Differentialrelationer. Repetition Energiekvationen Vorticitet Strömfunktionen Hastighetspotential Potentialströmning

Transkript

1 Differentialrelationer Reetition Energiekationen orticitet Strömfnktionen Hastighetsotential Potentialströmning

2 Reetition Kaitel 3 Reetition, Kaitel 3 Energiekationen ( ) ( )da n g h d g dt d W W Q CS C ss s Ω 1 ˆ 1 ˆ & & & Antag inkomressibel, stationär och endimensionell strömning Bernollis tidgade ekation Korrektionsfaktor, se sid g, g { förlster s f g g Δ α α

3 Reetition, Kaitel g1 g s ˆ 1 Antag n: 1. Stationär strömning, inget tidsberoende. Inkomressibel strömning, lågt Machtal (mindre än 0.3) 3. Friktionsfri strömning, inga förlster 4. Strömning längs en strömlinje 5. Inget aelarbete 6. Ingen ärmeöerföring 1 1 g g Bernollis ekation: ( Δ q)

4 Reetition, Differentialrelationer Betraktelsesätt: Lagrange: Följer med flidartikel (,, t ) Eler: Fit läge i rmmet Materiella deriatan: accelerationen kan skrias som Lokal acceleration D Dt t 0, 0 0 (,, t), a a tt konekti acceleration t D Dt t ( )

5 Reetition, Differentialrelationer Kontinitetsekationen: t ( ) 0 Imlsekationen: I -led: Lokal acceleration D Dt konekti acceleration g τ graitation trckkraft iskös kraft τ τ τ g t

6 Deformation a ett flidelement Translation: Rotation: Skjning: olmändring:

7 Reetition, Differentialrelationer Ytkrafter Sänningstensorn: σ σ σ σ ij τ τ τ τ τ τ τ τ τ σ σ σ σ σ σ

8 Deformation a ett flidelement dδt d dδt dβ d d dα dδt d dδt

9 dδt Deformation a ett flidelement Deformationshastighet: Små inklar ger: 1 dα dβ & ε dt dt d dα dt d 1 dt d dββ dt d1 dt d dδt d dβ dα d d dδt dδt

10 Deformation a ett flidelement t d Δ Deformation a ett flidelement dα d t d d Δ dβ Låt dt d dt dt β 0 d t d d Δ t d Δ dα dt I en netonsk flid beror sänningen linjärt å deformationshastigheten ε μ τ & ( ) & δ μ deformationshastigheten ε τ μ ( ) 1443 om inkomressibel 0 3 ij ij ij δ μ με τ d i k ij μ τ dnamisk iskositet ij

11 Differentialrelationer Imlsekationen: τ D τ g Dt Kan för inkomressibel strömning a en netonsk flid skrias: D g Dt D μ g t μ Naier-Stokes k ti g t μ ekationer g t μ

12 Energiekationen: & & & Differentialrelationer d dt Från kaitel 3: Q W ( W ) ed Ω e ( n )da s Gör å samma sätt som för kontinitet, ilket ger: ss C ( e) ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) t Notera att 0 W& s CS ddd Q& t ingen aeleffekt om C är mcket liten & W ζ e

13 Differentialrelationer Energiekationen: Anänd kedjeregeln: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ddd t t e t e W Q ζ ζ ζ & & kontinitet Efter en del förenklingar fås: g ( ) ddd Dt De W Q & & Dt

14 Differentialrelationer Energiekationen: ärmeflöde Försmma strålning och antag endast kondktion genom CS Foriers lag: q kt Gör å samma sätt i alla riktningar i och titta å nettoflödet q d T k q q d d Q& q q q ddd qddd Inför Foriers lag: Q& ( kt )ddd

15 Differentialrelationer Energiekationen: isköst arbete Från ka.3: ( τ τ τ ) d Gör å samma sätt som för ärmeflödet d & W ddd ddd ( τ )ddd ddd d

16 Differentialrelationer Energiekationen: De ( ) ( ) ( ) τ T k Dt De Skri om iskös term: ( ) ( ) ( ) T Skri om iskös term: ( ) ( ) ( ) T τ τ τ iskös dissiation, alltid ositi För inkomressibel netonsk flid: ( ) Φ T μ τ

17 Differentialrelationer Hela ekationssstemet: Kontinitet tt ( ) 0 Imls D Dt g τ De Dt Energi ( ) ( k T ) ( τ )

18 Differentialrelationer För inkomressibel strömning, netonsk flid med konstant densitet, iskositet och kondktiitet: Kontinitet Imls Energi 0 D g μ Dt DT ( T c k T τ ) Dt Eemel å randillkor ägg: ägg T T T ägg ä Utlo: t eller (alternatit secificeras ärmeflödet) 0 n

19 Differentialrelationer Rotation/orticitet Definition: rot ( ) ζ ω,, För D-strömning: (,,0 0 ) 0,0,

20 orticitet Rotation/orticitet t d Δ t d d Δ β d d d Δ dβ d t d Δ dα t d d Δ

21 dδt Rotation a ett flidelement inkelhastighet: Små inklar ger: 1 dα dβ ω dt dt ddt dα d 1 dt ddt dβ d1 dt d dδt d dβ dα d d dδt dδt

22 dδt Rotation a ett flidelement Låt dt inkelhastigheten På samma sätt: dα dt dβ dt d dδt 0 d 1 ω 1 ω ω ϖ rot ( ) ( ) orticitet: ζ ω ω ω Notera att i D-fallet är 0 d dβ dα d dδt Strömningen kallas rotationsfri om ζ 0 dδt

23 Fråga: Kan en irel ara rotationsfri?

24 Strömlinje och strömfnktion:, Differentialrelationer Definition: Strömlinje är en linje till ilken strömningen alltid är arallell d d d d 0

25 Strömfnktionen Strömfnktionen: För tådimensionell, stationär och inkomressibel strömning gäller: Idén är att redcera antalet obekanta och ekationer Kontinitet 0 Imls 1 Imls 1 ν 1 1 ν Inför strömfnktionen ( ), 0 0

26 Strömfnktionen 0 Jämför med 0 0 Jämför med 0 H ti h t k t k Hastighetskomoneterna kan n skrias som T t ti i l k ti Tag n rotationen a imlsekationen D ζ Dt μ

27 Strömfnktionen Rotationen a imlsekationen ger g ( ) ( ) ( ) ν i har alltså redcerat antalet ariabler men den ekation i fått är mera komle och med högre ordnings deriator fått är mera komle och med högre ordnings deriator

28 Strömfnktionen CS Relation till olmflödet: dq olmflödet: dq ( n )da da bds d d dq,, bds ds ds d d b bd Q b ds n ds olmflöde er breddenhet: ( ) d d d n d d,, 0 ds ds

29 Strömfnktionen CS Relation till olmflödet: olmflödet: dq ( n )da da bds dq bd 1 1 Q n ds b d olmflöde er breddenhet: ( ) 1 1 1

30 Friktionsfri strömning Dt D g μ μ 0 D Dt g Elers ekation Ger Bernollis ekation om den integreras längs strömlinje, se sid. 59 Friktionsfri och rotationsfri strömning: Om strömningen är rotationsfri φ,,, t ( ) 0 kan hastighetsotentialen definieras φ φ φ φ (,, ) φ,, φ φ φ

31 Friktionsfri strömning Friktionsfri och rotationsfri strömning: För D-strömning: φ φ Strömlinjer och otentiallinjer alltid inkelräta mot arandra Friktionsfri och rotationsfri strömning kallas otentialströmning

32 Potentialströmning Elementarfall ilka kan kombineras för att skaa andra strömningar: 1. Parallellströmning: U φ U φ U

33 Potentialströmning. Linjekälla/sänka: mθθ φ mlnl r Strrkan m Q πb

34 Potentialströmning 3. Linjeirel: KK ln r φ Kθθ irelstrrkan

35 Potentialströmning Seronering a elementarfall, eemel: Källasänka

36 Potentialströmning Seronering a elementarfall, eemel: Parallellströmning källa Rankinehalkro

37 Potentialströmning Seronering a elementarfall, eemel: Parallellströmning källa sänka Rankineoal Bilderna är skaade i Ideal Flo Machine, finns å htt://.aoe.t.ed/~deenor/aoe5104/ifm/ifm.html