( ) ( ()) LTI-filter = linjärt, tidsinvariant filter. 0. Svaret skall ges utan -tecken. 2. Ett LTI-filter har amplitudkarakteristiken A( ω) =

Transkript

1 gamla eor maem me E, fk, del B (99) CTH&GU, maemaik Teame i maemaiska meoder, fk, delb, TMA98, , kl 85-5 Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, lämas illbaka efer skrivige)bea Ej räkedosa Telefo: OBS: Age lije och iskrivigsår sam am och persoummer på skrivigsomslage Age am och persoummer på varje iläma blad du vill ha räa! LTI-filer = lijär, idsivaria filer a) Beräka ( cosh () θ () ) ( cos ( ) θ( ) b) Beräka a θ () b θ, a,b IR \{ } ( ) ( ()) E LTI-filer har ampliudkarakerisike A( ω) = Svare skall ges ua -ecke + ω och faskarakerisike Φ( ω) = arcaω a) Besäm filres impulssvar och visa a filre är kausal och sabil Age filres illsådsekvaio b) Besäm svare på cos cos θ c) Besäm svare på () () d) Besäm svare på ( + ) e θ( ) (6p) (p) 3 a) Visa a filre är kausal och sabil Age filres illsådsekvaio π b) Besäm svare på cos cos π θ 3 E diskre LTI-filer har impulssvare h() = θ() c) Besäm svare på ( ) ( ) Lös probleme u u = u + u, < < π, < (,) = u( π,) = u(, ) =, u (, ) = (7p) 5 a) Visa δ b) Härled Placherels formler c) Visa f () F () s d) Vad meas med a e filer är idsivaria? (p) (p)

2 gamla eor maem me E, fk, del B (99) CTH&GU, maemaik Teame i maemaiska meoder, fk, delb, TMA98, , kl 5-85 Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, lämas illbaka efer skrivige)bea Ej räkedosa Telefo: OBS: Age lije och iskrivigsår sam am och persoummer på skrivigsomslage Age am och persoummer på varje iläma blad du vill ha räa! E lijär, idsivaria filer har segsvare ( cos ) e θ() a) Besäm filres impulssvar b) Visa a filre är sabil och kausal c) Besäm filres ampliudkarakerisik d) Besäm usigale då isigale är ( ) = cos e) Visa a för isigaler med ädlig eergi gäller E() y E() där y är svare på och E() = () d är eergi av f) Besäm usigale då isigale är () = 5 e θ( ) δ() E diskre filer har illsådsekvaioe ( ) + y( ) = ( ) ( ) a) Visa a filre är sabil b) Ria filres ampliudkarakerisik c) Besäm filres segsvar (dvs svare på ( ) π d) Besäm svare på cos ( ) e) Besäm svare på cos( π ) θ() y θ ) (p) (p) (p) (p) 3 Lös probleme u u = u, < < π, < π ( ) ( ) ( ), = u, = u, =, u (, ) = δ ( ) (6p) Vad är e disribuio? (p) 5 Visa faligssase för rasformer z rasform a 6 Visa e f () F( s + a), c ( ) X () c z jωt f ( T ) e fˆ ( ω) ( T RI ) och (p+p+p)

3 gamla eor maem me E, fk, del B (99) 3 CTH&GU, maemaik Teame i maemaiska meoder, fk, del B, TMA98, 998--, kl 5-85 Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, lämas illbaka efer skrivige)bea Ej räkedosa Telefo: OBS: Age lije och iskrivigsår sam am och persoummer på skrivigsomslage Age am och persoummer på varje iläma blad du vill ha räa! OBS: LTI-filer sår för lijär idsivaria filer, =, e, g) Visa a filre är sabil och kausal h) Besäm Hs () och h ( ω ) i) Besäm usigale då isigale är () = = cos π E LTI-filer har impulssvare h ( ) j) Besäm usigale då isigale är () ( ) y k) Lös för > probleme y () y() τ dτ = h(), ( ) = E diskre LTI-filer har överförigsfukioe Hz ( ) f) Visa a filre är sabil och kausal Age äve filres illsådsekvaio g) Besäm filres ampliudkarakerisik h) Besäm svare på si( π ) i) Besäm filres impulssvar ( z z ) = z (p) (p) u u u 3 Lös probleme u(, y) = u ( π, y) + yy =, < < π, < y =, (, ) = δ( ), lim u(, y) π = y (6p) Visa a θ = δ 5 Visa a e diskre LTI-filer är e faligsfiler 6 Visa θ( ) θ( ) z rasform z, och s z ( ) ( Ω) ( Ω ) jω e f f ω IR (p+p+p)

4 gamla eor maem me E, fk, del B (99) /CVGOCVKM %6*)7 Teame i maemaiska meoder E, fk, del B, TMA98, , kl Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, skall lämas illbaka efer skrivige) Bea Ej räkedosa Telefo: OBS: Age lije och iskrivigsår sam am och persoummer på skrivigsomslage Age am och persoummer på varje iläma blad du vill ha räa!!! Lös för > fukioera (), y (), z () ur syseme + y + z = y z = + y + z = () () (), =, y =, z = (6p) E kausal filer har illsådsekvaioe y + 3y + y = 3 a) Är filre sabil? b) Visa a A( ω) 3 och ria A ( ω ):s graf [ A( ω ) är filres ampliudkarakerisik ] c) Hur sor del av impulssvares oala eergi ligger i bade ω 3? d) Besäm usigale, då isigale är cos( ), resp cos( ) θ (), resp cos( ) ( ) e) Besäm e isigal, då usigale är e e ( ) θ [3p+p+p] ( ) θ (p) (8p) ( ) 3 Beräka e e ( ) θ Lös probleme u = u, < <, < u u u (, ) = (, ) =, (, ) = δ( ) + δ ( 3) (7p) 5 a) Visa a e lijär, idsivaria filer är e faligsfiler h b) Visa a f = f δ (p) 6 Defiiera disribuio och svag koverges

5 gamla eor maem me E, fk, del B (99) 5 CTH&GU maemaiska isiuioe Teame i maemaiska meoder E, fk, del B, TMA98, , kl 5-85 Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, skall lämas illbaka efer skrivige) Bea Ej räkedosa Telefo: OBS: Age lije och iskrivigsår sam am och persoummer på skrivigsomslage Age am och persoummer på varje iläma blad du vill ha räa!!! Lå f( ) = e θ ( ) ; lös för > probleme y + y y τ dτ = 9f, y = 3 (6p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Besäm f ( ω ), då f( ) = e θ ( ) cosaω+ ωsiaω d ω och + ω, och beräka med hjälp härav cosaω ωsiaω d ω + ω för a > 3 Lå f( ) = e θ ( ) ; besäm e fukio g så a ( ) f g = e E kausal filer h har överförigsfukioe s + Hs ( ) = ( s+ )( s + s+ ) a) Är filre sabil? b) Besäm e differeialekvaio, som är illsådsekvaio för filre E y E c) Visa a för isigaler med ädlig eergi gäller a () () ( ( ) = ( ) E d d) Besäm svare på si( ) e) Besäm svare på si( ) θ () är eergi av, y är svare på ) [Led: De förekommer e parialbråksuppdelig: Gör e korrek asäig med reella A,B,C,D,E och e korrek iversrasformaio med dessa koefficieer, ua a beräka dem ; besäm seda av dessa koefficieer mha d) (kommeera!) (p)] (p) (p) (6p) 5 Lös probleme u = u, < <, < u (, ) = u (, ) =, u(, ) = δ ( ), u (, ) = (7p) 6 c) Visa a e faligsfiler h är lijär och idsivaria jω d) Visa a e f () fˆ ( ω Ω)( Ω RI ) (p) 7 Defiiera disribuio och visa a δ=