Född i Nilsb, Värmland Karriär i USA Univ. of Norh Dakoa Yale Universi AT&T Bell Laboraories Tre vikiga resla: Nqiss sabiliessas Johnson Nqis-brse Nqiss samplingssas a) sabil, b) insabil, c) sabil, d) insabil Sabiliesmarginaler Amplidmarginalen anger hr mcke försärkningen kan öka an a slna sseme blir insabil: Amplid- och fasmarginal i Nqisdiagramme.8 Lå ω vara den minsa frekvens därarg (iω )= 8 Amplidmarginalen ges då ava m =/ (iω ) (Tpiska marginaler:a m = 6) Fasmarginalen anger hr mcke fasen kan minska an a slna sseme blir insabil: Lå skärfrekvensen (cross-over freqenc) ω c vara den minsa frekvens där (iω c ) = Fasmarginalen ges då av ϕ m =8 +arg (iω c ) (Tpiska marginaler: ϕ m =3 6 ) /A m (ω o) ϕ m (ω c)

5 Amplid- och fasmarginal i Bodediagramme Försärkning ω c /A m (s)=.4 Exempel (s+3.73)(s+)(s+.679) Imaginar Axis.. Fas ϕ m ω o.4 Frekvens [rad/s] Real Axis 6 Avläsning av amplidmarginal: A m =.4 A m =4 Tolkning: Om man reglerar sseme med en P-reglaor kan försärkningen vara max 4 an a slna sseme blir insabil. 7