Stången: Cylindern: G :

Transkript

1

2

3 mekaik I, A V H f mg G N B 3 d Frilägg cylider och de lätta ståge! Ståge påverkas av kraftparsmometet M samt kotaktkrafter i A och O. Cylider påverkas av kotaktkrafter i A och B samt tygdkrafte mg. Betrakta först cylider och iför f och N vid B! Iför kompoetera H och V vid A! Utyttja seda lage om verka och motverka för kraftera på ståge i A. O H Jämvikt fordrar för: Ståge: M V O : M H 4d V 3d = 0 () H V A 3d 4d Cylider: G : 3 d ( V f )= 0 () : H f = 0 (3) : N mg V = 0 (4) Eftersom gräsfallet mot glidig skall udersökas ka friktiosvillkoret f asättas direkt. Det sökta kraftparsmometet ges av (). = µ N Ekvatioera () - (3) ger H = V = f = µ N (5) Ekvatio (4) ger då N = mg µ (6) Isättig i ekv () ger M = µ N 4d+ µ N 3 d (7) M = 7µ N d (8) M = 7µ mgd µ

4 ) A E partikel med massa m rör sig på isida av e cirkelformad skea med radie som är fäst på yta av ett lutade pla med lutigsvikel. Partikel ges i de lägsta pukte A e tillräckligt stor fart v som möjliggör dess rörelse lägs skea. Ma observerar att ormalkrafte frå skea på partikel i A har halverats efter ett varv. Bestäm friktiosförlustera eller friktioskrafteras arbete då partikel har rört sig ett varv frå A och åter till A. Lösig ) Formulera kraftekvatioe i ormalriktige i A, N0 va e : m = N mgsi N A e va N = mgsi + m. Normalkraftera frå skea i börja och efter ett varv i A blir: mg v v N = mgsi + m, N = mgsi + m, mgsi där v = v och v är farte i A efter ett varv. ) Bestäm sambadet mella v och v. Vi har N = N, vilket ger v v mg si + m = mg si m v v gsi + = 3) Aväd lage om de kietiska eergi och beräka friktiosarbetet. Obs att tygkraftes arbete är oll frå A till A. Vi har: m U = T T= mv mv = m v gsi v v gsi = + 4 eftersom v = v

5 HE KTH Mekaik Uppgift 3: E kropp skjuts upp frå e plaet. Frå börja har de precis så stor hastighet v e att de just år oädlighete med farte oll. v e kallas flykthastighete. Atag att plaete är ett klot med massa M och radie. a) Beräka flykthastighete uttryckt i M och samt Newtos gravitatioskostat G. Atag u att e satellit avfyras med v e i e horisotell riktig frå e pukt på plaete. b) Vilke höjd h har satellite är de passerar i zeit 90 bort på plaete i avfyrigsrikige? Frå atmosfär och luftmotståd bortses. Ledig: I cyliderkoordiater ges baa vid cetralrörelse av r = l/( + e cos θ), där r är avstådet frå kraftcetrum och e kallas excetricitete. Vad måste e vara om r precis ka bli oädligt? h M Figur : Lösig 3: a) Eergis bevarade T + V = E ger oss i detta fall mv e GmM = m0 GmM = 0 där E = 0 följer av iformatioe om sluttillstådet. Ur dea ekvatio löser ma lätt: Svar a: GM v e = b) I uttrycket för baa ka excetricitete vara e = 0 vilket ger e cirkelbaa, eller 0 < e < vilket ger baor som ite ka å oädlighete, alltså ellipser. För e = ka oädlihete precis uppås (är θ = π). Alltså svarar e = mot e baa med flykthastighete vid plaetyta. Vid uppskjutige har ma då = r(0) = l/[ + cos(0)] = l/. Detta ger att l =. Vid 90 = π/ får ma då avstådet till r(π/) = /[ + cos(π/)] =. De sökta höjde h fås om subtraheras frå detta avståd. Alltså fås Svar b: h =

6 mekaik I, x kx S S Mg I figure har de två kroppara frilagts. Kroppara har samma fart eftersom tråde är oelastisk. Ma ka välja att starta med att skriva upp kraftekvatioe för vardera kroppe, me eftersom de maximala fjäderförkortige iträffar vid ett vädläge (då farte är oll), väljer vi här att börja med att skriva upp e eergiekvatio, förslagsvis lage om mekaiska eergis bevarade T + V = T0 + V0 () mx + Mx Mgx + kx = () Vädläge iebär att ẋ = 0. Isättig i ekv () ger då lösige x = 0 (startläget) och Mg de maximala fjäderförkortige x =. k örelseekvatioe, kraftekvatioe för hela systemet, fås om de två kraftekvatioera för partiklara adderas. Alterativt tidsderiveras eergiekvatioe (): vilket betyder att m xx + M xx Mgx + k xx = 0 (3) ( ) + = Svägigsekvatioe på stadardform blir M+ m x k x Mg (4) x + k M m x Mg = + M+ m (5) Jämförelse med teoris stadardekvatio x + ω x = kostat ger svägigstide τ π = = ω π M+ m k Vi ser att båda kroppara bidrar till tröghete. Svägigsekvatioe säger att acceleratioe är oll för "mitteläget" x = Mg /. k