Tentamensskrivning i Mekanik, Del 2 Dynamik för M, Lösningsförslag

Transkript

1 Tentaensskrining i Mekanik Del Dynaik för M 7 ösningsförslag. a) tötnoralen n i. Rörelseängdens earande i stötnoralled ( ): () 0 där etecknar kulornas hastighetskoponenter efter stöt. tudstalet: e e () Ekationerna () & () ger: åledes ( ) ( + e ) + e e e e ( ) in + e e ) Kulornas relatihastighet före stöt: u. Förlusten i kinetisk energi öer stöten T u ( e ) µ där e µ + + ( ) e in e e T åledes T ( e ) e( e) e( e) e+ T ar: a) ( ) in ) T e ( e). e T

2 . a) Vi inför inkelhastigheterna: ωo k ωo och ω k ω där k är inkelrät ot rörelseplanet. För länkaren O gäller enligt saansforeln för hastigheter + ω r 0+ kω ( iacosθ + jasin θ) i( ω asin θ) + j ω acosθ () O O O O O O a θ ϕ j i För länkaren gäller (inför inkeln ϕ enligt figuren): åledes d s där enligt geoetrin och däred + ω r + kω ( icos ϕ+ j ( sin ϕ)) i( ω asin θ) + jω acosθ + iω sinϕ+ j ω cosϕ O O i( ωoa + ωsin ϕ) + j( ωoacosθ + ωcos ϕ) 0 a ωoa + ωsinϕ 0 ω ωo sinϕ a ωoacosθ + ωcosϕ ωoacosθ + ωocosϕ sinϕ ωoa(cosθ + cos ϕ) ωo sinϕ a(cosθ + cos ϕ) sinϕ a a sinϕ cosϕ sin ϕ ( ) sin θ

3 ω O a a a(cos θ + ( ) sin θ) a(cos θ + ( ) sin θ) a a () ) () och () följer ( i( sin θ) + jcos θω ) Oa ( isin θ+ j ( cos θ)) a cos θ + ( ) sin θ a ar: a) ωo a a(cos θ + ( ) sin θ) a cosθ ) i + j ( ) a a cos θ + ( ) sin θ cos θ + ( ) sin θ a a. Frilägg stången. Inför tyngdkraften g j ( g) och spännkraften n i linan C där n i( cos β) + j sin β. tångens inkelhastighet ω k ω och inkelacceleration α k α. Oedelart efter linrottet gäller att ω 0. Moentekationen ger : sin β Iα () där I. Kraftekationen ger a ( ) : sin β g ay () ( ) : cos β x C n ωα g β j i Vi har här tre ekationer och fyra oekanta: α ax ay. Vi saknar alltså en ekation. Denna erhålls geno att utnyttja det kineatiska illkoret na 0 där

4 a a + α r + ω ( ω r) a + α r ia x + ja y + kα i åledes iax + j ( ay +α ) na ( i( cos β) + jsin β) ( iax + j ( ay + α )) ( cos β) ax + sin β( ay + α ) 0 () Denna ekation i koination ed () ger ( cos β)( cos β) + sin β( sin β g+ α ) 0 α ( g ) (4) sin β Vilket insatt i () ger g g sin β sin β ( g ) sin β sin β sin β sin β + ar: g sin β sin β + närkning: O an äljer punkten so oentpunkt i stället för erhålls oentekationen: : g I α + k r a där I och ( k r a k i ) ( iax + j ay ) ay ( ay + α ) 4. a) Inför inkelhastigheterna ωo k ωo och ωcyl k ωcyl för stången respektie cylindern. I första läget gäller ω O 0 och ωcyl ω. I det andra läget gäller att ωo ωcyl ω d s stång och cylinder rör sig so en stel kropp. Friläggning a stång+cylinder ger att denna kropp påerkas a tyngdkraften k( ( + g) och reaktionskraften från axellagringen ( RM R ) där på grund a det friktionsfria lagret R R M k M 0. För de yttre krafternas oentsua z M r k( ( + ) g) + M O O C 4 R

5 R gäller då att M k M k ( r k( ( + ) g) + M ) 0. Moentekationen ger 0 M H Oz Oz där Oz O z O O C H är rörelseängdsoentet för kroppen stång + cylinder a p axeln ( O k ). Detta edför att H Oz är konstant (tidsoeroende). I första läget gäller att rörelseängdsoentet för stången a p ( O k ) är lika ed noll och rörelseängdsoentet för cylindern a p ( O k ) HOz cyl cyl Hz Iω (detta efterso H H + k r H då 0 och är cylinderns asscentru). åledes cyl cyl cyl Oz z O z H H I ω cyl Oz Oz I andra läget efter låsning gäller att Däred HOz HOz ( + I+ ω I HOz HOz Iω ( + I+ ω ω ω I + ( + ) Kinetiska energin för kroppen stång + cylinder ges i första läget a T Iω och i andra läget a I T ( I + ( + ) ω ( I + ( + )( ω) I + ( + åledes I ω I + ( + ( + I T T T ω I ω Iω I + ( + I + ( + ( + T d s T I + ( + ( I + T ar: a) ω ω ) I + ( + T I + ( + 5

6 5. Vi angriper proleet ed hjälp a effektsatsen. Frilägg länksysteet. Inför reaktionskraftkoponenter HV från fundaentet i punkten noralkraften N från underlaget på klotsen sat tyngdkraften. Inför också inkelhastigheterna för stängerna: ω k θ och ωc k( θ ) respektie sat lägeskoordinaten x för klotsen enligt figuren. H θ g h g k C V N x änksysteets ekaniska energi: E T + Vg. ysteets kinetiska energi T är suan a de kinetiska energierna för länkararna och klotsen. T θ + + θ + x k () där etecknar hastigheten för asscentru hos stången C. Det gäller att + ω r + ω r + ω r k θ r + k( θ) r C C där enligt figuren oan Däred r ( icosθ + j sin θ) r ( icosθ j sin θ) k θ ( icosθ + jsin θ) + k( θ) ( icosθ jsin θ) ( i( sin θ) + jcos θ) θ ilket edför att ( 9sin θ + cos θ) θ ( 8sin θ + ) θ 4 4 Det gäller att x cosθ x θ x θ 4 sin θ. Detta insatt i () ger 6

7 5 T θ + ( 8 sin θ + ) θ + ( θ 4 sin θ) k 4 4 ( + ( + k )sin θ) θ änksysteets potentiella energi i tyngdkraftfältet: Vg gh där enligt figuren oan h och däred Vg g g. Mekaniska energin kan då skrias E T + Vg ( + ( + k)sin θ) θ + g Då de yttre krafterna HV N är effektlösa och lederna är friktionsfria följer a effektsatsen: E 0 Et () E0 ( ). Men E( 0) ( + ( + k)sin θ( 0)) θ( 0) + gsin θ( 0) g0 där i utnyttjat egynnelsedata: θ( 0) θ0 θ ( 0) 0. åledes ( + ( + k)sin θ) θ + g g 0 och däred g(0 sin θ) θ ( + ( + k )sin θ ) ilket inneär att θ( t) θ t 0 och däred θ 0 g 0 k + ( + )sin θ ar: θ g 0 k + ( + )sin θ 7