SG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY

Transkript

1 Tentaen Lcka till! Tillåtna hjälpedel är penna och suddgui. Rita tdliga figurer, skriv grundekvationer och glö inte att sätta ut vektorstreck. Definiera införda beteckningar och otivera uppställda saband! För varje uppgift ges 3 poäng för en helt korrekt lösning. På varje del fordras 4 poäng för godkänt. Skrivtiden är 4 h. Probledel: 1. Kroppen, so kan betraktas so en hoogen halvcirkelbåge ed radien R och assa, är upphängd på en glatt fi ael vid O. Kroppen släpps i ett vertikalplan från vila i positionen so i figuren, dvs när G är i nivå ed O. Kroppens asscentru G visas i figuren. Bestä: a. Masscentrus aiala fart b. Kraften i upphängningspunkten då asscentru har aial fart. O G b A 2. En plan stel kropp består av fe så kulor, vardera ed assan, sat fra lätta stänger. Kroppens ttre längd är b på båda sidor. Stängerna är förenade i ändpunkterna till kulorna. Kroppen ligger i vila på ett glatt horisontalplan, då en kraft P börjar verka i -riktningen på en av kulorna. Bestä accelerationen för kula A i det första ögonblicket. b P 1

2 Tentaen Lcka till! L 0 0 A β bakända (punkt A)? 3. En leksaksbil startar uppför en backe ed lutningsvinkel β ed hjälp av en ihoptrckt fjäder ed fjäderkonstant k. Anta att bilen rullar utan att glida. Vardera hjul har assa, radien r och tröghetsoent I 0.a.p. setriaeln. Resten av bilen har assan M. I början, då bilen släpps från vila, är fjäderns hoptrckning 0 från sin naturliga längd L 0. Fjäderns ände sitter inte fast i bilen. Bestä: (Svaret får innehålla I 0 ) a. Bilens acceleration so en funktion av läget så länge bilen är i kontakt ed fjädern b. Hur långt uppför backen koer bilens M 4. En trådrulle ed assan 2 och radien r 2 kan rotera kring en fi, glatt horisontell ael A. Den lätta oelastiska tråden går runt en annan rulle so har assan 1 och radien r 1. Denna rulle kan rotera kring en fi, glatt horisontell ael B. Tråden glider ej på någon av rullarna. I trådens fria ände hänger en tngd C ed assan. Ett konstant kraftoent M verkar kring A. Ssteet släpps från vila. Bestä tngdens acceleration. Båda rullarna kan anses vara hoogena clindrar. Tngdaccelerationen är g. Teoridel: 1. Utgå från definitionen av en partikels kinetiska energi, inför och definiera asscentrussteet och härled sedan lagen o kinetiska energins två delar för ett partikelsste. Motiveringar är viktiga! 2. Svara så utförligt so öjligt. Koplettera gärna förklaringar ed ekvationer. Rita en figur so eepel för varje delfråga: a. Under vilka oständigheter är ekaniska energin bevarad? b. Under vilka oständigheter är rörelseängden bevarad? c. Under vilka oständigheter är rörelseändgsoentet bevarad? 2

3 Tentaen Lcka till! a. 3. Betrakta de olika cirkelringarna/bågarna ed assan. Jäför tröghetsoenten kring olika alar, fll i rutan vilket tecken so gäller av <, > eller =. D.v.s., är I < I, I = I eller I > I, o.s.v.? Observera att i del (c), är det I z so efterfrågas. r I I I z b. r I I I z c. r (2) (3) 2r 2r I z I z (2) I z (3) 3

4 Tentaen Lcka till! 4. a. Hur lder ipulseoentekvationen för en stel kropp? Förklara alla ingående sboler och var noga ed vektorstreck! b. Ett hjul roterar fritt ed vilkenhastighet ω kring en fi ael so är hjulets setriael. Hjulet kan betraktas so en hoogen clinder ed assa och radien r. En otor driver hjulet under ett tidsintervall, så att efteråt, har hjulets vinkelhastighet ökat till 3ω. Bestä beloppet av ipulsoentet från otorn. Uttrck svaret i, r, ω sat konstanter. 4

5 Tentaen Lösningar 1. De enda krafter är tngdkraften och upphängningskraften. Upphängnings kraft förflttar inte sig och gör inget arbete, och tngdkraften är konservativ. Således är a) Masscentru har aiala fart när G är längst ner. Uttnttjar Steiners sats för att uttrcka kinetisk energi Där enligt Steiners sats är Och tröghetsoent kring rotationsaeln enligt Steiners sats (2) Sätt (2) in i : ( ) V 2) I nedersta läget, har G enbart centripetal acceleration (tangentiell acceleration är noll), dvs ger g

6 2. Tentaen Lösningar b 2 θ b 2 θ i -rikt: i -rikt: i z-rikt: G ( ( ) ) sabandsforel för acceleration

7 Tentaen Lösningar 3. a) Vid en godtcklig punkt 0 0 Man kan lösa ed antigen energiekvationen (efterso tngdkraften och fjäderkraften är konservative, och friktion kring hjulen inte gör arbete efterso angreppspunkten saknar hastighet) eller ed kraftoch oentekvationerna Och för rulling, o vi sedan tidsderivera [ ] Saa svar o an frilägger ssteet och något av hjulen ssteet: : där F fjäd (M+4)g (1-4) f frikt Hjul: O: där b) f frikt N g θ

8 4 Tentaen Lösningar S g Säcken: : T G 2 θ 2 G 2 : där (2) 2 g θ 1 G 1: där G 1 Sätt in och (2) S 1 g T Notera att det går lika bra att lösa ed lagen o arbetet: sedan sätt in saband för, och efter tidsderivat, får an saa svar!

9 Tentaen Lösningar Teoridel: 1. Se s i Nberg Mekanik Fortsättningskurs 2. a. Mekaniska energin är bevarad när krafterna är konservativa, dvs oberoende av integrationsväg. Läpliga eepel är t.e., pendel, assor ed fjädrar,. b. Rörelseängd är bevarad när inga ttre krafter finns (även i endast någon riktning) c. Rörelseängdsoent är bevarad när inga ttre kraftoent finns 3. a. I = I < I z (efterso I + I = I z ) b. I = I < I z c. I z < I (2) (3) z = I z 4. a. b. Före: Efter: Belopp av ipulseoentet: